第3章 第4节 函数的单调性-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

高考零起点·数学 巩固练习 1.下列各函数，值恒大于0的有 ①y=x2-x+1②y=x2+x-1③y=x2-x-1 ④y=x2+x+1 A.①③ B.①② C.②③ D.①④ 2.函数f(x)=√J2x+ax+a的定义域为R,则a的取值范围是 A.[0,8] B.(-∞，0]U[8,+0) C.[0,22] D.(-∞，0)U(22,+∞) 3.若集合A={x∈Rax2+ax+1=0},其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或4 4.设函数f(x)是区间(-0，+o)上的减函数，则 A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2+1)<f(a) D.f(a2+a)<f(a) 5.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 第四节 函数的单调性 知识梳理 1.单调函数的概念 (1)从解析式分析，在函数y=f(x)的定义域的某个区间上，如果y随x的增大而增 大，则此函数在该区间上为增函数；如果y随x的增大而减小，则此函数在该区间上为减 函数 (2)从图象分析，从左往右看，如果在函数f(x)的定义域的某个区间上函数图象是上 升的，则此函数在该区间上是增函数；如果函数图象是下降的，则此函数在该区间上是 减函数 2.增减函数的单调性 增函数和减函数统称单调函数： 3.增减函数的性质 由定义不难得到，如果函数(x)在某个区间上为增函数，则对于该区间上的任意x1, 18 第三章函数 x2,x1>x,f(x,)>(x2)；如果函数f(x)在某个区间上为减函数，则对于该区间内的任意 x1,x2,x1>x2f(x)f(x2). 4.单调区间的概念 单调区间包括单调递增区间和单调递减区间. 如果某个函数在定义域的某个区间上是单调增函 数，就说该区间是该函数的一个单调递增区间；同样， 如果某个函数在定义域的某个区间上是单调减函数，则该区间是该函数的一个单调递减 区间.如上图所示是某函数的图象，则该函数的单调递增区间有(-∞，a],[b,c];单 调递减区间有(a,b),(c,+∞). 5.单调函数的值域 如果能确定一个函数是单调函数，则可以把定义域的端点代进去求值域，使问题简 化.如果一个函数不是单调函数，则不能用代定义域端点的方法来求值域， 典例精析 例1求一元二次函数y=x2-4x+1的单调区间 例2 已知函数y=x2+bx+c在区间(-∞，1)上是减函数，求b的取值范围， 求函数f(x)= +(x≥2)的最大值 12 例3 巩固练习 一、填空题 1.若函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数，则m的取值范围是 2.函数f代x)=-x2-2x的单调递增区间为 19 高考零起点·数学 3.函数y=2x2+ax-1在区间(0,4)上是单调递增的，则a的取值范围是 4.已知f(x)是定义在R上的减函数，且满足f(2+a)>f(2-a),则a的取值范围 是 二、选择题 1.函数y=3x-2x2+1的单调递增区间是 A.(0,」B.经，+w） c.(,-】 D.【,+e) 2.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是 A.a≥-3 B.a≤-3 C.a≥3 D.a≤5 3.函数f(x)在R上单调递减，且f(m)<f(-m),则m的取值范围是 A.(-∞，-1) B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞，-1)U(0,+∞) 4.函数f(x)=x-2x的单调递减区间是 A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) ,x≥1， 5.（多选)对于函数f(x)={x 下列说法正确的是 -x2+2,x<1, A.该函数的最大值为2 B.该函数的单调递增区间为(-∞，1] C.该函数的单调递减区间为[0，+∞) D.该函数不是单调函数 三、用函数单调性的有关知识求下列函数的值域 1.y=√3x-2+x. 2.y=2x-√J1-x, 3.y=3+5x2 （x≥2) 20(2)-2<x<3,∴-6<-2x<4,.-11<-2x-5<-1,.该函 数值域为(-11，-1) 例2在该函数中a=1,b=-2,c=-3,先画出该函数的图 象，如图所示. (1)当x∈R时，图象为整支抛物线，又该抛物线开口向 上心函数有最小值4ac-b =-4,又抛物线向上无限延 4a 伸，显然函数无最大值，.该函数的值域为[-4，+0). (2)当x∈[-1,0]时，对应的函数图象不是整支抛物线，而是 抛物线上一小段弧4C,由于该段弧上的纵坐标最小值为-3， 最大值为0且弧是连续的.该函数的值域为[-3,0] (3)当x∈(0,3)时，对应的函数图象为弧CPB,且不含端 点，观察该段弧上的纵坐标，发现纵坐标的变化范围为 -4~0,又由于该段函数图象是连续的，∴.该函数的值域 为[-4,0) 巩固练习 1.(1)[-9,1](2)[-5,10] 2.(1) 顶点坐标为(24)，交点坐标为(0,5) (2) 10 1+ 顶点坐标为（行，9），交点坐标为( 1-√10 3 00,3,(月 顶点坐标为（仔，日）交点坐标为〔0.0）（行0） (4) 顶点坐标为(0,0)，交点坐标为(0,0). 3.(1)[-3,5](2)[5,9](3)(-°，0] (4)[3,+) 第三节函数y=ax2+bx+c(a≠0)恒大于0和 恒小于0的充要条件 典例精析 例由于x2的系数为1，大于0，所以只需4<0即可，故 (2a)2-4a<0. 从而a2-a<0,解得0<a<1. 巩固练习 1D由于四个函数的二次项系数均为1，∴.只考虑它们 的判别式即可.对于①4=(-1)2-4×1×1=-3<0，对 于④4=12-4×1×1=-3<0，故选D. 2.A由条件可知2x2+ax+a≥0恒成立，故△=a2-8a≤ 0→0≤a≤8，故选A. 3.A只有一个元素即只有一个解，当a≠0,4=0时，求 得a=4. 4cd1-(o-}041a又e在区 间(-∞，+o)上为减函数，∴f(a2+1)<f(a),故选C. 5.(0,8)开口朝上，大于0恒成立，即判断△<0恒成立， 即a2-4×2a<0恒成立，故a∈(0,8). 第四节函数的单调性 典例精析 例1画出该函数的草图，如图所示，由草图易知，该函 数的单调递增区间为[2，+0)，单调递减区间为 （-0,2). 例2画出该函数的草图，如图所示，要满足题设条件， 只需使-名在：轴上的位登位于1的右边即可（可以重 合)，即-受≥1，解得6≤-2 例3显然，当≥2时，4增大，士和号的值均诚小，放其 和亦减小，于是原函数为减函数.，函数的最大值 为2=+子1 巩固练习 一、填空题 (,) 依题意，2m-1<0,m<分 2.(-∞，-1] 根据对称轴公式可得对称轴为x= 、名-1，且a<0,开口向下，对称轴左边为递增 区间。 3.[0,+0) 根据对称轴公式可得对称轴为x=4, :该函数在区间(0,4)上是递增的1-4≤0，a≥0， ∴.a的取值范围为[0，+∞) 4.(-,0)f(x)是定义在R上的减函数且f(2+ a)>f(2-a),.2+a<2-a,.a<0. 所以a的取值范围为(-∞，0). 二、选择题 1.Aa<0,开口向下，对称轴左边为单调递增区间，该函 数的对称轴为x=子，“该函数的单调递增区向 为，] 2.B该函数在区间(-∞，4]上是减函数，且对称轴 为x=-a+1,∴.-a+1≥4，a≤-3，∴a的取值范围 为a≤-3. 3.Dy=f(x)在R上单调递减，且f(m)<f(-m), .m2>-m,即m>0或m<-1,故选D. 父-2x,x≥2：结合图象可知 4A由于f)=x-2x={-+2x,<2. 函数的单调递减区间是[1,2].故选A 5.ACD 画出分段函数的草图 0 三、用函数单调性的有关知识求下列函数的值域 [子+对于，，增大，其值绵大也是如 此.因此对于整个函数，y随x的增大而增大，故该函数 为增函数又≥ 故其值城为[仔+） 2.(-∞，2]对于√1-x,其值随x的增大而减小；而对 于2x来说，其值随x的增大而增大.故对于整个函数，y 随x的增大而增大，该函数为增函数.又x≤1，∴.该函 数的值域为(-0,2]. 3[12,+）当≥2时，在y=是中，y随：的增大面减 小，即在y=-2中，y随x的增大而增大，在y=5x中，y 随x的增大而增大.故对于整个函数，y随x的增大而 增大，该函数为增函数，.值域为[12，+∞) 第五节函数的奇偶性 典例精析 例1(1)显然，函数的定义域为{xx≠0；，定义域关 1 于原点对称，又八-)三（)=(x),心该函数为偶 函数 (2)函数的定义域为{xx≠0}，该定义域关于原点对称， 又-0(-划4号-(+）. .该函数为奇函数 (3)函数的定义域为R,关于原点对称，f(-x)=-5x+3, 如果f(-x)=f(x),则-5x+3=5x+3,x=0.…①