精品解析：辽宁省实验学校2023年九年级第一次质量检测数学试题

辽宁省实验学校九年级第一次质量监测－数学试卷（2023.5） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分） 1. 的绝对值为（　　） A. 21 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：的绝对值为21， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，0的绝对值为0，负数的绝对值等于它的相反数． 2. 2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景，其中，数据500000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 4. 已知点在反比例函数图像上，则下列各点中在此反比例函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将P点坐标代入解析式中，求出k的值，然后分别将各选项中点的横坐标代入解析式中，求出函数值并判断是否等于该点纵坐标即可． 【详解】解:把点代入中，． A.将x=﹣3代入中，解得y=﹣2，故在此反比例函数图像上，故A符合题意； B.将x=3代入中，解得y=2，故不在此反比例函数图像上，故B不符合题意； C.将x=﹣2代入中，解得y=﹣3，故不在此反比例函数图像上，故C不符合题意； D.将x=2代入中，解得y=3，故不在此反比例函数图像上，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查的是求反比例函数解析式和判断一个点是否在函数图像上，掌握用待定系数法求反比函数的解析式是解决此题的关键． 5. 若单项式与是同类项，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）求出m，n的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴m=3，n=2， ∴mn=32=9． 故选：A． 【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 6. 若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线只经过第一、二、三象限，可得抛物线与轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，当时，， ∵抛物线的图象只经过第一、二、三象限， ∴抛物线与轴有两个交点，， ∴，， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键． 7. 如图，在中，点分别在上，连接，，，，，则的长为（　　） A. 1.5 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 9. 如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况求出解析式，即可求解． 【详解】解：当0≤t≤1时，， ∴该图象y随x的增大而减小， 当1＜t≤2时，， ∴该图象开口向下， 当2＜t≤3，， ∴该图象开口向下， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键． 10. 如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂线段的性质和圆周角定理以及解直角三角形解答即可． 【详解】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4， ∴AD=BD=AB=4，即此时圆的直径为4， ∴OE=2， 由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=2×＝， 由垂径定理可知EF=2EH=2． 故选B． 【点睛】此题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．解题关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先提取公因式4后继续应用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 12. 不等式组的解集是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式方程的解集，求得解集的公共部分即可得出这个不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且##k≠-2且k≥-3 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：Δ=4+4（k+2）≥0， ∴解得：k≥-3， ∵k+2≠0， ∴k≥-3且k≠-2， 故答案为：且． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数是 _______度． 【答案】49 【解析】 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角，解答即可． 【详解】解：由旋转的性质，，， ， ， ， 故答案为：49． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角，是解题的关键． 15. 如图，在扇形中，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，长为半径作弧交的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，易证得，即可得到，求得，然后根据求得即可． 【详解】解：连接、， 过的中点作交于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，特殊角的三角函数，掌握特殊锐角三角函数值和扇形面积公式是解题关键． 16. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长． 【详解】解：如图：连接AE、AF、EN， 四边形ABCD是正方形 设AB=BC=CD=AD=a，， 在与中， ， ， 是等腰三角形， 又， 垂直平分EF， ， 又， ， 在中，， ， 解得a=20， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键． 三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分） 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质化简，再计算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，二次根式的加减混合运算，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有，，三个入口，她们可随机选择一个入口进入公园，假设选择每个入口的可能性相同． （1）小聪进入泰兴银杏公园时，从入口处进入的概率为______； （2）用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有A、B、C三个入口，进入每个入口的概率相同， ∴小聪进入泰兴银杏公园时，从入口处进入的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可得一共有种等可能性的结果数，其中她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的结果数有种， ∴她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 19. 如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，进而得到△ABD为等腰三角形，进而得到AB=AD，再由BC=AB，得到对边AD=BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明ABCD为菱形． 【详解】证明：∵， ∴∠ADB=∠DBC， 又BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴△ABD为等腰三角形， ∴AB=AD， 又已知AB=BC， ∴AD=BC， 又，即ADBC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又AB=AD， ∴四边形ABCD为菱形． 【点睛】本题考了角平分线性质，平行线的性质，菱形的判定方法，平行四边形的判定方法等，熟练掌握其判定方法及性质是解决此类题的关键． 四、解答题（每小题8分，共16分） 20. 九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图． 据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生，m的值是　 　． （2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　 　度； （4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣． 【答案】（1）50，18；（2）补全的条形统计图见解析；（3）108；（4）该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣． 【解析】 【详解】【分析】（1）根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m的值； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数； （4）根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣． 【详解】（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50（名）学生， m%=9÷50×100%=18%， 故答案为50，18； （2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3=15（名）， 补全的条形统计图如图所示； （3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×=108°， 故答案为108； （4）1000×=300（名）， 答：该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中找到必要的信息，利用数形结合的思想解答． 21. 为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？ 【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本． 【解析】 【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解． 【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元， 依题意，得： ， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝18． 答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元； （2）设能购买“科普类”图书m本， 根据题意得：18m+15(100-m)≤1600， 解得：， ∵m为整数， ∴最多能购买“科普类”图书33本． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 五、解答题（本题10分） 22. 如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点． （1）求证：； （2）若，且为的中点，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）设的半径为，则，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ， 的切线交的延长线于点， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设的半径为， 则， ，为的中点， ，， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 的半径长为6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 六、解答题（本题10分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8的等边三角形，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O到点A的方向向左平移，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，当点D与点B重合时，△CDE停止移动． （1）求直线OB的函数表达式； （2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为　　； （3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE的面积为36时，请直接写出此时点E的坐标为　　． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），先根据等边三角形的性质求出的长，再求出当边与直线重合时，移动的时间，然后判断点的位置，求出点的运动路程即可得； （3）分向左平移和向上平移两种情况，再分别利用等边三角形的性质、三角形的面积公式求出，的长，由此即可得出答案． 【详解】（1）由题意，设直线的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则直线的函数表达式为； （2）如图，设与轴的交点为点， 是边长为的等边三角形，且轴， ，， ，即， ， 当边与直线重合时，移动的时间为（秒）， 当移动3秒时，点的运动路程为个单位长度，且点在轴的负半轴上， 此时点的坐标为； （3）由题意得： 分以下两种情况： ①当向左平移时， 如图，设与轴的交点为点， 是边长为的等边三角形，且轴， ，， 的面积为， ，即， 解得， ， ； ②当向上平移时， 如图，过点作于点， 是边长为的等边三角形， ，， 的面积为， ，即， 解得， 点位于第二象限， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、等边三角形的性质，平移的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 七、解答题（本题12分） 24. 【问题提出】如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？ （1）【问题探究】如图（2），当点，重合时 ①与的数量关系是_________． ②_________． （2）如图（1），当点，不重合时，求的值． （3）【问题拓展】如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，求出线段，，之间的数量关系（用一个含有的等式表示）． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意利用可证得，即可证得为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结果． （2）过点作，交于点，利用证得从而得到，再利用即可证得，从而得到是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可得到答案． （3）过点作，交于点，根据题意结合（2）中结论分别证和，利用三角形相似的性质即可求得结果． 【小问1详解】 解：，， ， 在和中， ， ， ， 而点，重合， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， 故答案为：；． 【小问2详解】 过点作，交于点，如图所示， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问3详解】 过点作，交于点，如图所示： 由（2）知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 即或． 【点睛】本题考查了考查了相似三角形的综合应用、全等三角的判定及性质和勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定及性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 八、解答题（本题12分） 25. 如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等． ①证明上述结论并求出点的坐标； ②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值； （3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标． 【答案】（1）；（2）；，证明见解析（3）， 【解析】 【分析】（1）先求出顶点的坐标为，在设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点，即可求出其解析式； （2）设点坐标为，点坐标为，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；设直线的解析式为，直线与抛物线交于点，直线方程与抛物线联立得出，在结合的结论，分别表示出的值，即可求解； （3）先求出点的坐标，分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，则点即为所求 【详解】解：（1）点B关于轴对称点的坐标为 点的坐标为 设抛物线的解析式为 抛物点过原点 解得 抛物线解析式为：即 （2）设点坐标为，点坐标为 由题意可得： 整理得： 点的坐标为 设直线的解析式为，直线与抛物线交于点 整理得： 由得 整理得： （3）点在抛物线上， 如图：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点 则点，点，连接，交轴于点，交轴于点，则此时四边形PQBC周长最小 设直线的解析式为 解得 直线的解析式为 点坐标为，点坐标为 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验学校九年级第一次质量监测－数学试卷（2023.5） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分） 1. 的绝对值为（　　） A. 21 B. C. D. 2. 2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景，其中，数据500000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数图像上，则下列各点中在此反比例函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 5. 若单项式与是同类项，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图，在中，点分别在上，连接，，，，，则的长为（　　） A. 1.5 B. C. D. 2 8. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分） 11. 分解因式：_______． 12. 不等式组的解集是 ___________． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数是 _______度． 15. 如图，在扇形中，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，长为半径作弧交的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 ____________________． 16. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________ 三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分） 17. 计算：． 18. 小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有，，三个入口，她们可随机选择一个入口进入公园，假设选择每个入口的可能性相同． （1）小聪进入泰兴银杏公园时，从入口处进入的概率为______； （2）用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率． 19. 如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形． 四、解答题（每小题8分，共16分） 20. 九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图． 据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生，m的值是　 　． （2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　 　度； （4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣． 21. 为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？ 五、解答题（本题10分） 22. 如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点． （1）求证：； （2）若，且为的中点，求的半径长． 六、解答题（本题10分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8的等边三角形，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O到点A的方向向左平移，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，当点D与点B重合时，△CDE停止移动． （1）求直线OB的函数表达式； （2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为　　； （3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE的面积为36时，请直接写出此时点E的坐标为　　． 七、解答题（本题12分） 24. 【问题提出】如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？ （1）【问题探究】如图（2），当点，重合时 ①与的数量关系是_________． ②_________． （2）如图（1），当点，不重合时，求的值． （3）【问题拓展】如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，求出线段，，之间的数量关系（用一个含有的等式表示）． 八、解答题（本题12分） 25. 如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等． ①证明上述结论并求出点的坐标； ②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值； （3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $