第1章 第2节 命题、充分条件与必要条件-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

高考零起点·数学 A.{xx>0} B.{xx=0} C.{xx≠0} D.0 7.已知集合A={x-2x>a},B={x-1<x<4},且AU(CB)=R,则实数a的取值范围是 ( A.a≤-8 B.a<-8 C.a≥8 D.a>8 8.(2023新高考I卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若ACB, 则a= ( A.2 B.1 c D.-1 9.已知集合A={(x,y)y=2x+1},B={(x,y)x-y=1},则AnB等于 A.{(-2,-3)}B.{-2,-3} C.{x-3≤x≤-2}D.☑ 第二节命题、充分条件与必要条件 知识梳理 本节内容是为把自然语言符号化、严谨化，使之用于计算机、人工智能等科学领域 而做的准备工作 1.命题是用来判断真假的陈述句，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语 句叫做假命题.命题通常用小写字母p,q,T,s…表示. 2.为了把命题表达好，我们常给命题指定范围，如“所有中国公民都要遵守法律”“有 些人没有环保意识”“任何人都不能同时拥有商品的两个基本属性”等.用来给这些命题指定 范围的词如“所有”“任意”“每一个”等叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称量词命 题；而另外一些词如“存在”“至少”“有些”等叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做存在 量词命题 3.全称量词用符号“H”表示，全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符 号简记为“Hx∈M,p(x)”,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”；存在量词用符号 “了”表示，存在量词命题“存在M中的元素xo,p(xo)成立”可用符号简记为“了x∈M, p(xo)”,读作“存在M中的元素xo,使p(x)成立” 4.“命题p可以推出命题q”与“命题g可以推出命题p”是两个不等价的说法.“充分 条件”“必要条件”等概念是为了避免人们认为这两种说法等价而产生的 5.如果“命题p可以推出命题q”,我们把p叫做q的充分条件；如果“命题q可以推 出命题p”，我们把p叫做g的必要条件 第一章集合、常用逻辑用语、充分条件与必要条件 6.与充分、必要条件有关的概念，用表格表示如下： p,q为两个命题 若p→q且p华g p是q的充分不必要条件 若p本q,且p仁q p是g的必要不充分条件 若p→q,且p仁q p是q的充分必要条件 若p本q,且p华q p是q的既不充分也不必要条件 典例精析 例1设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 例2设a,b为实数， 则“a>b>0”是1<的 条件 () A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 例3（多选）设a∈R,则二>1的必要不充分条件有 A.a<1 B.0<a<1 C.a>0 D.a2<1 巩固练习 1.下列命题是真命题的是 A.Hx∈R,x2>0 B.3x∈R, 1=0 C.3x∈R,x6≥0 D.Hx∈R,x=x 2.(2021天津卷)已知a∈R,则“a>6”是“a2>36”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3对于实数a,b,“是0=3,6=2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.对于实数，b,“a<b<0”是b<1”的 a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 高考零起点·数学 5.“a+c>b+d”是“a>b且c>d”"的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设a,b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>y”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.“ACB”是“A∩B=A”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.对于实数a,b,c,下列命题中属于真命题的是 A.若a>b,则ac2>bc2 且au,则 C.a<b<0,则2>% a h Dad,5则ao0,bd 10.设集合A={xx<a}，,B={xx<3},则“a<3”是“ACB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.（2024新高考Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R,x+1>1;命题q:3x>0,x3=x,则 A.p和g都是真命题 B.p和g都是真命题 C.p和g都是真命题 D.p和g都是真命题 12.设x是实数，那么x<3成立的一个必要而不充分的条件是 A.x<3 B.x<2 C.x2<9 D.1<x<4数学参 正文部分 第一章集合、常用逻辑用语、充分条件与必要条件 第一节集合 典例精析 例1(1)AnB={x|-2≤x<-1},故(A∩B)={x -5≤x<-2}U{x-1≤x≤3}={x|-5≤x<-2或-1≤ x≤3}. (2)AUB={x|-5≤x<1},故u(AUB)={x1≤x≤3}. (3)CA={x-1≤x≤3}，CwB={x-5≤x<-2或1≤ x≤3}，故(CA)∩(CB)={x1≤x≤3}. (4)由(3)，(CA)U(CB)={x-5≤x<-2}U{x|-1≤ x≤3}={x-5≤x<-2或-1≤x≤3}. m-4<-2, 例2依题意，A为B的子集，于是必有{2m+3≥5，解 2m+3>m-4, 得1≤m<2. 例3(1)：集合A表示函数y=的定义域，集合B表 示函数y=x2的值域，∴.A={xx≠0}，B={yly≥0.于是 CA={xx=0},CB={yly<0},故CAUCB={xlx≤0. (2):集合A表示直线x+2y=1上的点的集合，集合B表 示直线y=x上的点的集合，.A∩B表示两条直线的交 1 1 点，将两个直线方程联立解得x=3,y=3,于是A∩ =行)} 【提示】在集合中，竖线前面的部分（一般就是一个字 母)是元素符号，元素的类别由元素符号确定 在(1)中，集合A的竖线前面是字母x,竖线后面是 等式y,所以该条合表示等式y士中x能取到的所 有值，即函数y=】的定义域与之类似，集合B竖线前 面是字母y,它表示的是函数y=x2的值域.一个集合的 内容由集合的元素决定，与元素符号无关，CA和CB 本质上都是数集，它们既能取并集又能取交集，不能因为 它们元素符号不同就认为它们之间不能进行集合的运 算，更不能认为它们的交集是空集 在(2)中，竖线前面都是点的坐标，所以集合A和集 考答案 合B分别表示对应直线上的，点的集合.A∩B就表示两条 直线的交点坐标 巩固练习 1.A由题意可得CN={2,4,8},则MUCN= {0,2,4,6,8}.故选A. 2.BA={xx>3},B={x|1<x<4},A∩B= {x3<x<4}.故选B. 3.C由题意可得MUN={xl-3<x<4}. 4.BA∩B={1,4,6},A∩B的真子集个数为 23-1=7.故选B. 5.B0是{0}的元素，0不是{0}的真子集也不是子集， ∴.0∈{0}，故①错误，②正确，③错误，☑是{0}的真子 集，记为☑手{0}，故④错误，⑤正确.故选B. 6.C由2<1得x>2或x<0:由6≥3得0<≤2，： AUB={xx≠0}.故选C. 7AR为实数柴，柴合A={2},8=-1 x<4},CB={xx≤-1或x≥4}，又AU(B)=R, 号≥4，a≤-8故选A 8.B若-a=1,则a=-1,此时A={0,1},B={1,-3,-4},不 符合题意；若-a=a-2,则a=1,此时A={0,-1}, B={1,-1,0},A≤B,符合题意；若-a=2a-2,则a= 子此时4={0，引，8=1，子号引，不符合题 意，故选B. 9.AA与B的交集为直线y=2x+1与x-y=1的交点，联 立两个方程解得x=-2,y=-3,即交点坐标为(-2， -3),故选A 第二节命题、充分条件与必要条件 典例精析 例1取x=-2,-2<3,显然pg,但g→p,p是g成立的 必要不充分条件，故选C 例2若ab0,显然有<行所以ab60<分反 过来，若。<分取a=-1,b=1,不能推出a>6>0所以 “a>b0是L<的充分不必要条件.故选A a<6 例3本题与例1和例2的区别是条件都在选项中，而题 干中的不等式为结果，条件和结果的位置反过来放了， 给解题带来很大的干扰， “必要”就是结果能够推出条件，即1>1能够推出选项 成立；“充分”就是条件能够推出结果，即选项能够推出 >1成立>1的解为0a<1,故A.C满足要求；B是 充要条件，故B不满足要求；又a2<1的解为-1<a<1,故 D满足要求，故选ACD 巩固练习 1.C对于A,x=0时不成立，故B不满足要求，排除A; 不可能等于0，排除B:对于D 立.故选C 2.A由题意，若a>6,则a2>36,故充分性成立；若 a2>36,则a>6或a<-6,推不出a>6,故必要性不成立. 故选A. 3B令a=6,6=4,满足名=子由名=号不能推 出a=3,6=2,充分性不成立；当a=3,6=2时，6=2 必要性成立故选B. 4.A若“a<b<0”,在a<b的两边同时除以a,不等号改变 方向，有合<1，故“a<b<0"是“名<1”的充分条件：若 “6<1",假设a=-1,b=3,则a<0<b,故“a<b<0”不是 “b<1”的必要条件.故选A 5.A:a>b,c>d曰→a+c>b+d,故必要性成立；反过来却不 成立，如：5+2>1+3，但2<3.故选A. 6.D在a>0,b>0条件下，此命题条件和结论才有关系， 故选D. 7.C当“x>y”时，若x=1,y=-2,“x>y”不成立，故“x> y”不是“x>y|”的充分条件；当“x>|y|”时，若y≤0， “x>y”显然成立，若y>0,则“x>y=y”,即“x>y”成立， 故“x>y”是“x>y”的必要条件.故“x>y”是“x>y”的 必要不充分条件，故选C. 8.CA∩B=A台ACB,∴.“ACB”是“A∩B=A”的充要 条件.故选C. 9.D命题A,当c=0时不成立，故为假命题； 命唐B,若0b0,则。公成为很命愿 命题C,由a<b<0,则b<二，故为假命题； a b 11得1-1>0 命题D,由。>。得。>0，即>0，而由a>6得 ab b-a<0,故a>0,b<0,故为真命题.故选D. 10.A ACBa≤3，则“a<3”是“ACB”的充分不必要条 件故选A. 11.B对于p而言，取x=-1,则有1x+1|=0<1,故p是假 命题，P是真命题，对于q而言，取x=1,则有 x3=13=1=x,故q是真命题，q是假命题，综上，p和 q都是真命题故选B. 12.A依题意，选项是条件，|x|<3是结果.“不充分”需 要选项不能推出引x1<3,“必要”需要1x|<3能够推出 选项.故选A 第二章不等式的解法 第一节一元二次方程的解法 典例精析 例（1)运用求根公式，a=2,b=-1,c=-2,则b2- 4ac=17,.x1,2= 1±√17 4 (2)十字上的四个数可如图1配置，从而原方程等价于 (x-3)(x+1)=0,∴.x=3或x=-1. (3)十字上的四个数可如图2配置，从而原方程等价 于(3x+1)(x-2)=0,∴.x=- 3或x=2 图1 图2 (4)将方程左边分解因式易得x(x-8)=0,.x=0 或x=8. (5)依题意，x2=25,所以x=5或-5. 巩固练习 (1)运用求根公式，a=1,b=1,c=-1,则b2-4ac=5, 名，2=15 2 (2)运用十字交叉法，原方程可等价于(2x-3)(x-2)=0, 六或=2 (3)将方程左边因式分解易得x(x-6)=0,∴.x=0 或x=6. (4)依题意得x=±4. (5)运用十字交叉法，原方程可等价于(2x+1)(3x- 2刃=0.=分减= 2 3 (6)依题意得x2-6x+8=0,运用十字交叉法，原方程可等 价于(x-2)(x-4)=0,∴.x=2或x=4.