专题05 四边形（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 四边形 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 平行四边形 题型二 矩形 题型三 菱形 必备知识 知识1 平行四边形 知识2 矩形 知识3 菱形 知识4 正方形 命题预测 预测 1 平行四边形的性质及判定［2024年9题］ 预测 2 矩形的性质及判定［两年必考］ 预测 3 菱形的性质及判定［2025年15题］ 预测 4 正方形的性质及判定 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 推理能力、创新意识、几何直观 热考角度 考点 2025年 2024年 平行四边形与多边形 / T9．平行四边形的性质及判定 矩形 T7．矩形的性质 T4．矩形的性质；与函数综合题结合考查 菱形 T15．菱形的性质 与一次函数结合考查 命题预测 1. 考情预测 · 结合辽宁 2023–2025 中考规律与 2026 命题趋势，四边形是几何中档题核心载体，分值稳定在 8–12 分，题型覆盖选择、填空、解答，重点考特殊四边形性质 / 判定、折叠 / 旋转、与三角形 / 函数综合、动点 / 存在性，难度延续 7:2:1，基础送分、中档拉分、压轴综合。 · 核心思想：分类讨论、方程思想、转化思想（把四边形问题转化为三角形） 2. 备考建议 · 基础题：刷性质 / 判定辨析、多边形计算，确保选择填空全对 · 中档题：重点练平行四边形 / 矩形 / 菱形 + 三角形 综合证明 + 计算，每天 1 道 · 热点题：专项练折叠、旋转、动点，掌握 “变中不变” 规律 · 压轴题：适当练四边形 + 函数 / 圆 综合，掌握存在性问题解法 题型一 平行四边形 · 标条件：把题目中的已知条件（边平行 / 相等、对角线平分、中点等）用符号标在图上，一目了然； · 选定理： · 若题目给一组边平行且相等，或能证出一组边平行且相等→直接用一组对边平行且相等判定； · 若题目给对角线的中点 / 交点，或能证出OA=OC、OB=OD→用对角线互相平分判定； · 若题目给两组边分别平行 / 相等→用两组对边分别平行 / 相等判定； · 写证明：用「∵条件（依据），∴结论」规范书写，每一步紧扣定理，不跳步。 1. （2024•辽宁中考•9题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 2. （2024•和平区模拟）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 题型二 矩形 解矩形题的通用小技巧 1. 必画图：不管题目有没有图，自己画一个，标上已知条件，几何题 “数形结合” 才不会错； 2. 少跳步：推导结论时，必须写明依据（如 “∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD（矩形对角线相等）”），避免凭感觉出错； 3. 抓直角：矩形的 90° 角是核心，遇到直角优先想勾股定理、直角三角形斜边中线定理； 4. 盯对角线：只要题目提到矩形的对角线，立刻想到 “互相平分且相等”，大概率是解题的突破口。 3. （2024•辽宁中考·4题）如图，在矩形中，点在上，当△是等边三角形时，为（　　） A． B． C． D． 4. （2025•辽宁中考·7题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C． D． 题型三 菱形 解菱形题的通用小技巧 1. 必画对角线：不管题目有没有给对角线，画出来！菱形的所有核心性质都和对角线相关，画对角线能快速构造直角三角形，破解 80% 的菱形题； 2. 记死面积公式：别只记底 × 高，对角线乘积的一半是菱形的 “专属大招”，已知对角线直接用，不用绕路求高； 3. 抓 “等边 + 等角”：四条边相等是菱形的基础，对角线平分内角能快速转化角度，遇到角度问题先想对角线； 4. 数形结合：几何题无图自己画，标上已知条件（边长、角度、对角线长度），直观的图形能快速找到解题思路。 5. （2025•辽宁中考·15题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为　　 ． 知识1 平行四边形 一、平行四边形的定义和表示： 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图），记作“”． 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成，也不能表示成． 四边形ABCD叫做平行四边形 二、平行四边形的性质： ①平行四边形的对边平行且相等 四边形ABCD为平行四边形，． ②平行四边形的对角相等； 四边形ABCD为平行四边形，． ③平行四边形的对角线互相平分． 四边形ABCD为平行四边形，． ④平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称；并且这条线段将平行四边形面积分成相等的两部分． 四边形ABCD为平行四边形，E、F在AD，BC上，且线段EF过点； ． ⑤平行四边形中重要结论： ⑥平行四边形的面积 ； 平行四边形面积=底高 三、平行四边形的判定： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形 ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． _ B _ C _ D _ A 四边形ABCD是平行四边形 ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形 知识2 矩形 一、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 二、性质：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质： 性质1：矩形的四个内角都相等，且为． 性质2：矩形的两条对角线相等． 性质3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线． 另外，由矩形的性质可以得出：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形． 三、判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形． （3）有三个角是的四边形是矩形． （4）对于平行四边形 ，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形． 知识3 菱形 一、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 二、性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质： 性质1：菱形的四条边相等． 性质2：菱形的对角线互相垂直平分． 性质3：菱形的对角线平分一组对角． 性质4：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线． 另外，由菱形的性质可以得出： （1）菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可用对角线乘积的一半来计算． （2）菱形的对角线把菱形分成四个小的直角三角形． 三、判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边相等的四边形是菱形． （4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 知识4 正方形 一、定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形 二、性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质． 性质1：正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等． 性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角． 性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线． 另外，由正方形的性质可以得出： （1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形． （2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半． 三、判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法： （1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直． （2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等． 命题预测1：平行四边形的性质及判定［2024年9题］ 1. （2025•辽阳模拟）如图，在腰长为8的等腰△中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 2. （2025•辽宁模拟）如图，在中，，分别是，的中点，连结，，，则图中平行四边形共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 3. （2024•苏家屯区模拟）如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与相交于点，连接，证明：． 4. （2024•兴隆台区校级一模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若△的面积等于2，求△的面积． 命题预测2：矩形的性质及判定［两年必考］ 5. （2025•辽阳模拟）如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点沿过点的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（　　） A． B．4 C． D．3 6. （2025•和平区二模）如图，在菱形中，，交于点，，，若，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 7. （2025•开原市二模）如图，在矩形中，，，点为边上一点，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，点在上运动，则的最小值为 ． 命题预测3：菱形的性质及判定［2025年15题］ 8. （2025•沈河区二模）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得，两点之间的距离为，，两点之间的距离为，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 9. （2025•新宾县校级模拟）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 10. （2025•新宾县模拟）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 　　． 命题预测4：正方形的性质及判定 11. （2024•辽宁模拟）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（　　） A．8 B．7.4 C．7 D．6.8 12. （2024•凤城市二模）阅读材料：中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价．书中问题与方程有密切联系，其所记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形中，与边、分别相切．问题：过点作的切线，交于点，交于点，若，且，则的半径为 　　． 13. （2022•浑南区二模）（1）问题情境：如图，正方形中，，点为射线上一动点，将沿所在直线翻折，得到，延长，射线与射线交于点，连接． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，则的长为 　 　． （2）思维深化：在中，，为边上的高，且，，请直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 平行四边形 题型二 矩形 题型三 菱形 必备知识 知识1 平行四边形 知识2 矩形 知识3 菱形 知识4 正方形 命题预测 预测 1 平行四边形的性质及判定［2024年9题］ 预测 2 矩形的性质及判定［两年必考］ 预测 3 菱形的性质及判定［2025年15题］ 预测 4 正方形的性质及判定 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 推理能力、创新意识、几何直观 热考角度 考点 2025年 2024年 平行四边形与多边形 / T9．平行四边形的性质及判定 矩形 T7．矩形的性质 T4．矩形的性质；与函数综合题结合考查 菱形 T15．菱形的性质 与一次函数结合考查 命题预测 1. 考情预测 · 结合辽宁 2023–2025 中考规律与 2026 命题趋势，四边形是几何中档题核心载体，分值稳定在 8–12 分，题型覆盖选择、填空、解答，重点考特殊四边形性质 / 判定、折叠 / 旋转、与三角形 / 函数综合、动点 / 存在性，难度延续 7:2:1，基础送分、中档拉分、压轴综合。 · 核心思想：分类讨论、方程思想、转化思想（把四边形问题转化为三角形） 2. 备考建议 · 基础题：刷性质 / 判定辨析、多边形计算，确保选择填空全对 · 中档题：重点练平行四边形 / 矩形 / 菱形 + 三角形 综合证明 + 计算，每天 1 道 · 热点题：专项练折叠、旋转、动点，掌握 “变中不变” 规律 · 压轴题：适当练四边形 + 函数 / 圆 综合，掌握存在性问题解法 题型一 平行四边形 · 标条件：把题目中的已知条件（边平行 / 相等、对角线平分、中点等）用符号标在图上，一目了然； · 选定理： · 若题目给一组边平行且相等，或能证出一组边平行且相等→直接用一组对边平行且相等判定； · 若题目给对角线的中点 / 交点，或能证出OA=OC、OB=OD→用对角线互相平分判定； · 若题目给两组边分别平行 / 相等→用两组对边分别平行 / 相等判定； · 写证明：用「∵条件（依据），∴结论」规范书写，每一步紧扣定理，不跳步。 