第3章 第5节 函数的奇偶性-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

例2画出该函数的草图，如图所示，要满足题设条件， 只需使-名在：轴上的位登位于1的右边即可（可以重 合)，即-受≥1，解得6≤-2 例3显然，当≥2时，4增大，士和号的值均诚小，放其 和亦减小，于是原函数为减函数.，函数的最大值 为2=+子1 巩固练习 一、填空题 (,) 依题意，2m-1<0,m<分 2.(-∞，-1] 根据对称轴公式可得对称轴为x= 、名-1，且a<0,开口向下，对称轴左边为递增 区间。 3.[0,+0) 根据对称轴公式可得对称轴为x=4, :该函数在区间(0,4)上是递增的1-4≤0，a≥0， ∴.a的取值范围为[0，+∞) 4.(-,0)f(x)是定义在R上的减函数且f(2+ a)>f(2-a),.2+a<2-a,.a<0. 所以a的取值范围为(-∞，0). 二、选择题 1.Aa<0,开口向下，对称轴左边为单调递增区间，该函 数的对称轴为x=子，“该函数的单调递增区向 为，] 2.B该函数在区间(-∞，4]上是减函数，且对称轴 为x=-a+1,∴.-a+1≥4，a≤-3，∴a的取值范围 为a≤-3. 3.Dy=f(x)在R上单调递减，且f(m)<f(-m), .m2>-m,即m>0或m<-1,故选D. 父-2x,x≥2：结合图象可知 4A由于f)=x-2x={-+2x,<2. 函数的单调递减区间是[1,2].故选A 5.ACD 画出分段函数的草图 0 三、用函数单调性的有关知识求下列函数的值域 [子+对于，，增大，其值绵大也是如 此.因此对于整个函数，y随x的增大而增大，故该函数 为增函数又≥ 故其值城为[仔+） 2.(-∞，2]对于√1-x,其值随x的增大而减小；而对 于2x来说，其值随x的增大而增大.故对于整个函数，y 随x的增大而增大，该函数为增函数.又x≤1，∴.该函 数的值域为(-0,2]. 3[12,+）当≥2时，在y=是中，y随：的增大面减 小，即在y=-2中，y随x的增大而增大，在y=5x中，y 随x的增大而增大.故对于整个函数，y随x的增大而 增大，该函数为增函数，.值域为[12，+∞) 第五节函数的奇偶性 典例精析 例1(1)显然，函数的定义域为{xx≠0；，定义域关 1 于原点对称，又八-)三（)=(x),心该函数为偶 函数 (2)函数的定义域为{xx≠0}，该定义域关于原点对称， 又-0(-划4号-(+）. .该函数为奇函数 (3)函数的定义域为R,关于原点对称，f(-x)=-5x+3, 如果f(-x)=f(x),则-5x+3=5x+3,x=0.…① 如果f代-x)=-f(x),则-5x+3=-(5x+3),x无解.…② 在①中，由于f(-x)=f代x)仅在x=0时成立，而不是对于 任意x恒成立，该函数不是偶函数；在②中也易见该函 数不是奇函数，.该函数为非奇非偶函数 (4)显然，函数的定义域关于原点不对称，.该函数为非 奇非偶函数 例2由已知得a)=a+日-1=2，即a+。=3,所 以-a)=-a1=-(a+）-1=-3-1=-4 巩固练习 一、判断下列函数的奇偶性 1.偶函数f(-x)=(-x)4=x4=f(x),又定义域关于原点 对称，故为偶函数. 2.奇函数f(-x)=(-x)=-x3=-f(x),又定义域关于原 点对称，故为奇函数 3奇函数-)()+--(+) (x),又定义域关于原点对称，故为奇函数 4.偶函数函数的定义域为{xx≠0}，关于原点对称，又 f(-x)=（-x)2+(-x)4=x2+x4=f代(x),故为偶函数. 5.非奇非偶函数函数的定义域为全体实数，关于原点 对称.f代-x)=(-x)4-x,如果f(-x)=f(x),则需要x=0;如 果f(-x)=f(x),则仍需x=0.也就是说只有在x=0这 个点处才满足f(-x)=f代x)或f(-x)=-f(x),而不是对 于定义域中的任意x都成立，.该函数为非奇非偶 函数 1 6奇函数)3-131 3*+11 1-y.3-x +11+33*+1 又定义域关于原点对称，故为奇函数 二、填空题 11)为奇函数，放取=0,0=0)=120=1 2.-1x≠0，.只能另选特殊值.f(-1)=-f(1)→ 0=-2(1+a),.a=-1. 