精品解析：内蒙古锡林郭勒盟第二中学2025-2026学年第二学期4月质量监测高二数学

锡盟二中2025-2026学年第二学期4月质量监测 高二数学 第I卷（选择题共58分） 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义和极限之间的关系进行求解． 【详解】函数，则， 所以， 故选：C． 2. 已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A. f(2)＜f(e)＜f(3) B. f(e)＜f(2)＜f(3) C. f(3)＜f(e)＜f(2) D. f(e)＜f(3)＜f(2) 【答案】A 【解析】 【详解】因为在定义域上，，所以在上是增函数，所以有，故选A. 【方法点晴】本题主要考查函数的求导法则、函数的单调性的应用，属于中档题.函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．本题先判定函数的单调性，然后利用单调性得到的. 3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（ ） A. B. C. 1 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义并结合垂直的条件，列式求解作答. 【详解】函数，求导得，则曲线在点处的切线斜率， 又该切线与直线垂直，因此，解得， 所以. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导直接求解即可. 【详解】解：求导得， 所以，解得 故选:B 5. P是曲线上的任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求与直线平行且与函数相切的切线，再根据点到直线距离公式得结果. 【详解】设点为曲线上一点， 在点处的切线斜率为 令，因此 从而点P到直线的最小距离为点到直线的距离， 即为 故选：B 【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离，考查基本分析求解能力，属基础题. 6. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果. 【详解】因为的导数，所以令，得，所以切点为． 代入直线，得． 故选：C 7. 若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案. 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 二､多选题（每题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】A中′＝1－，A不正确； D中，(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，D不正确；BC正确. 答案　BC 10. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数的所有极值的和为2 C. 函数只有1个零点 D. 是函数图像的一条切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，求得极小值为，极大值为，求得，结合当时，，得到函数只有一个零点，设切点为，利用导数的几何意义，求得切线坐标，即可求解. 【详解】由函数，可得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以函数当时，取得极小值，极小值为， 当时，取得极大值，极大值为， 所以， 又由当时，，所以函数只有一个零点，所以A、B、C正确. 假设是曲线的切线，设切点为， 则，解得或， 显然点和均不在曲线上，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，关于的性质，以下四个推断中推断正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 函数是区间上的增函数 C. 是奇函数 D. 函数在上取得最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据函数的定义域为，可判断； 对于B、D：求导，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和最值，可判断． 对于C：由可判断. 【详解】解：根据题意可得，函数的定义域为，所以A为正确； 因为，当时，，所以函数在为单调递减函数， 当或时，，在，为单调递增函数， 又在，上为正，在上为负，所以函数在上取得最小值，所以D正确，B错误． 因为，所以是非奇非偶函数，所以C错误． 故选：AD． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题（每题5分，15分） 12. 函数的图象在处的切线的倾斜角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数求切线斜率，即可得解. 【详解】函数，则， 则， 所以函数的图象在处的切线的倾斜角为. 故答案为： 13. 设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，结合函数的奇偶性求得使得成立的的取值范围. 【详解】构造函数，， 所以为偶函数. 当时，，递增， 所以当时，递减. ， 画出的大致图象如下图所示， 由图可知使得成立的的取值范围是. 故答案为： 14. 如图，已知是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及复合函数求导法则计算即可. 【详解】． 由已知图象可知，直线经过点和，故． 由导数的几何意义可得，因为在曲线上，故． 故． 四､解答题 15. 求下列直线的方程： （1）曲线在处的切线； （2）曲线过点的切线． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导，再根据直线的点斜式方程求解即可； （2）设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，再代入求解即可. 【小问1详解】 ，故曲线在处的切线斜率为， 故在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 设切点为，因为，故曲线在处的切线方程为， 化简可得，代入可得， 即，解得或， 代入切线方程可得或. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）对函数求导，通过导函数的正负判断的单调区间； （2）根据（1）中的单调性可得的极值，与区间端点值比较可得最值. 【小问1详解】 定义域为，， 令，得， 列表如下： 2 0 ↗ ↘ 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； ∴的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 ，， ∵，∴， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值. 17. 相应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进修自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生成x万件，需另投入流动成本W（x）万元，在年产量不足4万件时，W（x）=x3+2x.在年产量不小于4万件时，W（x）=7x+-27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完. （1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当年产量为10万件时，所获利润最大，为5万元. 【解析】 【分析】（1）分别求得当时，，当时，，即可求得函数的关系式； （2）由（1）中的解析式，当时，利用导数求得函数的单调性和最大值，当时，利用基本不等式求得函数的最大值，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，当时，； 当时，， 所以年利润关于的函数关系式为. （2）由（1）知， 当时，，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以； 当时，， 当且仅当，时取等号. 所以当年产量为10万件时，所获利润最大，为5万元. 18. 已知函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）条件可转化为为的变号零点，列关系式求； （2）条件可转化为恒成立，利用导数求函数的最小值可得结果. 【小问1详解】 因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得. ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为. 【小问2详解】 因为，所以可转化为，即恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 【答案】（1）当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当 时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【小问1详解】 由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当 时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锡盟二中2025-2026学年第二学期4月质量监测 高二数学 第I卷（选择题共58分） 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A. f(2)＜f(e)＜f(3) B. f(e)＜f(2)＜f(3) C. f(3)＜f(e)＜f(2) D. f(e)＜f(3)＜f(2) 3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（ ） A. B. C. 1 D. －1 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. P是曲线上的任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数的所有极值的和为2 C. 函数只有1个零点 D. 是函数图像的一条切线 11. 已知函数，关于的性质，以下四个推断中推断正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 函数是区间上的增函数 C. 是奇函数 D. 函数在上取得最小值 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题（每题5分，15分） 12. 函数的图象在处的切线的倾斜角为______. 13. 设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________. 14. 如图，已知是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则________． 四､解答题 15. 求下列直线的方程： （1）曲线在处的切线； （2）曲线过点的切线． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 17. 相应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进修自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生成x万件，需另投入流动成本W（x）万元，在年产量不足4万件时，W（x）=x3+2x.在年产量不小于4万件时，W（x）=7x+-27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完. （1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $