专题07 平行四边形 【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

专题07 平行四边形 （重难点题型专训） 【知识考点 平行四边形】 1.平行四边形的概念 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. （2）表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 2.平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边相等 如图：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD； AD=BC， （2）平行四边形的对角相等 如图：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）平行四边形的对角线互相平分 如图：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC，BO=DO=BD 3.平行线之间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线 之间的距离。 （2）性质： ① 两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. ② 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 4.平行四边形的判定定理 （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如图 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 5.三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. （2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. （3）拓展：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 【重难点常考题型概览】 【题型01】根据平行四边形的定义求解 【题型02】利用平行四边形的性质求解 【题型03】利用平行四边形的性质证明 【题型04】平行四边形中有关面积的计算 【题型05】求平行线间的距离 【题型06】添加一个条件成为平行四边形 【题型07】确定图中平行四边形的个数 【题型08】证明四边形是平行四边形 【题型09】利用平行四边形的性质解决存在性问题 【题型10】平行四边形中的折叠问题 【题型11】利用平行四边形的判定与性质求解 【题型12】平行四边形性质与判定的综合求值证明 【题型13】平行四边形性质与判定的实际应用 【题型14】利用三角形中位线定理求值 【题型15】利用三角形中位线定理求值证明 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】根据平行四边形的定义求解 【例1】（2025-2026八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，再结合平行线的性质以及角平分线的定义可得． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 【变式1-2】（2025-2026八年级上·上海·假期作业）如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数． 【答案】，． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，可得对边平行，对角相等，根据平行线的性质即可求出这个平行四边形其余各内角的度数． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵比大， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·上海·假期作业）如图，已知：四边形是平行四边形．求证：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．连接，证明，即可得出，． 【解答】解：如图，连接． ∵四边形是一个平行四边形，由平行四边形的定义， ∴，． ∴，． 在和中，， ∴（）． ∴，． 【题型02】利用平行四边形的性质求解 【例2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（   ） A．30cm B．20cm C．13cm D．12cm 【答案】D 【分析】直接利用平行四边形对角线互相平分得出的长，再利用三角形三边关系得出答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， , , , 在中， 的取值范围是即． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是得出的长． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·四川泸州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质等知识，首先根据垂直平分线的性质可得，结合“的周长是8”可知，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【解答】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是8，即， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长． 故选：D． 【变式2-2】（2025-2026八年级上·湖南张家界·期末）如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补． 利用已知可先求出，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求的度数． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的一个外角为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质，得出，，再结合平分，则，故，即可作答． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 则． 【题型03】利用平行四边形的性质证明 【例3】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知中，，，平分交于点E，平分交于点F，与交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边的性质，等角对等边，三角形内角和定理，由平行四边形的性质得到，，则由平行线的性质和角平分线的定义得到，则，即可求出，同理可得，则可求出，据此可判断①；进而可得，据此可判断④；由平行线的性质得到，则由角平分线的定义得到，则，据此可判断③；再由平行线的性质可得，据此可判断④． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，故①正确； ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 故选：C． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·福建龙岩·月考）已知：在中，、是对角线上两点，连接、，若，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3-3】（2024-2025八年级下·河南开封·期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，，即可证明； （2）根据题意得到，，，求出，再根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 点E是的中点， ∴， 在和中， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得； ， 由（1）知， ， ， 在中，由勾股定理得． 【题型04】平行四边形中有关面积的计算 【例4】（2024-2025八年级下·河南郑州·期末）如图，E是平行四边形内任一点，若阴影部分的面积为6，则平行四边形的面积是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积． 过E作，延长交于N，由平行四边形的性质推出，，得到，由三角形的面积公式得到的面积的面积，于是的面积． 【解答】解：过E作，延长交于N， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积， ∴的面积． 故选：B． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，边上的高，则边上的高的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和面积公式是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，再平行四边形的面积可得，然后代入数据计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵由题意可知：， ∴， 解得： 故选C． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等，解题的关键是通过证明进行面积转换．先证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故选：B． 【变式4-3】（2023-2024八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积等于，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ， ， 阴影部分的面积等于． 故答案为：． 【题型05】求平行线间的距离 【例5】（2023-2024七年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·浙江宁波·期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c是距离为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查平行线之间的距离，解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 因为直线c的位置不明确，所以分直线a和c在直线b同侧和异侧两种情况讨论． 【解答】解：①当直线a和c在直线b的两侧时，如图， ∵a与b的距离为3，a与c的距离为4， ∴b与之间的距离为：； ②当a和c在b的同侧时，如图， ∵a与b的距离为3，a与c的距离为4， ∴a与c之间的距离为：； 综上，b与c之间的距离为1或7， 故答案为：1或7． 【变式5-2】（2025-2026八年级上·湖北黄石·月考）如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 【解答】解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 【变式5-3】（2024-2025七年级下·河北沧州·期末）在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的面积等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据：得到．推出．结合推出即可求解； （2）过点作于点，根据即可求解； 【解答】（1）解： ． 在中，． ， ． ． （2）解：过点作于点，如图， 即与之间的距离为 【题型06】添加一个条件成为平行四边形 【例6】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【解答】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 【变式6-1】（2023-2024八年级下·山西运城·期末）如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 【变式6-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【解答】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型07】确定图中平行四边形的个数 【例7】（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【解答】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（ ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【解答】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 【变式7-2】（2023-2024八年级下·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【解答】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【解答】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 【题型08】证明四边形是平行四边形 【例8】（2024-2025八年级下·湖北黄冈·期中）如图，已知，、分别是和上的点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是找出两组对边平行． 根据角度关系，结合，得出，即可证得，最终证出平行四边形． 【解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·山东青岛·月考）已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．利用两组对边相等的四边形是平行四边形证明即可． 【解答】证明：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形． 【变式8-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用的内角和为，结合已知的，计算出的度数； （2）先求出的度数，再利用四边形内角和为算出的度数，通过两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明结论． 【解答】（1）解：， ． （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形． 【点评】本题考查了三角形内角和、四边形内角和与平行四边形的判定，掌握三角形内角和为、四边形内角和为，及两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 【题型09】利用平行四边形的性质解决存在性问题 【例9】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论． 【解答】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 是的平分线， ， ， ． ， ． （2）解：存在．由（1）可知，，． 由题意可知，，（）． ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要满足即可． 分以下两种情况讨论： ①当点在边上时，， ，解得； ②当点在边的延长线上时，， ，解得． 综上，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握是关键． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标，即可得出答案． 【解答】解：设，分三种情况： ①为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ②为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ③为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标是或或， 则点的坐标不可能为． 故选：B． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)四边形是平行四边形．证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时， 根据平行四边形的性质，分别计算即可． 【解答】（1）解：点、的坐标分别为、, 根据平移得， 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴． ∵平移得到， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）解：存在点，理由如下， ， 设 ①当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ②当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ③当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴． 综上所述，点的坐标为． 【点评】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式9-3】（2023-2024八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，．点P在上由点B向点C出发，速度为每秒；点Q在边上，同时由点D向点A运动，速度为每秒．当点P运动到点C时，点P，Q同时停止运动．连接，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当t为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数． (3)连接，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，的值为或或 【分析】（1）由运动得，，当时，可得，由平行四边形的判定方法即可求解； （2）过作交于，由直角三角形的特征得，由梯形的面积和平行四边形的面积得，，即可求出，可判断此时与重合，为的中点，，由等腰三角形的性质即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时， ③当时；即可求解． 【解答】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ，， 当时， 解得， 当时，， 四边形为平行四边形； 故当时，四边形为平行四边形； （2）解：过作交于， ，， ， 由（1）得，， ， ， ， 解得：， 故当时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三； ， ， 此时与重合，为的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； （3）解：存在； ①当时， ， 解得：； ②当时， 过作交于， ， ， ， ， ， 解得； ③当时， 过作交于， ， ， ， ， ； 综上所述：当的值为或或时，为等腰三角形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等；能根据等腰三角形的腰不同进行分类讨论进行求解是解题的关键． 【题型10】平行四边形中的折叠问题 【例10】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键． （1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行． （2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． 由折叠知， ， ． （2）解：， ， ． 由折叠知， ． ， ． 【变式10-1】（2024-2025八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可． 【解答】解：如图1， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图2， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 综上可知，的长为2或4， 故选：C． 【变式10-2】（2024-2025七年级下·浙江杭州·月考）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．_____；若四边形是平行四边形，则的值为_______． 【答案】 30 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，根据折叠的性质证得，根据平行线的性质即可求；根据折叠的性质和平行四边形的性质即可求的值． 【解答】解：由折叠的性质可得：，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：30；． 【变式10-3】（2024-2025八年级下·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识， （1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果； （2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果； 【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴． 【题型11】利用平行四边形的判定与性质求解 【例11】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数； (2)若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定及性质等；掌握平移的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． （1）由平移的性质得，，结合平行线的性质，即可求解； （2）由平移的性质得，，，结合平行四边形的判定及性质，即可求解． 【解答】（1）解：由平移得： ，， ， ， ； （2）解：由平移得： ， ，， 四边形是平行四边形， 点落在的中点处， ， 四边形的面积为： ． 【变式11-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在中，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【解答】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·四川凉山·期末）如图，为等边三角形，P为内部的任意一点，，，，若的周长为12，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 延长交于H，先由等边三角形的性质求得，再证明、为等边三角形，得，，然后证四边形为平行四边形，得，即可由求解． 【解答】解：延长交于H，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式11-3】（2024-2025八年级下·湖北武汉·月考）如图，在平行四边形中，，交于点G，对角线和相交于点O，，，交于点F，已知，． (1)求的长； (2)求的长； (3)求中，边上的高的长为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求解即可； （2）由平行四边形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，得到，则，证明，即可得到； （3）由勾股定理得到，由平行四边形的性质得到，，根据，得到，据此利用等面积法求解即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，由勾股定理得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【题型12】平行四边形性质与判定的综合求值证明 【例12】（2024-2025八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论： ； ； ； ．其中正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，证，得 ，，，则，得，故正确，不一定等于，故不正确，不一定成立，故不正确，即可得出结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故正确， ∴， ∴，故正确， ∴四边形是平行四边形， ∴，而不一定成立，故不正确， ∵不一定等于， ∴不正确，故不正确， 故选：． 【变式12-1】（2025-2026八年级上·黑龙江绥化·期中）如图在平行四边形中，点E在上，点F在上，且，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 先由平行四边形得到，，然后证明，即可证明四边形是平行四边形，则． 【解答】证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式12-2】（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【变式12-3】（2023-2024八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型13】平行四边形性质与判定的实际应用 【例13】（2024-2025八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【解答】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度 为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【解答】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【解答】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 【变式13-3】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【解答】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 【题型14】利用三角形中位线定理求值 【例14】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别是，的中点，作平分交于点F．若，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据中位线定理可得，根据平行线的性质，角平分线的性质可得，由此可得的值，再根据中位线的性质即可求解． 【解答】解：∵是中点， ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ， ． 【变式14-1】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的中位线，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，由三角形中位线定理得，，，所以整体计算，即可求解． 【解答】解：是的中位线， ，，， ， 故答案为：． 【变式14-2】（2024-2025八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．解决以下问题： （1）平行四边形边上的高为__________； （2）的最大值为__________． 【答案】 【分析】取的中点M，连接，作于N．再证明，求出，，即平行四边形边上的高为，然后由三角形中位线定理，可得，最后求出的最大值即可． 【解答】解：如图：取的中点M，连接，作于N． ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，, ∴，即平行四边形边上的高为 ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴ ∵的最大值为的长， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为，． 【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得是解答本题的关键． 【变式14-3】（2025-2026八年级下·山东·专题练习）如图，中，，，，，，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【解答】解：如图，延长交于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【题型15】利用三角形中位线定理求值证明 【例15】（2024-2025八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 【变式15-1】（2024-2025八年级下·山东聊城·期末）在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． (1)若，，．求的周长； (2)若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据三角形周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、角平分线的定义、等量代换得到，得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明． 【解答】（1）解：∵平分， ， 又， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长． （2）证明：由题意可知，为的中位线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式15-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期中）（1）如图1，四边形是平行四边形，、是对角线的三等分点：求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，四边形中，、是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于、，若、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于点O，由平行四边形的性质得，，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接交于点O，连接，，先证明是的中位线，得，同理，再证明四边形是平行四边形，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：（1）如图1，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G、H是对角线的三等分点， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）如图2，连接交于点O，连接，， ∵G、H是对角线的三等分点， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【变式15-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．见解析 (2)或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （2）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【解答】（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （2）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【解答】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 2.（2024-2025八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据，结合已知可以得出，从而证明， （2），由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，再由，可得，进而结论得证； （3）由点G是点E关于的对称点可得，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由此得出结论． 【解答】（1）证明：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 3.