1. （2024•辽宁中考•9题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的周长， 故选：． 2. （2024•和平区模拟）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【解答】（1）证明：， ，，， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ，， ，， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积是86． 题型二 矩形 解矩形题的通用小技巧 1. 必画图：不管题目有没有图，自己画一个，标上已知条件，几何题 “数形结合” 才不会错； 2. 少跳步：推导结论时，必须写明依据（如 “∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD（矩形对角线相等）”），避免凭感觉出错； 3. 抓直角：矩形的 90° 角是核心，遇到直角优先想勾股定理、直角三角形斜边中线定理； 4. 盯对角线：只要题目提到矩形的对角线，立刻想到 “互相平分且相等”，大概率是解题的突破口。 3. （2024•辽宁中考·4题）如图，在矩形中，点在上，当△是等边三角形时，为（　　） A． B． C． D． 【解答】证明：△是等边三角形， ， 四边形是矩形， ， ． 故选：． 4. （2025•辽宁中考·7题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C． D． 【解答】解：在矩形中，，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 故选：． 题型三 菱形 解菱形题的通用小技巧 1. 必画对角线：不管题目有没有给对角线，画出来！菱形的所有核心性质都和对角线相关，画对角线能快速构造直角三角形，破解 80% 的菱形题； 2. 记死面积公式：别只记底 × 高，对角线乘积的一半是菱形的 “专属大招”，已知对角线直接用，不用绕路求高； 3. 抓 “等边 + 等角”：四条边相等是菱形的基础，对角线平分内角能快速转化角度，遇到角度问题先想对角线； 4. 数形结合：几何题无图自己画，标上已知条件（边长、角度、对角线长度），直观的图形能快速找到解题思路。 5. （2025•辽宁中考·15题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为　　 ． 【解答】解：方法一：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，， ， ， 如图，取中点，连接， 点为的中点，点为的中点， 是三角形的中位线， ，， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 方法二：在菱形中，对角线与相交于点，，，， ，， ，， 为的中点， 又点为的中点， 为△的中位线， ， ． 故答案为：． 知识1 平行四边形 一、平行四边形的定义和表示： 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图），记作“”． 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成，也不能表示成． 四边形ABCD叫做平行四边形 二、平行四边形的性质： ①平行四边形的对边平行且相等 四边形ABCD为平行四边形，． ②平行四边形的对角相等； 四边形ABCD为平行四边形，． ③平行四边形的对角线互相平分． 四边形ABCD为平行四边形，． ④平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称；并且这条线段将平行四边形面积分成相等的两部分． 四边形ABCD为平行四边形，E、F在AD，BC上，且线段EF过点； ． ⑤平行四边形中重要结论： ⑥平行四边形的面积 ； 平行四边形面积=底高 三、平行四边形的判定： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形 ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． _ B _ C _ D _ A 四边形ABCD是平行四边形 ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形 知识2 矩形 一、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 二、性质：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质： 性质1：矩形的四个内角都相等，且为． 性质2：矩形的两条对角线相等． 性质3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线． 另外，由矩形的性质可以得出：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形． 三、判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形． （3）有三个角是的四边形是矩形． （4）对于平行四边形 ，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形． 知识3 菱形 一、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 二、性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质： 性质1：菱形的四条边相等． 性质2：菱形的对角线互相垂直平分． 性质3：菱形的对角线平分一组对角． 性质4：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线． 另外，由菱形的性质可以得出： （1）菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可用对角线乘积的一半来计算． （2）菱形的对角线把菱形分成四个小的直角三角形． 三、判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边相等的四边形是菱形． （4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 知识4 正方形 一、定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形 二、性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质． 性质1：正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等． 性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角． 性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线． 另外，由正方形的性质可以得出： （1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形． （2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半． 三、判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法： （1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直． （2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等． 命题预测1：平行四边形的性质及判定［2024年9题］ 1. （2025•辽阳模拟）如图，在腰长为8的等腰△中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长； 故选：． 2. （2025•辽宁模拟）如图，在中，，分别是，的中点，连结，，，则图中平行四边形共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 共有4个． 故选：． 3. （2024•苏家屯区模拟）如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与相交于点，连接，证明：． 【解答】解：连接， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ． 4. （2024•兴隆台区校级一模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若△的面积等于2，求△的面积． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， 四边形是平行四边形， ，， △的面积． 命题预测2：矩形的性质及判定［两年必考］ 5. （2025•辽阳模拟）如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点沿过点的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（　　） A． B．4 C． D．3 【解答】解：由折叠的性质得，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在△中，由勾股定理得， ， 四边形是矩形， ， ， 故选：． 6. （2025•和平区二模）如图，在菱形中，，交于点，，，若，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【解答】解：四边形为菱形，，， ，，， ， ， ，， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为矩形， ， 故选：． 7. （2025•开原市二模）如图，在矩形中，，，点为边上一点，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，点在上运动，则的最小值为 ． 【解答】解：在上截取，连接、、，过点作于点，则四边形是矩形． ，， ， ． ， ， ， ，，， ， ， ， △△， ， ． ． ，， ． 故的最小值为． 故答案为：． 命题预测3：菱形的性质及判定［2025年15题］ 8. （2025•沈河区二模）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得，两点之间的距离为，，两点之间的距离为，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，作于，于，连接，交于点， 由题意知，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， 四边形的面积为：． 故选：． 9. （2025•新宾县校级模拟）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：作图可得， 四边形是菱形， ， 由条件可得， ， 故选：． 10. （2025•新宾县模拟）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 　　． 【解答】解：如图，过点作于点，于点， ， 两张纸条宽度均为， 四边形为平行四边形，且， ， ， ， 四边形为菱形， 在中，，， ， 四边形的周长为：． 故答案为：． 命题预测4：正方形的性质及判定 11. （2024•辽宁模拟）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（　　） A．8 B．7.4 C．7 D．6.8 【解答】解：如图，过作于，并延长至，使， ，， 四边形为正方形， ，，， ， ， ，，， △△， ，， ， ， ， ，，， △△， ， 设，则， ， △中，， ， 解得：， ． 故选：． 12. （2024•凤城市二模）阅读材料：中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价．书中问题与方程有密切联系，其所记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形中，与边、分别相切．问题：过点作的切线，交于点，交于点，若，且，则的半径为 　　． 【解答】解：过点作于点，于点，连接，． ，是的切线， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，是的切线， ， 四边形是正方形， ， ， ，， 的半径为． 故答案为：． 13. （2022•浑南区二模）（1）问题情境：如图，正方形中，，点为射线上一动点，将沿所在直线翻折，得到，延长，射线与射线交于点，连接． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，则的长为 　 　． （2）思维深化：在中，，为边上的高，且，，请直接写出的长． 【解答】（1）①证明：四边形是正方形， ，， 由折叠得：，， ，， 在和中， ， ， ； ②解：分两种情况： 如图1，点在边上时， 设，则， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； 如图2，点在边的延长线上时， 设，则， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； 综上所述，的长是4或7.2； 故答案为：4或7.2； （2）解：如图3，将沿着边折叠，使与重合，沿着边折叠，使与重合， 可得，，，，，， ， ， ， 四边形为正方形， 设正方形的边长为，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ； 如图4，当是钝角三角形时，过点作，过点作于，过点作于，取，过点作于，延长交于，延长至，使，连接，， ， 四边形是正方形， ， 设，，则， ，， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，即①， 在中，， ， ， ②， 解①②得：， ． 综上，的长为或1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $