第3章 第2节 一元一次函数和一元二次函数的值域-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

(3)(4,+∞) (4[+ (5)(-0,-9] (6)(-∞，23) 例2(1)无论x取什么值，都能得到对应的y值，∴.定 义域为R. (2)由于负数不能开平方，.定义域为[0，+∞). (3)由于分式的分母不能为零，∴.定义域为(-∞，0)U (0,+∞) (4)由(2)和(3)易得x+1≥0,2-x≠0，∴.x≥-1且x≠2 定义域可表示为[-1,2)U(2,+∞). 例3(1)由于任何实数的平方都是大于零或等于零的， .该函数的值域为[0，+∞). (2)当x∈R时，y=2x+1的值也能取遍所有的实数，.该 函数的值域为R. 例4(1)f2)=22-3×2+1=-1,f(4)=24-3×4+1=5. (2)f-a)=3·(-a)2+2·(-a)-4=3a2-2a-4. 例5在高考中，对分段函数的考查主要通过对其函数 值的求解进行.解答此类题的关键是代值时对具体选择 哪一个解析式作出正确的判断.，-1<0，求f(-1)时只 能使用第三个解析式，从而得(-1)=0， ∴.ff(-1))=f(0)=π，∴.fff(-1))=f(π)=π+1. 例6先在坐标系中画出y= y 士的图象但这支图象不能 取整支，只能取定义在 [1,+∞)上的部分，其余部分 72 要擦掉.再画出y=x的图象， 取定义在[0,1)之间的部分， 最后把y=x+2的图象画出来，截取(-∞，0)上的部分 这三段图象一起构成该分段函数的图象，如上图所示. 【注意】对于①、②两段函数，二者定义域在x=1处连接， 而当x=1时，两段函数的值相等，所以二者图象在x=1 处能实现连接，即在A,点连续.而对于②、③两段函数，它 们定义域的连接点是x=0,当x=0时，它们的值不相等， 两段函数图象不能连续， 此分段函数的图象不连续，不能因此否认它是一个 函数，因为它仍然满足知识梳理2对函数的定义，即从定 义域中任取一个值，都有唯一的函数值和它对应。 巩固练习 一、选择题 1.Cf-2)=4-2)=2,故选C, 2.Bm是无理数，∴g(π)=0，∴f(g(π)=f八0)=0. 故选B. 3D根据分段函数性质将x=名代入)，则） 63-小=4，再将6分别代人3-b和2中， 再根据定义域范围，求得满足的b的值，故选D. |x+2,x≤-1， 4.AD根据题意f(x)=x2,-1<x<2, 2x,x≥2. 若f(x)=1,分以下3种情况讨论： ①当x≤-1时f(x)=x+2=1,解得x=-1; ②当-1<x<2时，f代x)=x2=1,解得x=±1， 又由-1<x<2,则x=1; 1 ③当x≥2时(x)=2x=1,解得x=2,舍去. 综合可得x=1或-1. 二、画出下列分段函数的图象 1. 0 第二节一元一次函数和一元二次函数的值域 典例精析 例1(1)-2<x<3,.-6<3x<9,.-4<3x+2<11,.该 函数的值域为(-4,11). (2)-2<x<3,∴-6<-2x<4,.-11<-2x-5<-1,.该函 数值域为(-11，-1) 例2在该函数中a=1,b=-2,c=-3,先画出该函数的图 象，如图所示. (1)当x∈R时，图象为整支抛物线，又该抛物线开口向 上心函数有最小值4ac-b =-4,又抛物线向上无限延 4a 伸，显然函数无最大值，.该函数的值域为[-4，+0). (2)当x∈[-1,0]时，对应的函数图象不是整支抛物线，而是 抛物线上一小段弧4C,由于该段弧上的纵坐标最小值为-3， 最大值为0且弧是连续的.该函数的值域为[-3,0] (3)当x∈(0,3)时，对应的函数图象为弧CPB,且不含端 点，观察该段弧上的纵坐标，发现纵坐标的变化范围为 -4~0,又由于该段函数图象是连续的，∴.该函数的值域 为[-4,0) 巩固练习 1.(1)[-9,1](2)[-5,10] 2.(1) 顶点坐标为(24)，交点坐标为(0,5) (2) 10 1+ 顶点坐标为（行，9），交点坐标为( 1-√10 3 00,3,(月 顶点坐标为（仔，日）交点坐标为〔0.0）（行0） (4) 顶点坐标为(0,0)，交点坐标为(0,0). 3.(1)[-3,5](2)[5,9](3)(-°，0] (4)[3,+) 第三节函数y=ax2+bx+c(a≠0)恒大于0和 恒小于0的充要条件 典例精析 例由于x2的系数为1，大于0，所以只需4<0即可，故 (2a)2-4a<0. 从而a2-a<0,解得0<a<1. 巩固练习 1D由于四个函数的二次项系数均为1，∴.只考虑它们 的判别式即可.对于①4=(-1)2-4×1×1=-3<0，对 于④4=12-4×1×1=-3<0，故选D. 2.A由条件可知2x2+ax+a≥0恒成立，故△=a2-8a≤ 0→0≤a≤8，故选A. 3.A只有一个元素即只有一个解，当a≠0,4=0时，求 得a=4. 4cd1-(o-}041a又e在区 间(-∞，+o)上为减函数，∴f(a2+1)<f(a),故选C. 5.(0,8)开口朝上，大于0恒成立，即判断△<0恒成立， 即a2-4×2a<0恒成立，故a∈(0,8). 第四节函数的单调性 典例精析 例1画出该函数的草图，如图所示，由草图易知，该函 数的单调递增区间为[2，+0)，单调递减区间为 （-0,2).第三章函数 二、画出下列分段函数的图象 x≥2， (x2-2x-3,x≥-1， 1.y= 2.y= 1 1 2,x<2. -x2+x+2,x<-1. 2t x2, x≥0， 3.y= 1 4.y=xx. x<0. 第二节一元一次函数和一元二次函数的值域 知识梳理 1.一元一次函数y=kx+b(k≠0)的值域 可根据不等式的基本性质求得。 2.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域 (1)应先画出该一元二次函数的图象（抛物线），再找出对应区间上的图象，观察该 段图象上纵坐标的取值范围，该范围即为所求值域。一元二次函数的图象的对称轴为x= 最值为4ac-b2 4a, 顶点坐标为( b 4ac-b2 2a’4a 这些都是常用的数据公式，需识记 (2)当x∈R且a>0时，上述函数有最小值4c-b 4a; 当x∈R且a<0时，上述函数有 最大值4oc-b62 4a 15 高考零起点·数学 典例精析 例1 已知x∈(-2,3)，求下列函数的值域 (1)y=3x+2; (2)y=-2x-5. 例2求函数y=x2-2x-3在下列区间上的值域. (1)R; (2)[-1,0]: (3)(0,3). 巩固练习 1.已知x∈[-3,2]，求下列函数的值域： (1)y=2x-3; (2)y=-3x+1. 2.分别画出下列函数的草图并写出顶点坐标，如果图象与坐标轴有交点，请写出交点 坐标 (1)y=4x2+4x+5; (2)y=-3x2+2x+3; 16 第三章函数 (3)y=2x2-x; (4)y=x2. 3.求下列函数的值域： (1)y=x2-4x,x∈[3,5]； (2)y=-x2-2x+8,x∈[-2,1]； (3)y=-x2; (4)y=2x2+3. 第三节 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 恒大于0和恒小于0的充要条件 知识梳理 (a>0, 1.ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 △<0. a<0, 2.ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立台 A<0. 典例精析 例 函数y=x2+2ax+a的值恒大于0，求a的取值范围 17