第1章 第1节 集合-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

第一章集合、常用逻辑用语、充分条件与必要条件 第一章集合、常用逻辑用语、充分条件与必要条件 第一节集合 知识梳理 无穷集合是现代数学的基础，本节内容是为将来学习无穷集合建立概念.在高考中， 需要掌握的集合知识如下表所示： 类别 类别说明 举例 备注 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的 总体叫做集合.集合通常用大写拉丁字母A, B,C,…表示，元素通常用小写拉丁字 π生{有理数} 集合中的元素有三个特征： 概念 母a,b,c,…表示.如果a是集合A的元 √2∈{无理数} 确定性、互异性、无序性 素，就说a属于集合A,记作aeA;如果a 不是集合A中的元素，就说a不属于集 合A,记作aA 把集合的元素一一列举出来，并用 列举法 {2,5,7,8,10} 全体自然数、整数、有理数、 表示 花括号“{}”括起来表示集合 实数的集合分别用大写字 方法 用集合所含元素的共同特征表示 母N、Z、Q、R表示，正整 描述法 {xx+2<6 集合 数集用N(或N)表示 如果集合A中 A二B(或 ①如果一个集合有n个元 任意一个元素 记作 B2A) 都是集合B中 素，则这个集合的子集有2” 子集 {1,4}≤ 个，真子集有(2”-1)个 的元素，则 {0,1,2,4} 称A为B的 A包含于B ②不含任何元素的集合叫做 读作 和{1,4} (或B包含A) 空集，记作②.空集是任何集 集合间的关系 子集 {0,1,2,4} 合的子集，是任何非空集合 A手B 均成立； 的真子集 A为B的子集， 记作 (或BA) 但{1,4}≤ ③“∈”和“”只能用于元素 但集合B中至 {1,4}成立， 真子集 与集合之间的关系；“C”和 少有一个元素不 A真包含于B{1,4} 是A中的元素 读作（或B真包 “军”只能用于集合与集合之 {1,4}不成立 间的关系 含A) 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 如果A二B且BCA,则A=B 高考零起点·数学 续表 类别 类别说明 举例 备注 由既属于集合A 记作 A∩B {2,4,7,8}∩ 又属于集合B的 交集 所有元素组成的 {1,4,8,5}= 集合 读作 A交B {4,8 由所有属于集 记作 AUB 合A或属于集合 {2,9}U 并集 B的元素组成的 {1,4,5}= {1,2,4,5,9} 集合的运算 集合 读作 A并B {x|x>1}n 分配律 ({x-1<x<2}U A(BUC)=(A∩B)U(A∩C) 解不等式组时常用 {xx>3})={x1< x<2}U{xx>3 全集中不属 记作 CA U={x∈N|1< 于集合A的所 有元素组成的 x<10},A= 同一集合在不同全集中的补 补集 {2,78,9}, 集合称为集 A在U中的 集是不同的 合A相对于全 读作 补集， 简 CA={3, 集U的补集 称A的补集 4,5,6} 典例精析 例1已知全集U={x-5≤x≤3}，A={x-5≤x<-1},B={x-2≤x<1}. 求：(1)u(AnB);(2)(AUB);(3)(A)n(CB);(4)(CA)U(CB). 例2已知集合A={x-2≤x≤5}，B={xm-4<x≤2m+3},若ACB,求实数m的取 值范围。 第一章集合、常用逻辑用语、充分条件与必要条件 例3(1已知U=R,集合A==引，案合6=yy=2,求CU, (2)已知集合A={(x,y)川x+2y=1},集合B={(x,y)川y=x,求AnB. 巩固练习 1.(2023全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N= {0,1,6},则MUCIN= () A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U 2.设集合A={xx>3},B={x1<x<4},则A∩B= () A.{x1<x<4} B.{x3<x<4 C.{x1<x<3} D.xx<4 3.(2024北京卷)已知集合M={x-3<x<1},N={x-1≤x<4},则MUN= A.{x-1≤x<1}B.{xx>-3} C.{x-3<x<4} D.{xx<4} 4.已知集合A={2,1,3,4,6},集合B={-2,1,4,6,9},则A∩B的真子集个数为 ( A.6 B.7 C.8 D.9 5.下列五个关系式中正确的有 ①0手{0 ②0∈{0}③0C{0 ④0∈{0} ⑤☑手{0} A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6已知集合A=?<1,B=≥3，则4UB等于 高考零起点·数学 A.{xx>0} B.{xx=0} C.{xx≠0} D.0 7.已知集合A={x-2x>a},B={x-1<x<4},且AU(CB)=R,则实数a的取值范围是 ( A.a≤-8 B.a<-8 C.a≥8 D.a>8 8.(2023新高考I卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若ACB, 则a= ( A.2 B.1 c D.-1 9.已知集合A={(x,y)y=2x+1},B={(x,y)x-y=1},则AnB等于 A.{(-2,-3)}B.{-2,-3} C.{x-3≤x≤-2}D.☑ 第二节命题、充分条件与必要条件 知识梳理 本节内容是为把自然语言符号化、严谨化，使之用于计算机、人工智能等科学领域 而做的准备工作 1.命题是用来判断真假的陈述句，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语 句叫做假命题.命题通常用小写字母p,q,T,s…表示. 2.为了把命题表达好，我们常给命题指定范围，如“所有中国公民都要遵守法律”“有 些人没有环保意识”“任何人都不能同时拥有商品的两个基本属性”等.用来给这些命题指定 范围的词如“所有”“任意”“每一个”等叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称量词命 题；而另外一些词如“存在”“至少”“有些”等叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做存在 量词命题 3.全称量词用符号“H”表示，全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符 号简记为“Hx∈M,p(x)”,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”；存在量词用符号 “了”表示，存在量词命题“存在M中的元素xo,p(xo)成立”可用符号简记为“了x∈M, p(xo)”,读作“存在M中的元素xo,使p(x)成立” 4.“命题p可以推出命题q”与“命题g可以推出命题p”是两个不等价的说法.“充分 条件”“必要条件”等概念是为了避免人们认为这两种说法等价而产生的 5.如果“命题p可以推出命题q”,我们把p叫做q的充分条件；如果“命题q可以推 出命题p”，我们把p叫做g的必要条件数学参 正文部分 第一章集合、常用逻辑用语、充分条件与必要条件 第一节集合 典例精析 例1(1)AnB={x|-2≤x<-1},故(A∩B)={x -5≤x<-2}U{x-1≤x≤3}={x|-5≤x<-2或-1≤ x≤3}. (2)AUB={x|-5≤x<1},故u(AUB)={x1≤x≤3}. (3)CA={x-1≤x≤3}，CwB={x-5≤x<-2或1≤ x≤3}，故(CA)∩(CB)={x1≤x≤3}. (4)由(3)，(CA)U(CB)={x-5≤x<-2}U{x|-1≤ x≤3}={x-5≤x<-2或-1≤x≤3}. m-4<-2, 例2依题意，A为B的子集，于是必有{2m+3≥5，解 2m+3>m-4, 得1≤m<2. 例3(1)：集合A表示函数y=的定义域，集合B表 示函数y=x2的值域，∴.A={xx≠0}，B={yly≥0.于是 CA={xx=0},CB={yly<0},故CAUCB={xlx≤0. (2):集合A表示直线x+2y=1上的点的集合，集合B表 示直线y=x上的点的集合，.A∩B表示两条直线的交 1 1 点，将两个直线方程联立解得x=3,y=3,于是A∩ =行)} 【提示】在集合中，竖线前面的部分（一般就是一个字 母)是元素符号，元素的类别由元素符号确定 在(1)中，集合A的竖线前面是字母x,竖线后面是 等式y,所以该条合表示等式y士中x能取到的所 有值，即函数y=】的定义域与之类似，集合B竖线前 面是字母y,它表示的是函数y=x2的值域.一个集合的 内容由集合的元素决定，与元素符号无关，CA和CB 本质上都是数集，它们既能取并集又能取交集，不能因为 它们元素符号不同就认为它们之间不能进行集合的运 算，更不能认为它们的交集是空集 在(2)中，竖线前面都是点的坐标，所以集合A和集 考答案 合B分别表示对应直线上的，点的集合.A∩B就表示两条 直线的交点坐标 巩固练习 1.A由题意可得CN={2,4,8},则MUCN= {0,2,4,6,8}.故选A. 2.BA={xx>3},B={x|1<x<4},A∩B= {x3<x<4}.故选B. 3.C由题意可得MUN={xl-3<x<4}. 4.BA∩B={1,4,6},A∩B的真子集个数为 23-1=7.故选B. 5.B0是{0}的元素，0不是{0}的真子集也不是子集， ∴.0∈{0}，故①错误，②正确，③错误，☑是{0}的真子 集，记为☑手{0}，故④错误，⑤正确.故选B. 6.C由2<1得x>2或x<0:由6≥3得0<≤2，： AUB={xx≠0}.故选C. 7AR为实数柴，柴合A={2},8=-1 x<4},CB={xx≤-1或x≥4}，又AU(B)=R, 号≥4，a≤-8故选A 8.B若-a=1,则a=-1,此时A={0,1},B={1,-3,-4},不 符合题意；若-a=a-2,则a=1,此时A={0,-1}, B={1,-1,0},A≤B,符合题意；若-a=2a-2,则a= 子此时4={0，引，8=1，子号引，不符合题 意，故选B. 9.AA与B的交集为直线y=2x+1与x-y=1的交点，联 立两个方程解得x=-2,y=-3,即交点坐标为(-2， -3),故选A 第二节命题、充分条件与必要条件 典例精析 例1取x=-2,-2<3,显然pg,但g→p,p是g成立的 必要不充分条件，故选C 例2若ab0,显然有<行所以ab60<分反 过来，若。<分取a=-1,b=1,不能推出a>6>0所以 “a>b0是L<的充分不必要条件.故选A a<6