第3章 第1节 函数的概念-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

高考零起点·数学 第三章函 数 第一节 函数的概念 知识梳理 1.区间的概念 区间是在研究函数时常用到的概念.设a,b是两个实数，且a<b,我们规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]; (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b); (3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a,b),(a,b] 在引进正无穷大的符号“+∞”和负无穷大的符号“-0”后，又把满足x≥a,x>a,x≤ b,x<b的实数x的集合分别表示为[a,+∞)，(a,+∞)，（-∞，b],(-∞，b). 2.函数的概念 设f代x)是关于x的一个代数式，在等式y=f(x)中，如果x取 某一数集A中的任意一个值，y都能得到唯一的值，则称y是关 于x的函数.其中x叫做自变量，数集A叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域， 如y=2x-1,y=x2+1都是函数，而y=±x不是函数，因为给定一个x的值，y有两个值与 它对应；又如，右图中的曲线不能作为一个函数的图象，因为存在一个x∈[0，+∞)， 使y有两个值(y1和y2)和它对应 3.分段函数的概念 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的解析式，这样的函 数叫做分段函数， 典例精析 例1将下列x的取值范围用区间表示： 3 7 (1)-5<x<2; (2)4≤x≤2 (3)x>4; 12 第三章函数 (4)x≥13 (5)x≤-9； (6)x<23. 例2求下列函数的定义域： (3)y= 1 (4)fx)=V+I+2-式 1 (1)y=3x+5; (2)y=E; 例3求下列函数的值域(x∈R): (1)y=x2; (2)y=2x+1. 例4(1)已知f(x)=2-3x+1,分别求f(2)和f(4)的值； (2)已知f(x)=3x2+2x-4,求f(-a)的表达式. [x+1(x>0), 例5设f代x)={ π(x=0),求fff-1))的值. 0(x<0), 13 高考零起点·数学 例6画出下列分段函数的图象 (x≥1)， ① y= x(0≤x<1), ② x+2(x<0). ③ 巩固练习 一、选择题 1.设f(x)= 1-,≥0，则f-2) 2,x<0, 1 A.-1 B.4 3 p. [1,x>0, 1,x为有理数， 2.设f(x)=0,x=0,g(x)= 则f(g(π)的值为 () (0,x为无理数 -1,x<0, A.1 B.0 C.-1 D.T 3x-b,x<1, 3.设函数fx)= () 2，x≥1， 若（后）)=4，则6 A.1 7 B c 1 D. 2 x+2,x≤-1， 4.（多选)已知f(x)= x2,-1<x<2,若fx)=1,则x的值是 () 2x,x≥2. 1 A.-1 C.-√3 D.1 14 第三章函数 二、画出下列分段函数的图象 x≥2， (x2-2x-3,x≥-1， 1.y= 2.y= 1 1 2,x<2. -x2+x+2,x<-1. 2t x2, x≥0， 3.y= 1 4.y=xx. x<0. 第二节一元一次函数和一元二次函数的值域 知识梳理 1.一元一次函数y=kx+b(k≠0)的值域 可根据不等式的基本性质求得。 2.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域 (1)应先画出该一元二次函数的图象（抛物线），再找出对应区间上的图象，观察该 段图象上纵坐标的取值范围，该范围即为所求值域。一元二次函数的图象的对称轴为x= 最值为4ac-b2 4a, 顶点坐标为( b 4ac-b2 2a’4a 这些都是常用的数据公式，需识记 (2)当x∈R且a>0时，上述函数有最小值4c-b 4a; 当x∈R且a<0时，上述函数有 最大值4oc-b62 4a 15第二节一元二次不等式的解法 典例精析 例(1)先求出该不等式对应方程的两个解：x=3= 2,由不等式的形式可得该不等式的解集为 {o子或}（大于大小于小 .1 (2)因为二次项的系数-4<0，为应用口决需先将原不等 式变形为4x2+2x-1<0再求解.由求根公式易得 4,南1- 4+2x-1=0的解为=-1+5x ,.4x2+ 4 2红10的解袋为5。c245 (大于小，小于 4 大)此解即为原不等式的解 (3)-2x2+3x<0属于一元二次不等式，属于c=0的情形， 可将原不等式转化为2x2-3x>0.因为2x2-3x=0的解 3 为名=2，名=0，所以2-3x>0的解集为 {>或0（大于大，小于小），此解即为原不等式 的解。 (4)x2-8<0是一元二次不等式，属于b=0的情形.易 得x2-8=0的解为x1=22,x2=-22,.x2-8<0的解集 为{xl-2W2<x<22} 巩固练习 (1)x2-x-2=0的解为x1=-1,x2=2,x2-x-2>0的解 集为{xlx>2或x<-1}. (2)原不等式可化为2x2+5x-3<0,方程2x2+5x-3=0 1 的解为x=-3,=2,-22-5x+3>0的解集 为e1-3} (3)原不等式可化为2x2+x>0,方程2x2+x=0的解 为名1=-2，=0，·2x>-x的解集 为e1o0或6} (4)方程x2-16=0的解为x1=-4,x2=4,.x2<16的解 集为{xl-4<x<4} 第三节cx+4<0(>0)(a≠0，c≠0)型分式不等式的解法 ax+b 典例精析 例1原不等式可转化为(x+5)(6x-12)>0,则所求解集 为{xx<-5或x>2}. 例2原不等式可转化为(-2x+4)(x-1)>0,为使二次项 系数大于零，进一步转化为(2x-4)(x-1)<0,则所求解 集为{x11<x<2}. 例3将2移到左边来通分相减，原不等式可变形为 3x+3 <0,利用上述方法易得不等式的解集为{x1-2< 2x+4 x<-1}. 【注意】如果不等号带等号，需要特别注意分子可以等于 车，但分母不能等于家的问题，如不等式有≥0，钟换成 一元二次不等式后得到x(x+1)≥0，此时如果直接得到 分式不等式的解集为{x|x≥0或x≤-1}，则此解错误， :需要考虑x+1≠0，即x≠-1，原不等式的解集 为{xx≥0或x<-1}. 巩固练习 ((-3,2）(2(,4)u2,+m) (3)(,)u(分*）(4(-2 第四节绝对值不等式的解法 典例精析 例(1)将2x-3看成一个整体，.2x-3>4或2x-3<-4, 解得7或7 1 2 (2)将x-1看成一个整体，得-5≤x-1≤5，解得 -4≤x≤6. (3)两边同时平方得(x-1)2>(x-5)2,·.x2-2x+1> x2-10x+25,解得x>3. 巩固练习 1.BB={x0≤x≤2}，故A∩B={1,2},故选B. 2.B依题意，M={x1x<0或x>2},N={x|x<2}, .MnN={xlx<0},故选B. 3.CP={x|-1≤x-1≤1}={x|0≤x≤2}，∴.P∩Q= {1,2},故选C. 4.Ax-2<1→-1<x-2<1→1<x<3,(1,2)C(1,3), 故选A 5.A由A可得12x-1|<x-21,.(2x-1)2<(x-2)2,解 得-1<x<1,由B可得-3≤2x+1≤3，解得-2≤x≤1. .A∩B={xl-1<x<1{. 6.C由题设1x+11≥x+21.两边平方得(x+1)2≥(x+2)2, 解得：≤又：≠-2，故选C 第三章函数 第一节函数的概念 典例精析 例1(1)(-5,2) a[层引 (3)(4,+∞) (4[+ (5)(-0,-9] (6)(-∞，23) 例2(1)无论x取什么值，都能得到对应的y值，∴.定 义域为R. (2)由于负数不能开平方，.定义域为[0，+∞). (3)由于分式的分母不能为零，∴.定义域为(-∞，0)U (0,+∞) (4)由(2)和(3)易得x+1≥0,2-x≠0，∴.x≥-1且x≠2 定义域可表示为[-1,2)U(2,+∞). 例3(1)由于任何实数的平方都是大于零或等于零的， .该函数的值域为[0，+∞). (2)当x∈R时，y=2x+1的值也能取遍所有的实数，.该 函数的值域为R. 例4(1)f2)=22-3×2+1=-1,f(4)=24-3×4+1=5. (2)f-a)=3·(-a)2+2·(-a)-4=3a2-2a-4. 例5在高考中，对分段函数的考查主要通过对其函数 值的求解进行.解答此类题的关键是代值时对具体选择 哪一个解析式作出正确的判断.，-1<0，求f(-1)时只 能使用第三个解析式，从而得(-1)=0， ∴.ff(-1))=f(0)=π，∴.fff(-1))=f(π)=π+1. 例6先在坐标系中画出y= y 士的图象但这支图象不能 取整支，只能取定义在 [1,+∞)上的部分，其余部分 72 要擦掉.再画出y=x的图象， 取定义在[0,1)之间的部分， 最后把y=x+2的图象画出来，截取(-∞，0)上的部分 这三段图象一起构成该分段函数的图象，如上图所示. 【注意】对于①、②两段函数，二者定义域在x=1处连接， 而当x=1时，两段函数的值相等，所以二者图象在x=1 处能实现连接，即在A,点连续.而对于②、③两段函数，它 们定义域的连接点是x=0,当x=0时，它们的值不相等， 两段函数图象不能连续， 此分段函数的图象不连续，不能因此否认它是一个 函数，因为它仍然满足知识梳理2对函数的定义，即从定 义域中任取一个值，都有唯一的函数值和它对应。 巩固练习 一、选择题 1.Cf-2)=4-2)=2,故选C, 2.Bm是无理数，∴g(π)=0，∴f(g(π)=f八0)=0. 故选B. 3D根据分段函数性质将x=名代入)，则） 63-小=4，再将6分别代人3-b和2中， 再根据定义域范围，求得满足的b的值，故选D. |x+2,x≤-1， 4.AD根据题意f(x)=x2,-1<x<2, 2x,x≥2. 若f(x)=1,分以下3种情况讨论： ①当x≤-1时f(x)=x+2=1,解得x=-1; ②当-1<x<2时，f代x)=x2=1,解得x=±1， 又由-1<x<2,则x=1; 1 ③当x≥2时(x)=2x=1,解得x=2,舍去. 综合可得x=1或-1. 二、画出下列分段函数的图象 1. 0 第二节一元一次函数和一元二次函数的值域 典例精析 例1(1)-2<x<3,.-6<3x<9,.-4<3x+2<11,.该 函数的值域为(-4,11).