（2024-2025八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？ 【答案】四边形是平行四边形，，见解析 【分析】本题主要考查了三角形的重心及三角形中位线定理，熟知三角形重心的性质及三角形的中位线定理是解题的关键．根据题意，得出点为三角形的重心，据此得出与的长度关系，再结合三角形中位线定理得出四边形的形状即可． 【解答】解：四边形是平行四边形，； 、分别是边、上的中线， 点是的重心， ， 点，分别是和的中点， 是的中位线， ，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ，， 四边形是平行四边形． 4.（2024-2025八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【解答】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 5．（2023-2024八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小． 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）． 【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【解答】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图， ， ． 6．（2024-2025八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 7.（2024-2025八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接，，，点F是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，线段上另有一点G，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理求得，进而根据，即可求解； （2）延长交于点H，通过证明及，即可证明； （3）过点D作延长交于点M，过点F作交于点N，连接，得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据，以及垂线段最短，可得取得最小值，最小值为，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【解答】（1）解：设， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积； （2）证明：如图，延长交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作，延长交于点M，过点F作交于点N，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴当时，且F在上时，取得最小值，最小值为， 又∵中，， ∴， 即 ∴ ∴ 则 过点N作， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴的最小值为． 8.（2024-2025八年级下·江西赣州·期末）【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 已知：如图，，分别是的，的中点．求证：且． （1）小明想到了“延长至点，使，连接”，如图．请按照小明的提示完成证明． 【迁移应用】 （2）如图3，在四边形中，，分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长是______________． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）通过延长线段构造全等三角形，利用全等三角形性质得到边和角的关系，再结合平行四边形判定与性质，证明三角形中位线定理． （2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用三角形中位线定理，找出与、的数量关系． （3）延长线段构造特殊三角形，结合周长平分条件，利用三角形中位线定理和特殊三角形（含角的直角三角形、等边三角形相关性质 ），计算的长度． 【解答】（1）证明：延长至点，使，连接， ∴ 是的中点， ， 在和中， ， ， ∴， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：， 理由如下： 连接并延长交的延长线于点，如图： ， ， 是的中点， ， ， ， 是的中点，是的中点， ， ． （3）解：延长至，使，连接，作于， 平分的周长， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及特殊三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，灵活运用构造全等三角形、特殊三角形的方法是解题的关键． 9．（2023-2024八年级下·重庆江津·期末）在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)，探究见详解 (3) 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，，进而由平行线性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角确定，等量代换即可得证； （2）连接，如图所示，由垂直平分线的判定与性质得到，在中，由勾股定理可得，进而结合平行四边形中即可得到的数量关系； （3）由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上，作出图形，分情况讨论得到动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，从而由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，求出线段长即可得到答案． 【解答】（1）证明：在中，，， ，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ， ； （2）解：， 探究如下： 连接，如图所示： 为中点，且， 是线段的中垂线， 则， 由（1）知，即是直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，，又，则； （3）解：由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上， 在中，， 为中点， ， 当点在射线上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， ， ， 在中，，，，则； 当点在线段上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， 在中，，，，则； 当点在射线上，过点作于，如图所示： ， 在中，，，，则； 综上所述，当点为直线上一动点，以为边作平行四边形时，动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，如图所示： 连接，其中点为定点、点为直线上的动点，则由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，为，如图所示： ，， ，， ，， ， 在中，，，，则， 则的最小值为． 【点评】本题考查几何综合，难度较大，涉及平行四边形性质、平行线性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关几何性质并灵活运用是解决问题的关键． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【解答】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 2．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 故选：． 3．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【解答】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【解答】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分，对角相等等性质进行判断即可 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，，故①③正确， ，， 点是的中点， ， 又，，， ， ，，故②不正确， ，， ， 即，故④正确， 综上所述，正确结论的个数为3个， 故选：C． 6．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 7．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【解答】解：A．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B． ∵，∴，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； C．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， 故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 8．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【解答】解：过P作于M， 由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 9．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到，得到，角平分线的定义，得到，进而得到，进而得到即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 10.（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11.（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】考查平行四边形性质、全等三角形、面积公式及勾股定理，用面积分割与对称性思想．关键是借对称性证全等、用面积求线段，再构直角三角形计算；易错点是漏用对称性或误判直角边． 首先通过构造垂线得到直角三角形，利用的锐角三角函数求得，接着计算得到平行四边形总面积，得每部分面积为． 然后借对称性证，得、． 由平行四边形的对称性与面积平衡再设，用与的面积列方程，解得，推得、． 最后过作构直角三角形，用勾股定理得． 【解答】解：过A作于点H， ， 在中，． ， ∵，将分成面积相等的四部分， ∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O， 在中，，， ∴，．，， 连接， ∴经过中心点O， ∴， ∵ ． 同理得：， ∴，． 设，过作于点Q， 在中， 在中，由三角形面积公式：   ． 过E作于延长线上点G， 又，， 且． 在中， 又平行四边形的对称性与面积平衡可得， ， 解得， ． 过M作交于P，过A作于点H， 则． ，． ． 在中，由勾股定理：   ． 故答案为：． 12．（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为___________；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，含角的直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质．若与重合，在上，且，则，由角所对直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，从而可得的面积和平行四边形纸片的面积，相减可得四边形的面积，进而可得与四边形的面积的比；取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，当过点或当过点时，折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，分别求出每种情况对应的的取值范围即可． 【解答】解：若与重合，在上，且， 则， ， ． ． ， ． 由勾股定理得，． ，． ． ． 与四边形的面积的比为． 若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为， 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，，，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． 平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合， ∴此时，四边形的面积与四边形的面积的比为， 四边形的面积与四边形的面积的比为． 当时，取最小值，由可知，的最小值为， 作，交延长线于点，则， ， ． ， ． ． ． ，， ． ． ． ． 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，，，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． ，，平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合， 四边形的面积与四边形的面积的比为，     四边形的面积与四边形的面积的比为． 作，交延长线于点，作于点，则，， ． ． ，， ． ． ． ， ． ． 四边形为矩形． ，． ，， ，． ． ∴折痕长的取值范围是或． 故答案为：；或． 13．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【解答】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 14．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．    【答案】 【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【点评】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 16.（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【解答】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 17.（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 18．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（   ） A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【解答】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 19．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【解答】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平行四边形 （重难点题型专训） 【知识考点 平行四边形】 1.平行四边形的概念 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. （2）表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 2.平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边相等 如图：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD； AD=BC， （2）平行四边形的对角相等 如图：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）平行四边形的对角线互相平分 如图：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC，BO=DO=BD 3.平行线之间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线 之间的距离。 （2）性质： ① 两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. ② 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 4.平行四边形的判定定理 （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如图 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 5.三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. （2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. （3）拓展：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 【重难点常考题型概览】 【题型01】根据平行四边形的定义求解 【题型02】利用平行四边形的性质求解 【题型03】利用平行四边形的性质证明 【题型04】平行四边形中有关面积的计算 【题型05】求平行线间的距离 【题型06】添加一个条件成为平行四边形 【题型07】确定图中平行四边形的个数 【题型08】证明四边形是平行四边形 【题型09】利用平行四边形的性质解决存在性问题 【题型10】平行四边形中的折叠问题 【题型11】利用平行四边形的判定与性质求解 【题型12】平行四边形性质与判定的综合求值证明 【题型13】平行四边形性质与判定的实际应用 【题型14】利用三角形中位线定理求值 【题型15】利用三角形中位线定理求值证明 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】根据平行四边形的定义求解 【例1】（2025-2026八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，则的度数为____________． 【变式1-2】（2025-2026八年级上·上海·假期作业）如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·上海·假期作业）如图，已知：四边形是平行四边形．求证：，． 【题型02】利用平行四边形的性质求解 【例2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（   ） A．30cm B．20cm C．13cm D．12cm 【变式2-1】（2024-2025八年级下·四川泸州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式2-2】（2025-2026八年级上·湖南张家界·期末）如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，，，求的长． 【题型03】利用平行四边形的性质证明 【例3】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知中，，，平分交于点E，平分交于点F，与交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（2024-2025八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·福建龙岩·月考）已知：在中，、是对角线上两点，连接、，若，求证： 【变式3-3】（2024-2025八年级下·河南开封·期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型04】平行四边形中有关面积的计算 【例4】（2024-2025八年级下·河南郑州·期末）如图，E是平行四边形内任一点，若阴影部分的面积为6，则平行四边形的面积是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式4-1】（2024-2025八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，边上的高，则边上的高的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-2】（2024-2025八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D．5 【变式4-3】（2023-2024八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【题型05】求平行线间的距离 【例5】（2023-2024七年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【变式5-1】（2024-2025八年级下·浙江宁波·期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c是距离为 ． 【变式5-2】（2025-2026八年级上·湖北黄石·月考）如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是________． 【变式5-3】（2024-2025七年级下·河北沧州·期末）在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【题型06】添加一个条件成为平行四边形 【例6】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023-2024八年级下·山西运城·期末）如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【题型07】确定图中平行四边形的个数 【例7】（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【变式7-1】（2024-2025八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（ ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【变式7-2】（2023-2024八年级下·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【变式7-3】（2024-2025八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【题型08】证明四边形是平行四边形 【例8】（2024-2025八年级下·湖北黄冈·期中）如图，已知，、分别是和上的点，，求证：四边形是平行四边形． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·山东青岛·月考）已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 【变式8-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【题型09】利用平行四边形的性质解决存在性问题 【例9】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-3】（2023-2024八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，．点P在上由点B向点C出发，速度为每秒；点Q在边上，同时由点D向点A运动，速度为每秒．当点P运动到点C时，点P，Q同时停止运动．连接，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当t为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数． (3)连接，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． 【题型10】平行四边形中的折叠问题 【例10】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式10-1】（2024-2025八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【变式10-2】（2024-2025七年级下·浙江杭州·月考）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．_____；若四边形是平行四边形，则的值为_______． 【变式10-3】（2024-2025八年级下·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 【题型11】利用平行四边形的判定与性质求解 【例11】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数； (2)若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 【变式11-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在中，．若，则的度数是 ． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·四川凉山·期末）如图，为等边三角形，P为内部的任意一点，，，，若的周长为12，则 ． 【变式11-3】（2024-2025八年级下·湖北武汉·月考）如图，在平行四边形中，，交于点G，对角线和相交于点O，，，交于点F，已知，． (1)求的长； (2)求的长； (3)求中，边上的高的长为________． 【题型12】平行四边形性质与判定的综合求值证明 【例12】（2024-2025八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论： ； ； ； ．其中正确的为（ ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025-2026八年级上·黑龙江绥化·期中）如图在平行四边形中，点E在上，点F在上，且，求证． 【变式12-2】（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【变式12-3】（2023-2024八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【题型13】平行四边形性质与判定的实际应用 【例13】（2024-2025八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度 为 ． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【变式13-3】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【题型14】利用三角形中位线定理求值 【例14】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别是，的中点，作平分交于点F．若，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．14 【变式14-1】（2024-2025八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的中位线，若，则的长为 ． 【变式14-2】（2024-2025八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．解决以下问题： （1）平行四边形边上的高为__________； （2）的最大值为__________． 【变式14-3】（2025-2026八年级下·山东·专题练习）如图，中，，，，，，求的值． 【题型15】利用三角形中位线定理求值证明 【例15】（2024-2025八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式15-1】（2024-2025八年级下·山东聊城·期末）在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． (1)若，，．求的周长； (2)若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【变式15-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期中）（1）如图1，四边形是平行四边形，、是对角线的三等分点：求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，四边形中，、是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于、，若、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式15-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2.（2024-2025八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 3.（2024-2025八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？ 4.（2024-2025八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 5．（2023-2024八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小． 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）． 6．（2024-2025八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 7.（2024-2025八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接，，，点F是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，线段上另有一点G，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 8.（2024-2025八年级下·江西赣州·期末）【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 已知：如图，，分别是的，的中点．求证：且． （1）小明想到了“延长至点，使，连接”，如图．请按照小明的提示完成证明． 【迁移应用】 （2）如图3，在四边形中，，分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长是______________． 9．（2023-2024八年级下·重庆江津·期末）在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．16 7．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则______． 10.（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 11.（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为_____． 12．（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为___________；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是___________． 13．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 14．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．    15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 16.（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 17.（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 18．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（   ） A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 ②已知，，求的长． 19．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 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