专题06 圆（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06圆 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 真题动向 题型 一 圆的综合题 知识1圆的基础知识 必备知识 知识2垂径定理 知识3圆周角定理 预测1与圆的性质有关的计算[两年必考，题位均在解答题中第21题] 命题预测 预测2与切线有关的证明与计算[2024年21题] 预测3弧长的计算[两年必考] 01 析·考情目标 命题形式： 命题 解答题21题 透视 考察能力： 推理能力、创新意识、几何直观 考点 2025年 2024年 热考 圆的基本性质 角度 T21:圆周角定理及推论，切线的判 与圆有关的位置关系 T21:圆的综合题，孤长公式 定与性质，孤长公式 与圆有关的计算 1.考情预测 结合近2年中考的趋势，2026年辽宁中考数学“圆”模块会保持题型稳定、考点集中、 难度平稳，核心围绕基本性质、切线、弧长/面积、圆与几何综合展开，分值约12-18分 命题 (选择1题+填空1题+解答1题)。 预测 2. 备考建议 ● 必背定理：圆周角、垂径、切线判定/性质、弧长/面积公式。 ● 必练题型： 1/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 切线证明（连半径证垂直）。 弧长/扇形面积计算。 圆+勾股/相似求线段。 。必避坑点： 一条弦对两个圆周角（易漏解）。 切线判定：有切点连半径，无切点作垂直（别搞反）。 弧长公式：n是圆心角，不是圆周角。 02 筑·专题框架 连接圆上任意两点的线段叫做弦 弦 经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最 长的弦，直径等于半径的2倍 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.」 基础知识 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 圆心角 一顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角一 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周 角 圆 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 定理 两条弧。 垂径定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 推论 弦所对的两条弧： 在同圆或等圆中，同弧或等孤所对的圆周角都相 定理 等，且都等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角 所对的弧（或弦）是半圆（或直径）. 推论 圆内接四边形的对角互补. 2/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03 攻•重难考点 题 动 问 ●0● 题型一圆的综合题 ®方法 解圆题的通用步骤 读题标条件：把已知的半径、直径、切线、角平分线标在图上； 定题型找定理：看问题是证明切线、求角度、求弧长，对应找核心定理： 画辅助线：按口诀画辅助线，集中条件： 构造特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、相似三角形（圆题的计算全靠这些）； 列方程/套公式：勾股、三角函数、相似比例、弧长/面积公式： 写结论：证明题写明依据，计算题化简结果。 1.(2024辽宁中考·21题)如图，0是△ABC的外接圆，AB是0的直径，点D在BC上， AC=BD,点E在BA的延长线上，∠CEA=∠CAD. (1)如图1，求证：CE是⊙0的切线； (2)如图2，若∠CEA=2∠DAB,0A=8,求BD的长. D C D B (图) (图) 【解答】(1)证明：如图1，连接0C, D B (图) :∠CA0是△ACE的一个外角， :∠CA0=∠CEA+∠ACE, 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即LCAD+∠DAB=∠CEA+∠ACE, :∠CEA=LCAD. :ZDAB ZACE AC=BD, ∠ABC=∠DAB, .∠ABC=∠ACE, AB是⊙O的直径， :∠ACB=90°， :∠ABC+L0AC=90°， :0A=0C, :∠0AC=L0CA, :LABC+L0CA=90°， .∠ACE+∠0CA=90°， 即∠0CE=90°， :0C是⊙0的半径， CE是⊙O的切线； (2)解：如图2，连接0D, D B EA (图盈) 设∠DAB=x, :∠CEA=2∠DAB, .∠CEA=2x, :∠CEA=∠CAD, .∠CAD=2x, AC=BD, :ZABC Z DAB=x, ·AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， :LABC+LBAC=90°， .x+2x+x=90°， 4/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=22.5°， 即∠DAB=22.5°， ∠B0D=2∠DAB=45°， :0A=8, “BD的长为45n×8 180 =2· 2.(2025辽宁中考·21题)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙0，与AC相交于点D.连 接0C,与⊙0相交于点E. (1)如图1，连接DE,求∠ADE的度数； (2)如图2，若点D为AC的中点，且AC=6,求DE的长. A D D E C B B (图1) (图2) 【解答】解：(1)连接0D, D B 在△0AC和△0BC中， CA=CB OA=OB OC=OC ∴.△0AC兰△OBC(SSS), :ZAOC ZBOC, :∠A0C+∠B0C=180°， ∠A0C=∠B0C=90°， 0A=0D=0E, :ZOAD ZODA,ZODE ZOED, 设L0AD=L0DA=x,∠ODE=∠OED=y, 5/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在四边形0ADE中，：∠0AD+∠ADE+∠0ED+∠A0C=360 .x+x+y+y+90°=360°， ∴.∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°； (2)连接0D, D B :∠A0C=90°，D为AC中点， :0D=AD=34C=2x6=3 1 2 0D=0A=AD=3, .△AD0为等边三角形， ∠A0D=60°， ∠D0E=90°-60°=30°， .DE的长为： 30π×31 180=2π 核 炼 ●海● ◇知识1圆的基础知识 定义 示例剖析 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的图形叫做圆. 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 由圆的定义可知： (1)圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内， 到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上，因此，圆是在一个平 面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形 (2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置， 表示为“⊙0” 另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大 小 6/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆， 弦和弧： 1.连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径， 并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍. 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以A、B为端点的弧记作AB,读作弧AB. 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 表示：劣弧AB 3.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都 优弧ACB或AmB 叫做半圆 4.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 圆心角和圆周角： 1.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 扇形和弓形 1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形， 设扇形的圆心角为0，则扇形的面积和弧长：S=9 r2 360 1、0 180r. 2.由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 ◇知识2垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧， 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意：垂径定理中的五个元素一“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知 二推三 《◇知识3圆周角定理 定理 示例 7/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半 图∠ACB=∠ADB)ZA0 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）. 如图，AB是半圆(AB是直径)，则∠ACB=90° 推论2：圆内接四边形的对角互补. 如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，则 ∠A+∠BCD=180°，由推论2，我们可以得到圆内接四边 形的外角等于内对角，如图，即∠DCE=∠A· 命 题 预 命题预测1：与圆的性质有关的计算[两年必考，题位均在解答题中第21题] 1. (2025·立山区模拟)如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为5cm,瓶内液体的最大深度 CD为2cm,则截面圆中弦AB的长为() B 8/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.8.6cm B.8cm C.6cm D.5.4cm 解答】解：由条件可知ACB CD 2cm OA=OD=5(cm), .OC=OD-CD=5-2=3(cm), 在R1△A0C中AC=V52-32=4(cm), :AB 2AC =8cm, 故选：B. 2.（2025·沈阳校级三模)如图，A、B、C、D为⊙0上四点，且CD/10B,若LA=35°，则∠B0D的 度数为() A B A.100 B.110° C.120° D.130° 【解答】解：连接0C, A D B :∠A=35, :∠B0C=2LA=70°， :CD/10B, ∠0CD=∠B0C=70°， .0C=0D, L0CD=∠0DC=70°， :∠C0D=180°-∠0CD-∠0DC=40°， .∠B0D=LB0C+∠C0D=110°， 故选：B. 3.(2026顺城区一模)如图，点A,B,C,D在⊙0上，AB/10C,∠D=20°，则LA0C=140°· 9/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C D 【解答】解：连接0B, ⊙ C :∠BDC=20°， ∠B0C=2×20°=40°， :AB/10C, ∠AB0=∠B0C=40°（两直线平行，内错角相等）， :0A=0B, :∠A=∠AB0=40°（等边对等角）， :∠A0B=180°-40°-40°=100°， ∠A0C=100°+40°=140°. 故答案为：140°. 4.(2025·站前区校级模拟)如图，⊙0与菱形ABCD的边AB相切于点B,点C,D在⊙0上.若 AB=2√3，则图中阴影部分的面积为() D C O B A+26 B.2+5 C.2π D.π 【解答】解：如图连接0B,OD,OA,OC,BD. D m 0 10/16 专题06 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 圆的综合题 必备知识 知识1 圆的基础知识 知识2 垂径定理 知识3 圆周角定理 命题预测 预测1 与圆的性质有关的计算［两年必考，题位均在解答题中第21题］ 预测2 与切线有关的证明与计算［2024年21题］ 预测3 弧长的计算［两年必考］ 命题 透视 命题形式： 解答题21题 考察能力： 推理能力、创新意识、几何直观 热考角度 考点 2025年 2024年 圆的基本性质 T21：圆的综合题，弧长公式 T21：圆周角定理及推论，切线的判定与性质，弧长公式 与圆有关的位置关系 与圆有关的计算 命题预测 1. 考情预测 · 结合近2年中考的趋势，2026 年辽宁中考数学 “圆” 模块会保持题型稳定、考点集中、难度平稳，核心围绕基本性质、切线、弧长 / 面积、圆与几何综合展开，分值约 12–18 分（选择 1 题 + 填空 1 题 + 解答 1 题）。 2. 备考建议 · 必背定理：圆周角、垂径、切线判定 / 性质、弧长 / 面积公式。 · 必练题型： · 切线证明（连半径证垂直）。 · 弧长 / 扇形面积计算。 · 圆 + 勾股 / 相似求线段。 · 必避坑点： · 一条弦对两个圆周角（易漏解）。 · 切线判定：有切点连半径，无切点作垂直（别搞反）。 · 弧长公式：n 是圆心角，不是圆周角。 题型一 圆的综合题 解圆题的通用步骤 读题标条件：把已知的半径、直径、切线、角平分线标在图上； 定题型找定理：看问题是证明切线、求角度、求弧长，对应找核心定理； 画辅助线：按口诀画辅助线，集中条件； 构造特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、相似三角形（圆题的计算全靠这些）； 列方程 / 套公式：勾股、三角函数、相似比例、弧长 / 面积公式； 写结论：证明题写明依据，计算题化简结果。 1. （2024•辽宁中考·21题）如图，是△的外接圆，是的直径，点在上，，点在的延长线上，． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的长． 2. （2025•辽宁中考·21题）如图，在△中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 知识1 圆的基础知识 定 义 示例剖析 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 表示为“” 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 表示：劣弧 优弧或 圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 扇形和弓形 1．一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，． 2．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 知识2 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 知识3 圆周角定理 定理 示例 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即． 命题预测1：与圆的性质有关的计算［两年必考，题位均在解答题中第21题］ 1. （2025•立山区模拟）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（　　） A． B． C． D． 2. （2025•沈阳校级三模）如图，、、、为上四点，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3. （2026•顺城区一模）如图，点，，，在上，，，则 ． 4. （2025•站前区校级模拟）如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5. （2026•顺城区一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心的坐标为，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 命题预测2：与切线有关的证明与计算［2024年21题］ 6. （2026•顺城区一模）在△中，，点是斜边上一点，点是直角边上一点，连接，，且，，以为直径画，交边于点，交边于点． （1）求证：是的切线； 7. （2025•浑南区校级一模）如图，为圆的直径，已知，点在延长线上，平分． （1）求证：是圆的切线； 8. （2025•大洼区校级三模）如图，△内接于，过点作平行于交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； 9. （2025•细河区一模）如图，在△中，，以为直径的分别交，于点，，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：与相切； 命题预测3：弧长的计算［两年必考］ 10. （2025•锦州一模）如图，在中，，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 11. （2025•大洼区校级三模）如图，△内接于，过点作平行于交的延长线于点，． （2）若，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $