专题强化02：二项式定理【十一大题型 】讲义-2025-2026学年高二下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版选择性必修第三册）

该高中数学讲义以“题型归纳-探究”为主线系统构建二项式定理知识体系，通过11类核心题型（如通项公式应用、二项式系数问题等）梳理知识脉络，突出系数计算、赋值法等重难点，形成从基础到综合的递进结构。 讲义亮点在于分层练习设计，每个题型配典型例题与变式题，如“三项展开式系数”“整除问题”等，培养数学思维与运算能力。通过错题变式帮助不同层次学生巩固，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

专题强化02：二项式定理 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：二项式的通项公式应用 【例1】．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二项式 (1)若展开式共七项，求的值； (2)在（1）的条件下写出二项展开式的通项公式，并求展开式中的常数项. 【答案】(1)6 (2)通项公式为，常数项为160 【分析】（1）根据二项式定理可知，二项展开式共有项，列式计算即可. （2）根据二项展开式通项公式化简求值即可. 【详解】（1）由题意知，，解得. （2）由（1）知，二项式为. 通项公式为. 令，则，所以. 所以该二项展开式的通项公式为，常数项为160. 【举一反三】 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为______． 【答案】 【详解】二项式展开式的第r+1项为：. 则展开式中的第3项为：． 故答案为：. 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第六项． 【答案】(1) (2)-280 (3) 【分析】（1）由条件结合二项式系数的性质得所有二项式系数和为列方程求即可； （2）根据二项式展开式的通项得，令，可求，由此可求结论； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【详解】（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得． （2）二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项的系数为． （3）根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)各项系数和. 【答案】(1)6 (2) (3)729 【分析】（1）结合题意建立方程，再求解参数即可. （2）利用二项式定理求出展开式的通项，再求解所需项即可. （3）利用赋值法求解各项系数和即可. 【详解】（1）因为二项式系数的和为64， 所以，解得. （2）由（1）知，则二项式变为， 由二项式定理可得展开式的通项为， 令，得，故含的项为. （3）令，则各项系数和为. 题型二：二项式系数问题 【例2】．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 【举一反三】 1．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 又由二项展开式的通项为， 令，可得，所以含项的系数为． 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．1 B．2 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意可求得，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】由的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以项数为11项，所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知的展开式中，所有的二项式系数之和为，则展开式中含的项的系数为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由二项式系数和求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为所有的二项式系数之和为，所以，解得， 所以展开式的通项为（）， 令，解得， 所以， 所以展开式中含的项的系数为. 故选：D 题型三：项的系数问题 【例3】．（25-26高二下·浙江温州·月考）若二项式展开式中的，，项的系数成等比数列，则非零实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式通项的性质，以及等比中项的性质，求出各项系数，列出方程，求出结果. 【详解】二项式展开式的第项为， 则项的系数为，项的系数为，项的系数为， 可得，解得. 【举一反三】 1．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为___________________. 【答案】252 【分析】根据的展开式共有9项，得到，再利用展开式的通项公式求解. 【详解】因为的展开式共有9项， 所以，则展开式的通项公式为， 令，得， 所以该展开式中含的项的系数为252， 故答案为：252 2．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）在的展开式中，的系数是______. 【答案】240 【详解】展开式的通项公式为：， 令，解得：，的系数为. 3．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 题型四：二项展开式各项系数和 【例4】．（25-26高二上·北京昌平·期末）若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 【答案】D 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可，令即可得，令即可得，进而可求的值. 【详解】令，即， 令，则，则. 故选：D. 【举一反三】 1．（25-26高三上·北京·期中）若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式的性质，利用赋值法求出常数项及包含目标表达式的等式，进而计算出目标表达式的值． 【详解】， 令，则， 令，则， ． 故选：C． 2．（25-26高三上·北京·开学考试）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．32 【答案】D 【分析】利用赋值法直接求值即可. 【详解】由题意得， 令，可得， 则，故D正确. 故选：D 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 题型五：奇偶数项的系数和问题 【例5】．（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 【答案】A 【分析】由求出的值，由求出的值，两式相加即可求出的值. 【详解】由， 令，得①， 令，得②， ①+②得，， 所以. 故选：A 【举一反三】 1．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．-1024 B．-1 C．1 D．1024 【答案】C 【分析】由题意先求，令即可求解. 【详解】由题意有第6项的二项式系数为，又只有第6项的二项式系数最大，所以，解得， 令有， 故选：C. 2．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列说法不正确的是（    ） A． B．展开式的各项系数和为729 C．展开式中的系数为15 D．展开式中奇数项的二项式系数和为32 【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质求出，再根据二项式展开式的通项公式逐一分析选项. 【详解】根据二项式系数的性质：当为偶数时，二项式展开式中中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，二项式展开式中中间两项的二项式系数最大. 根据题意，在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 所以，所以，所以A正确. 要求展开式的各项系数和，则令， 那么各项系数和为，B正确. 二项式的展开式为：. 要求展开式中的系数，则令，解得. 将代入通项公式中可得的系数为，所以C错误. 根据二项式系数的性质：二项式展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 且都等于，因为这里，所以奇数项的二项式系数和为，所以D正确. 故选：C. 3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项 【答案】A 【分析】利用赋值法判断A、B、C，根据二项式系数的性质判断D. 【详解】因为， 对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，可得①，故B错误； 对于C：令，可得②， 联立①②可得，故C错误； 对于D：由题意可知展开式共有项，则第项的二项式系数最大，故D错误． 故选：A． 题型六：三项展开式的系数问题 【例6】．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【分析】求出展开式通项，再求出的展开式通项，即可求出. 【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 2．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 3．（25-26高三上·北京·月考）展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 【答案】A 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 题型七：两个二项式相乘的展开式的系数问题 【例7】．（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含的项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 故选：B 【举一反三】 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 【答案】A 【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出的展开式中含和含的系数，再求原式的的系数即可. 【详解】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为. 故选：A. 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 【答案】A 【详解】的展开式的通项为，， 所以在的展开式中，含的项为： ， 所以的系数为. 故选：A． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 故展开式中的系数为. 故选：C. 题型八：赋值法在二项式定理的应用 【例8】．（24-25高三下·北京·月考）若且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】采用赋值法令代入计算可得结果. 【详解】令可得， 因此可得，解得或. 故选：D 【举一反三】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，则自然数（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】赋值法求得，，结合已知列方程求即可. 【详解】令，得， 令，得， 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知，若，则（    ） A． B． C．15 D．35 【答案】A 【分析】利用赋值法可求的值，再利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】令，可得，解得， ， 展开式中的系数为. 故选：A. 3．（22-23高二下·江苏淮安·月考）若，且，则=（    ） A．650 B．405 C．810 D．1620 【答案】C 【分析】令结合可求出，然后对两边求导，再令可求得结果 【详解】令，则， 解得， 所以， 所以 ， 令，则， 故选：C 题型九：利用二项式定理证明整除问题 【例9】．（25-26高二上·吉林长春·期末）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】把用二项式定理展开，进而求解即可. 【详解】由 ， 展开式中除了最后的6均能被7整除， 则被7除所得的余数为6. 故选：D 【举一反三】 1．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 2．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（   ） A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 【答案】A 【分析】先对逆用二项式定理变为，再正用二项式定理将，求得被10除得余数为9，再由判断各个选项即可 【详解】由二项式定理得， 又 因为是整数，所以被除得余数为9. 即，因，即，而其它选项均不具备此结论，故的可能值为9. 故选：A. 题型十：不等式求系数的最值问题 【例10】．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 【举一反三】 1．（24-25高二下·天津河东·期中）已知 的展开式中x的系数为19，求 的展开式中x²的系数的最小值为（   ） A．81 B． C．10 D．9 【答案】A 【详解】的展开式通项为， 则展开式中x的系数为，即 展开式中的系数为， 且，根据二次函数的知识知，当或10时，上式有最小值， 所以当，或时，项的系数取得最小值81. 故选：A. 2．（24-25高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 【答案】C 【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数. 【详解】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 3．（23-24高二下·天津静海·月考）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 【答案】D 【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，即第4项的系数为， 令，有，故B错误； 对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误； 对D：令，则，又， 故，故D正确. 故选：D. 题型十一：二项式定理的综合问题 【例11】．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知的展开式中所有项的系数之和为729. (1)求； (2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） (3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 【答案】(1) (2)240 (3)140 【详解】（1）令，得，得. （2）的展开式的通项. 设第项的系数最大， 则整理得 解得，则， 所以展开式中各项系数的最大值为. （3）中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的系数为. 【举一反三】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【答案】(1)4096 (2)2048 (3)2048 (4)4096 (5)16777216 (6) 【分析】（1）利用二项式系数的性质即可求解； （2）利用二项式系数的性质即可求解； （3）利用二项式系数的性质即可求解； （4）令，得各项系数和； （5）令，得各项系数的绝对值和； （6）令，即可求解. 【详解】（1）各项二项式系数和为． （2）奇数项二项式系数和为. （3）偶数项二项式系数和为. （4），令，得各项系数和为4096． （5）令，得各项系数的绝对值和为. （6）令奇数项系数和为，偶数项系数和为． 令得；令得． ，． 所以奇数项系数和为 8390656 ，偶数项系数和为 −8386560. 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知，求 (1)； (2)，． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）令和，可求得； （2）令与（1）可求得，的值. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）令，得， 由（1）知， 所以，， 所以，. 3．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知，其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据等差数列的概念和二项式系数的性质，求出参数值，进而求出展开式中二项式系数最大的项； （2）根据二项式的展开式，通过赋值法，先求出，再求出结果即可. 【详解】（1）由题意可知第2，3，4项的二项式系数依次为， 所以，即， 化简得，因为，解得， 当时，展开式有8项，可知展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项， 可知二项式展开式的第项为， 当时，， 当时，， 即二项式系数最大的项为和. （2）已知， 当时，得，即， 当时，， 即， 可得， 则. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二上·北京·期中）在的展开式中，的系数等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】求出的展开式的通项公式，令求得，再代入通项公式求解对应的系数即可. 【详解】因为的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以的系数为. 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（    ） A．127 B．128 C．129 D．256 【答案】B 【详解】当时，， 当时，， 相减得，即. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）设，若，则实数的值为（   ） A．3或 B．或1 C． D．3 【答案】C 【详解】因为， 所以令，可得，， 所以，解得， 5．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 【答案】B 【详解】,． 故选：B 6．（25-26高二上·山东·期末）已知二项式的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为，且展开式中常数项为17010.记展开式中所有项的系数和为，所有有理项（的次数为整数）的系数和为，则的值为（    ） A．187435 B．-2187 C．-2188 D．-2189 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项公式为, 由得，所以 所以，解得 因为，故当时，，满足题意. 令；有理项为，计算得. 故， 故选：A. 二、多选题 7．（25-26高三上·河北衡水·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 【答案】BD 【分析】由二项式展开的项数为，可判断A；求出二项式系数和为，可判断B；利用赋值法求出所有项的系数和，可判断C；求出第3项，可判断D. 【详解】对于A，因为，所以展开后共有7项，故A错误； 对于B，由题意可知二项式系数和为，故B正确； 对于C，令，则所有项的系数和，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD. 8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 9．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 【答案】BC 【分析】应用赋值法计算求出参数，再求解二项式系数和判断A，应用系数最大计算判断B，应用通项公式计算得出常数项及有理项判断C，D. 【详解】对于A，二项式的展开式的各项系数之和为， 由已知，， 故有或（舍去）， 二项式的奇数项的二项式系数和为，故A错误； 对于B，通项公式为，故当时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确； 对于C，令，求得，可得该二项式存在常数项，故C正确； 对于D，令为整数，可得，故该二项式存在6个有理项，故D错误， 故选:BC. 10．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．除以2的余数为1 【答案】ABD 【分析】根据二项式定理直接计算判断A；令直接求解判断B；令，结合时的情况，求得，再根据求解判断C；直接计算判断D. 【详解】对于A选项，根据二项式定理可知，，故正确； 对于B选项，令得，故正确； 对于C选项，令得；令得， 两式相加得：，即， 令得，所以，故错误； 对于D选项，，除以2的余数为1，故正确. 故选：ABD 11．（25-26高二下·全国）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 【答案】BCD 【详解】由的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知． 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，所以， 所以，其展开式的各二项式系数的和为， 则奇数项的二项式系数的和为，故A错误； 由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 因为与的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同， 即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，则展开式中存在的指数为0的项， 由通项， 可得当，即时，符合要求，故C正确； 由通项可得，当时，， 所以展开式中含项的系数为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 【答案】264 【分析】先化简，再应用二项式展开式结合组合数计算求解. 【详解】因为，所以展开式中的系数是． 故答案为：264. 13．（25-26高二上·安徽淮北·期末）若能被7整除，则正整数的最小值为____. 【答案】6 【分析】利用二项式定理，将原式写成，再利用二项展开式的形式求解. 【详解】， 要使能被7整除，则能被7整除.又是正整数，所以的最小值为6. 14．（25-26高三下·辽宁·开学考试）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】要计算的展开式中的系数，只需利用二项式定理分析两个二项式的展开式，组合得到的项即可得到的系数. 【详解】①取常数项得取项得，乘积系数为80； ②取项得取常数项得，乘积系数为. 将以上结果相加得. 故答案为： 15．（25-26高二下·辽宁·开学考试）若．则___________．（用数字作答） 【答案】4960 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以由题可得． 四、解答题 16．（25-26高二上·山东东营·期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． (1)求； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）由题知，解方程即可求得答案； （2）写出二项展开式通项，令的指数为整数，求出参数的值，代入通项即可得解 【详解】（1）解：因为展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是 所以，即， 整理得，解得或（舍） 所以 （2）解：由（1）知，展开式的通项公式为： ， 令，则，即展开式的第1,3,5项为有理项， ，， 所以展开式中的有理项有：，， 17．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合数性质及计算公式化简方程求解. （2）求出二项式展开式的通项公式确定各项系数的正负，再利用赋值法求解. 【详解】（1）依题意，， 即，而，所以. （2）二项式展开式的通项公式为， 则为正数，为负数， 在中，令， 令，得， 所以. 18．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）令，则， 令，则， 所以，故. （2）由二项式系数之和为，得，解得. （i）为展开式中的系数，即. 计算，故，得，即. （ii）当时，展开式中第项的系数为（）. 计算相邻两项系数的比值：，， 要使（），需为系数序列的最大值，满足： ①.序列递增到：对，，即， 此时对，，故，满足. ②.序列递减自：对，，即， 此时对，，故，满足. 综上所述，的取值范围是. 19．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大． (1)求正整数的值； (2)求与二项式系数和的比值； (3)问展开式各项系数的绝对值中哪个最大，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)中和均为最大，理由见解析 【分析】（1）利用二项式系数的中间项最大的性质，结合第5、6项的二项式系数最大，得，求出正整数. （2）通过赋值法（令、）求出与，进而得，结合二项式系数和为计算比值. （3）将系数绝对值转化为的系数，通过列不等式组求解最大项对应的值，确定和最大. 【详解】（1）因为的展开式中，第5项和第6项的二项式系数最大， 所以为奇数，且，所以. （2）因为，所以二项式系数和为， 令，得， 令，得， 所以， 因此与二项式系数和的比值为. （3）中和均为最大． 因为 展开式的通项， 所以， 即， 故判断系数中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由， 得，因为，所以或6． 故中和均为最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：二项式定理 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：二项式的通项公式应用 【例1】．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二项式 (1)若展开式共七项，求的值； (2)在（1）的条件下写出二项展开式的通项公式，并求展开式中的常数项. 【举一反三】 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为______． 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第六项． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)各项系数和. 题型二：二项式系数问题 【例2】．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．1 B．2 C．20 D．24 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知的展开式中，所有的二项式系数之和为，则展开式中含的项的系数为（    ） A．5 B． C．6 D． 题型三：项的系数问题 【例3】．（25-26高二下·浙江温州·月考）若二项式展开式中的，，项的系数成等比数列，则非零实数（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为___________________. 2．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）在的展开式中，的系数是______. 3．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 题型四：二项展开式各项系数和 【例4】．（25-26高二上·北京昌平·期末）若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 【举一反三】 1．（25-26高三上·北京·期中）若，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高三上·北京·开学考试）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．32 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 题型五：奇偶数项的系数和问题 【例5】．（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 【举一反三】 1．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．-1024 B．-1 C．1 D．1024 2．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列说法不正确的是（    ） A． B．展开式的各项系数和为729 C．展开式中的系数为15 D．展开式中奇数项的二项式系数和为32 3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项 题型六：三项展开式的系数问题 【例6】．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【举一反三】 1．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 2．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 3．（25-26高三上·北京·月考）展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 题型七：两个二项式相乘的展开式的系数问题 【例7】．（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 【举一反三】 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A． B．14 C．56 D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 题型八：赋值法在二项式定理的应用 【例8】．（24-25高三下·北京·月考）若且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【举一反三】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，则自然数（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知，若，则（    ） A． B． C．15 D．35 3．（22-23高二下·江苏淮安·月考）若，且，则=（    ） A．650 B．405 C．810 D．1620 题型九：利用二项式定理证明整除问题 【例9】．（25-26高二上·吉林长春·期末）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【举一反三】 1．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（   ） A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 题型十：不等式求系数的最值问题 【例10】．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【举一反三】 1．（24-25高二下·天津河东·期中）已知 的展开式中x的系数为19，求 的展开式中x²的系数的最小值为（   ） A．81 B． C．10 D．9 2．（24-25高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 3．（23-24高二下·天津静海·月考）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 题型十一：二项式定理的综合问题 【例11】．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知的展开式中所有项的系数之和为729. (1)求； (2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） (3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 【举一反三】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知，求 (1)； (2)，． 3．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知，其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二上·北京·期中）在的展开式中，的系数等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（    ） A．127 B．128 C．129 D．256 3．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）设，若，则实数的值为（   ） A．3或 B．或1 C． D．3 5．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 6．（25-26高二上·山东·期末）已知二项式的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为，且展开式中常数项为17010.记展开式中所有项的系数和为，所有有理项（的次数为整数）的系数和为，则的值为（    ） A．187435 B．-2187 C．-2188 D．-2189 二、多选题 7．（25-26高三上·河北衡水·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 10．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．除以2的余数为1 11．（25-26高二下·全国）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 13．（25-26高二上·安徽淮北·期末）若能被7整除，则正整数的最小值为____. 14．（25-26高三下·辽宁·开学考试）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 15．（25-26高二下·辽宁·开学考试）若．则___________．（用数字作答） 四、解答题 16．（25-26高二上·山东东营·期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． (1)求； (2)求展开式中所有的有理项． 17．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 18．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知. (1)若，求的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 19．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大． (1)求正整数的值； (2)求与二项式系数和的比值； (3)问展开式各项系数的绝对值中哪个最大，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $