陕西西安市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

西安第一中学高二数学月考9月参考答案 1 5 6 > 10 A D 0 BCD Ac 11 ABD 1 7 12.6V3 13.30 14.2 15.(q)因为二次函数()=+mx+m的图象与x轴交于两点，所以m2-4n>0,得4n<m2, 设4(，0)，B(x,0),则有+为=-m,=n, 二次函数f()=x+mr+n与y轴交于点C,得C(0,）, 所yCA=(G,-n）,CB=(s,n), 所以CA.CB=x,+m2=n+m2 设f(n)=n2+n 由二次函数的性质知，当”=2时，f()取得最小值4， 1 即CACB的最小值为4 (2)圆M恒过点(0，)， 证明如下： 方法一： 设经过A,B,C三点的圆为圆M, +龙=一m x= 易知AB的垂直平分线为 2 y-”-x- AC的垂直平分线为2n 2 x=+ 2 ts、n n x n+1 m n y x- 联立( 2 n 2),解得 2,即 (22 2(n-1)2 圆M的半径 r=CM=4 4 所以圆M的方程为 即x(x+m)+(y-n)y-1)=0 所以当x=0,y=1,等式恒成立， 故圆M恒过点(0，) 方法二： 设经过A,B,C三点的圆M为x+y2+Drx++F=0 [x2+Dx+F=0, x号+Dx2+F=0, n2+En+F=0, 又因为+x2=-m,x3=n 解之得：D=m,E=-n-1,F=n, 故所求圆的方程为t+广+mx-(n+1)y+n=0 即x(x+m)+(y-n)(y-1)=0 所以当x=0,y=1,等式恒成立， 故圆M恒过点(0,1)】 16.(1)设圆D的方程为c-)'+0-b)2=r2(>0). 因为圆D过点B(L,0),所以1-a0+b=产O. 因为圆D与x轴相切，所以6='@。 方程2+y2-2x-4y-4=0可化为c-2+0-2=32, 所以圆C的圆心为C(,2),半径为3， 当圆D与圆C内切时，所以0-a+(2-b)'=6-r}g, 、ha=16=2、一2，或a=16-/ 1 r= 02,2, 当圆D与圆C外切时，所以-a)'+(2-b)'=6+r④. 由①②④可得，方程组无解， 所以圆D的方程为 。- (2)因为直线EF将圆C分成了面积相等的两部分， 所以直线EF过圆心C,又点E，F为圆C上的两点， 所以点C为线段EF的中点，由是可知=3 PEPF-(PC+CE)-(PC+CF)-(PC+CE)(PC-CE)PCP- 所以PE.PF-BE=PcP-|BEP-9 所以当P小，B配技大时，PEPF-E的植小， y ◇ B 3x1-4×2-5=2 又点C(1,2)到直线3x-4y-5=0的距离为V3+(-4 所以PC 2,又由圆的性质可 BE s BC +3=5 所以PE·PF-BEP≥4-25-9=-30 所以PE.PF-BE的最小值为30， 17.(1)证明：连接EO,因为四边形ABCD为矩形， D E B∈ 所以点O为BD的中点，又点E为PD的中点，所以EO∥PB, 因为EOc平面AEC,PB￠平面AEC,所以PB∥平面AEC: (2)法一：由题意，可以A点为原点建立如图所示空间直角坐标系A-2, ZA 力 E B at600) c-30正-0 设平面4EC的法向量为元=(x,少2)】 元AC=3x+Vy=0 花=5 则 2 ,可取=25， 。z=0 由(1)知PB∥平面AEC, :PB到平面AEC的距离为B到平面AEC的距离， AB.元3 4 又 则AB在法向量n上的投影长度为 3 故PB到平面AEC的距离为4. 法二：由(1)知PB∥平面AEC, :PB到平面AEC的距离为B到平面AEC的距离， 在△AEC中， 由PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,故PA⊥CD, 由底面ABCD为矩形，则AD⊥CD,又ADOPA=A,AD、PAC平面PAD, 故CD⊥平面PAD,又PDC平面PAD,故CD⊥PD, 2 则 +13 2 2 cos∠EAC= V21 2x v2i 7 -×1 2 sin∠EAC=2v7 , , SMEC =1 故 AE.Csin∠EAC=VS 2, 1 二××/3××-×1=V3 11 31 由'a-ABc='E-ABc, VE-ABC= PA= 32 22 8, 设B到平面AEC的距离为h, ,-x5h5h=5 3 -h= h=- 3268,解得4， 故PB到平面AEC的距离为4. B 18.(1)连接BD交AC于点O,因为P,O分别为DF,DB的中点，所以BF∥PO, 又POC平面APC,BF￠平面APC,则BF∥平面APC. B (2)以A为原点，AB,AD,AF所在直线为x,',z轴，建立空间直角坐标系， 则4@ao,p@2o).cL2.0.r@0.P0 w-a.元-20，F-a-2 设平面AP℃的法向量为元=(x,y,2) 1 i.AP=0 y+22=0 由(iAC=0 得x+2y=0,令x=2,得i=(2,-1,2) DF.元45 cos(DF.n)= 所以 DF列 15 4v5 则直线DF与平面APC夹角的正弦值为15. ∠BAD=2π ∠ABE= 19.(1)在菱形ABCD中，AB=2, 3,故 3,E为BC中点，BE=1, AE=AB+BE2-24B.BEcos=4+1-2x2xlx1=3 由余弦定理得： ,故AE2+BE2=AB2, 2 即AE⊥BC,得AE⊥BE,AE⊥EC,翻折后，AE⊥B,E仍成立， 又BEOEC=E,BE,ECC平面BEC,故AE⊥平面BEC 又B,CC平面BEC,因此AE⊥BC (2)存在，P为AD的中点，过程如下： 以E为原点，AE为x轴，EC为'轴，Ez为z轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标：E(00,0),A-5,00）,C0,10).D(-5,20） 设B(0,y2),z>0,由BE=1得少+2=1， 由BD=22,得B,DP=(-V52+(2-y2+z2=8」 代入y+z2=1,解得y=0,2=1,故B(0,0,) P在线段4D上，设P=D(0≤2s),程P-5,2元.0），则C乎=5,2-0）， ￥面BcD中.C面=(0-)，历-(5.10）.设面BcD的-个法向务i=(2), i.CB,=0「-y+名=0 由m:而=0得-5x+y=0,取x=1得i=(5,5)园=万】 sin 0= cp.列万 设直线CP与平面B,CD夹角为0，则 CP州方7 23(-1-7 代入计：3+(22-)万7，化简得22-5+2=0，解得2（元=2台去，超出范 围) 因此存在点P,P为AD的中点满足条件. 西安第一中学2028届上学期第一次质量检测高二数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上。 2．答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。 3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上。 4．考试结束后，监考人将答题卡收回，考生自己保管试卷。 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 2．已知空间向量，，若，，三点共线，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 4．在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，且．若，则与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 5．已知在平行六面体中，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 9．已知圆：，过点作两条互相垂直的直线和分别交圆于，和，点，又过，分别作圆的切线交于，则下列说法正确的是（ ） A．若为，且，则这样的弦共有5条 B．若为，则动点在直线上 C．若为，则四边形面积的最大值为45 D．若为，则凸四边形面积的最大值为 10．已知方向向量为的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 11．在正方体中，，，分别是，的中点，下列说法正确的是（ ） A．直线平面 B．直线与所成角的正弦值为 C．过、、三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．过、、、四点的球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为                        ．当时，长度为                        ． 13．已知，，三点不共线，为平面外一点，且．若，，，四点共面，则                        ． 14．已知圆：，点，其中．过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则                        ． 四、解答题(本题共5小题，15题10分，16-17题13分，18-19题14分，共64分) 15．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求的最小值； （2）问经过，，三点的圆是否经过定点（与，无关）？请证明你的结论． 16．已知直线：，圆：，点 （1）求过点且与轴，圆都相切的圆的方程； （2）点为直线上的动点，点，为圆上的两点，且直线将圆分成了面积相等的两部分，求的最小值． 17．如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，．求到平面的距离． 18．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 19．已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． （1）求证：； （2）当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为？若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $