第3章 第3节 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)恒大于0和恒小于0的充要条件-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

第三章函数 (3)y=2x2-x; (4)y=x2. 3.求下列函数的值域： (1)y=x2-4x,x∈[3,5]； (2)y=-x2-2x+8,x∈[-2,1]； (3)y=-x2; (4)y=2x2+3. 第三节 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 恒大于0和恒小于0的充要条件 知识梳理 (a>0, 1.ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 △<0. a<0, 2.ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立台 A<0. 典例精析 例 函数y=x2+2ax+a的值恒大于0，求a的取值范围 17 高考零起点·数学 巩固练习 1.下列各函数，值恒大于0的有 ①y=x2-x+1②y=x2+x-1③y=x2-x-1 ④y=x2+x+1 A.①③ B.①② C.②③ D.①④ 2.函数f(x)=√J2x+ax+a的定义域为R,则a的取值范围是 A.[0,8] B.(-∞，0]U[8,+0) C.[0,22] D.(-∞，0)U(22,+∞) 3.若集合A={x∈Rax2+ax+1=0},其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或4 4.设函数f(x)是区间(-0，+o)上的减函数，则 A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2+1)<f(a) D.f(a2+a)<f(a) 5.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 第四节 函数的单调性 知识梳理 1.单调函数的概念 (1)从解析式分析，在函数y=f(x)的定义域的某个区间上，如果y随x的增大而增 大，则此函数在该区间上为增函数；如果y随x的增大而减小，则此函数在该区间上为减 函数 (2)从图象分析，从左往右看，如果在函数f(x)的定义域的某个区间上函数图象是上 升的，则此函数在该区间上是增函数；如果函数图象是下降的，则此函数在该区间上是 减函数 2.增减函数的单调性 增函数和减函数统称单调函数： 3.增减函数的性质 由定义不难得到，如果函数(x)在某个区间上为增函数，则对于该区间上的任意x1, 18(2)-2<x<3,∴-6<-2x<4,.-11<-2x-5<-1,.该函 数值域为(-11，-1) 例2在该函数中a=1,b=-2,c=-3,先画出该函数的图 象，如图所示. (1)当x∈R时，图象为整支抛物线，又该抛物线开口向 上心函数有最小值4ac-b =-4,又抛物线向上无限延 4a 伸，显然函数无最大值，.该函数的值域为[-4，+0). (2)当x∈[-1,0]时，对应的函数图象不是整支抛物线，而是 抛物线上一小段弧4C,由于该段弧上的纵坐标最小值为-3， 最大值为0且弧是连续的.该函数的值域为[-3,0] (3)当x∈(0,3)时，对应的函数图象为弧CPB,且不含端 点，观察该段弧上的纵坐标，发现纵坐标的变化范围为 -4~0,又由于该段函数图象是连续的，∴.该函数的值域 为[-4,0) 巩固练习 1.(1)[-9,1](2)[-5,10] 2.(1) 顶点坐标为(24)，交点坐标为(0,5) (2) 10 1+ 顶点坐标为（行，9），交点坐标为( 1-√10 3 00,3,(月 顶点坐标为（仔，日）交点坐标为〔0.0）（行0） (4) 顶点坐标为(0,0)，交点坐标为(0,0). 3.(1)[-3,5](2)[5,9](3)(-°，0] (4)[3,+) 第三节函数y=ax2+bx+c(a≠0)恒大于0和 恒小于0的充要条件 典例精析 例由于x2的系数为1，大于0，所以只需4<0即可，故 (2a)2-4a<0. 从而a2-a<0,解得0<a<1. 巩固练习 1D由于四个函数的二次项系数均为1，∴.只考虑它们 的判别式即可.对于①4=(-1)2-4×1×1=-3<0，对 于④4=12-4×1×1=-3<0，故选D. 2.A由条件可知2x2+ax+a≥0恒成立，故△=a2-8a≤ 0→0≤a≤8，故选A. 3.A只有一个元素即只有一个解，当a≠0,4=0时，求 得a=4. 4cd1-(o-}041a又e在区 间(-∞，+o)上为减函数，∴f(a2+1)<f(a),故选C. 5.(0,8)开口朝上，大于0恒成立，即判断△<0恒成立， 即a2-4×2a<0恒成立，故a∈(0,8). 第四节函数的单调性 典例精析 例1画出该函数的草图，如图所示，由草图易知，该函 数的单调递增区间为[2，+0)，单调递减区间为 （-0,2).