3.0f(x)为偶函数，则f(1)=f(-1), 1 (1+a)n3=（-1+a)lh3,解得a=0 4号)为偶面数2=0，即6=0：又定义坡关 于原点对称，即(a-+2a=0=a=子则a+6=号 5.-3f1)=-f-1)=-(2+1)=-3. 63设8()=广-士，显然8)为奇函数，由题意 有g(m)=-1,于是g(-m)=-g(m)=1,∴.f(-m) =g(-m)+2=3. 1 7.函数f(x)=lna+,+b为奇函数，.其定义域关 1-x 于原点对称。 由a+≠0可得，(1-)(a+1-a)≠0，x力 。-1，解得a=2,即函数的定义坡为(-，-1)U a (-1,1)U(1,+o),再由f(0)=0可得，b=n2.即 11 x)=Intn 2=In 1+x 在定义域内满足 1-x f(-x)=f(x),符合题意. 1 故答案为2血2 三、选择题 1.A易得f(-x)=-f(x)且定义域关于原点对称，∴f(x) 奇函数，又当x在(0，+∞)上增加时f(x)增加，所以 在(0，+∞)上单调递增. 2.A由于f(x)为定义在R上的奇函数，则有0= f0)=2°+2×0+b→b=-1.∴.f(-1)=-f(1)=-(2+ 2×1-1)=-3. 3B由题意可得)-1+对于Ax 1+x 1)-1=子2不是奇函数：对于Bx-1)+1=是是奇 函数：对于Cx+1)-122,定义城不关于原点对 称，不是奇两数：对于D+1)+12定义域不关 于原点对称，不是奇函数故选B. 4.Bf(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),条件f(-1)+ g(1)=2f(1)+g(-1)=4可化为-f(1)+g(1)=2 且f(1)+g(1)=4,两式相加得g(1)=3.故选B. 5D-)=--10=-1)=-+）-2, 故选D. 6.BCD在(0，+∞)和(-∞，0)内，x增大时，f(x)均减 小，函数为减函数，但f(x)在R上不是减函数，如 f(-1)=f(1)=0,故A错误，D正确；由f(-x)=f(x)知 该函数为奇函数，图象关于原点对称，B正确；因为 x≠0，C正确， x2,x≥0， 7.AC依题意得f(x)= 画出此分段函数的大致图 -x2,x<0. 象，易知该函数为增函数，又由f(-x)=f(x)知该函数为 奇函数. 8.Bf-x)=-x2+(e*-e)sin(-x)=-x2+(e*-e*)· sinx=f(x),又函数定义域为[-2.8,2.8]，故该函数为 偶函数可排除A,c又f1)=-1+(e-）·血 -(日)血分10，可排 2e42e1 除D. 第六节指数和指数函数 典例精析 例1原式=82× 1 64x 1002 /3 4 1、64128 1027135 例2(1)构造函数y=3,这是一个底数大于1的指数函 数，单调递增，所以当x分别取值1.6,1.8,2.1时，y的值 也依次增大，于是36<38<321 (2)方法一：构造函数y=2,其函数图象如下图所示， 则23即为该函数当x=0.3时的函数值，不难知道 1<20.3 y=2 00.3 方法二：：1=2°，构造函数y=2,这是一个底数大于1的 指数函数，在定义域上单调递增，.1<23 例3由f(x-2)>0得22-4>0，即2-2>4=2， 有x-2>2,解得x>4..解集为{xx>4}. 巩固练习 1.(1)a 原式=a2片=a. 3 (2)va 原式=a号：a=6 (39 原式= 116 (4)y6原式=(x3)3(y2)3=y (5)a号原式=a23.a号=a号=. 2.(1)x>2(2)x<3(3)x<3(4)x>2(5)x>0 (6)x>0(7)x>-2 3份）)“份) (2)0.9a4<1 4.(1)[16,+∞) (2)[g,*） (3)[3,27] (4(分g] 第七节对数 典例精析 1 (1)logaxy=logax+logay; (2)log=logy-log.=log.*+log.y-log. log.-og=og.+log.0og (3)1log。z 11 1 1 2log.*+log.y log.=2l0g*+log.y-log. 例221g2+g3=g2+1g3 1+624-g81s24-g8 g4+1g3=g12s12-1 1+lg2.4-lg2lg10+lg1.2lg12 巩固练习 1.(1)41og81=log334=4. 1 (2)-41g216-log24=-4. (3)01og12s1=log12s125°=0. 2.(1)1og26-log23=log22=1. (2浆式=gV反-2=受g号 (3)2log510+log,0.25=log(102×0.25)=10g525=2. （4)2log525+31og264=2log352+31og226=4+3×6=22. 3.(1)x=log27 1 (2)x= e (3)x=100 (4)x=e10 第八节对数函数 典例精析 例1：对数函数y=logx(a>0且a≠1)的定义域 为(0，+∞)，∴.把x2-x-2看成一个整体，则x2-x-2>0,解 得x>2或x<-1,∴.该函数的定义域为(-∞，-1)U(2,+ o).第三章函 数 第五节函数的奇偶性 知识梳理 函数奇偶性的定义和图象特征 类别 定义 图象特征 备注 关于 (1)如果一个奇函数f(x)在原 奇函数 如对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是奇函数 原点对称 点有定义，则有f(0)=0 (2)奇函数在两个对称的区间 上具有相同的单调性；偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 关于 偶函数 在两个对称的区间上具有相反 都有f(-x)=f(x),那么函数代x)是偶函数 y轴对称 的单调性 典例精析 例1判断下列函数的奇偶性： ①n 2)f(x)=x3+1,】 (3)fx)=5x+3; 4)y=x2,x∈[-1,2] 例2 已知函数fx)=+1-1,fa)=2,则f(-a)= 21 高考零起点·数学 巩固练习 一、判断下列函数的奇偶性 1 1.f(x)=4. 2.f(x)=x3. 3.fx)=x+ 4.f(x)=x2+x4 3*-1 5.f(x)=x+x. 6.f(x)= 3*+1 二、填空题 1.若函数f(x)= 2-“是奇函数，那么实数a= 2*+11 2.设函数f代r)-x+1)(x+a为奇函数，则a 3.(2023新高考Ⅱ卷改编)若fx)=(x+a)ln 为保系政，则0 4.已知f代x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1,2a],则a+b= 5.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，fx)=2x2-x,则f(1)= 6已x)=-2,fm)=1,则-m)归 7(222全国乙毫)若e)=na++6是奇两数，则a= 22 第三章函数 三、选择题 1(22会国I多)设两数x)中则刘 A.是奇函数，且在(0，+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0，+∞)上单调递减 C.是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0，+0)上单调递减 2.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2*+2x+b(b为常数).则f(-1)等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 3（201全国乙率)设函数✉)- ，则下列函数中为奇函数的是 () A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于 A.4 B.3 C.2 D.1 5已知数✉)为奇圈数，且当0时，x)=+则-1) () A.2 B.1 C.0 D.-2 6.(多选)关于函数f代x)=】-x的下列说法正确的是 () A.该函数是减函数 B.该函数图象关于原点对称 C.该函数图象一定不过原点 D.该函数不是单调函数 7.（多选)对于函数f(x)=xx，下列说法正确的是 A.该函数为增函数 B.该函数为减函数 C.该函数为奇函数 D.该函数为偶函数 8.(2024全国甲卷)函数f代x)=-x2+(e-e*)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 23