9.2 坐标方法的简单应用 知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学七年级下册第九章

9.2 坐标方法的简单应用 知识框架： · 用坐标表示地理位置 · 用坐标表示平移 一、坐标表示地理位置 根据具体问题确定适当的比例尺，用坐标表示地理位置的方法 根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置． 小刚家：出校门向东走150 m，再向北走200 m． 小强家：出校门向西走200 m，再向北走350 m，最后向东走50 m． 小敏家：出校门向南走100 m，再向东走300 m，最后向南走75 m． 画法如下图所示： 问题：（1）如何建立平面直角坐标系呢？以什么参照点为原点？ 小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点． （2）如何确定x轴、y轴？如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？ 根据描述，可以以正东方向为x轴，以正北方向为y轴建立平面直角坐标系，并取比例尺1：10 000（即图中1cm相当于实际中10 000cm，即100米）． 总结思考： 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程是？哪一个环节最关键？ （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向，一般都以正北为纵轴的正方向； （2）根据具体问题确定单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 其中建立适当的平面直角坐标系最关键． 在实际生活中，我们可以利用方位角和距离描述平面内的地理位置． 思考　如图，一艘船在A处遇险后向相距35 n mile位于B处的救生船报警． （1）如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？ （2）救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？ 分析：（1）如图，AB与正北方向所成的角是60º，所以救生船在遇险船北偏东60º的方向上；由AB的长就可以确定救生船相对于遇险船的位置． （2）反之，由两直线平行，内错角相等得，射线BA与正南方向所成的角是60º，所以遇险船在救生船南偏西60º的方向上，再由AB的长就可以确定遇险船相对于救生船的位置． 练习1 1．在平面直角坐标系中有A，B两点，若以B点为原点建立直角坐标系，则A点的坐标为（2，3），若以A点为原点建立直角坐标系（两直角坐标系x轴，y轴方向一致），则B点的坐标为（ ）．A．（－2，－3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（2，3） 2．以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述： 甲：从学校向北直走500 m，再向东直走100 m可到图书馆． 乙：从学校向西直走300 m，再向北直走200 m可到邮局． 丙：邮局在火车站的正西方200 m处． 若学校用坐标（0，0）表示，图书馆用坐标（100，500）表示，则邮局表示为？火车站表示为？ 3．如图，用点A（3，1）表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，用点B（2，3）表示放置2个胡萝卜，3棵青菜． （1）请你写出点C，D，E，F所表示的意义； （2）若一只兔子从点A到达点B（顺着方格线走），有以下几条路线可以选择：①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B，问走哪条路吃到的胡萝卜最多?走哪条路吃到的青菜最多? 作业1 1．在比例尺是1：38000的南京交通浏览图上，量得玄武湖隧道长约7 cm，它的实际长度约为（ ）．A．0.266 km B．2.66 km C．26.6 km D．266 km 2．小明家的坐标为（1，2），小丽家的坐标为（－2，－1）则小明家在小丽家的（ ） ． A．东南方向 B．东北方向 C．西南方向 D．西北方向 3．下图是某市旅游景点示意图，请建立适当的坐标系，写出各景点的坐标． 4．如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为1∶10 000，而且取实际长度100米作为图中的1个单位长度，解答下面的问题： （1）如果湖心亭在西门的正东方向200米处，请在图中描出西门的位置，并写出它的坐标； （2）从湖心亭向东走100米，再向北走200米就到游乐场，请在图中描出游乐场的位置，并写出它的坐标； （3）若博览会的坐标是(3，3)，描出它的位置，说明它在湖心亭的什么方向上，与湖心亭的距离大约是多少（精确到米）． 检测1 1． 一个矩形的两边长分别是4，2，如图所示建立直角坐标系，则下面哪个点不在矩形上？ A．（4，0） B．（2，4） C．（4，2） D．（0，2） 2．已知点M（5a－6，－3b＋2）在第二象限，且到x轴的距离为5，到y轴距离为11． （1）写出M的坐标；（2）求出a、b的值． 3．右图是某市旅游景点示意图．葛亮同学利用暑假参观了花峪村果树种植基地．他从苹果园出发，沿（1，3），（－3，3），（－4，0），（－4，－3），（2，－2），（6，－3），（6，0），（6，4）的路线进行了参观，写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点，看看能得到什么图形？ 2、 坐标表示平移 探究点的平移规律 将点A（－2，－3）向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出这个点，并写出它的坐标．把点A向上，左，下平移4个单位长度呢？ 将点A（－2，－3）向右平移5个单位长度，得到点A1（3，－3）；将点A（－2，－3）向上平移4个单位长度，得到点的坐标是（－2，1）；将点A（－2，－3）向左平移4个单位长度，得到点的坐标是（－6，－3）；将点A（－2，－3）向下平移4个单位长度，得到点的坐标是（－2，－7）． 发现： ①将点A（－2，－3）向右平移5个单位长度，得到新的坐标是纵坐标不变，横坐标加5． ②将点A（－2，－3）向上平移4个单位长度，得到新的坐标是横坐标不变，纵坐标加4． ③将点A（－2，－3）向左平移4个单位长度，得到新的坐标是纵坐标不变，横坐标减4． ④将点A（－2，－3）向下平移4个单位长度，得到新的坐标是横坐标不变，纵坐标减4． 总结规律： 一般地，在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点的坐标是（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点的坐标是（x，y＋b）或（x，y－b）． 运用点的平移规律探究图形的平移规律 探究　如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A（－2，4），B（－2，3），C（ －1，3），D（－1，4），将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H． （1）点E，F，G，H的坐标分别是什么？ （2）如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同吗？ 如图，点E，F，G，H的坐标分别是：（6，－3），（6，－4），（7，－4），（7，－3）．若直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形位置相同． 归纳总结： 对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 例题精讲 如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是：A（4，3），B（3，1），C（1，2）． （1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得的三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？ （2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得的三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？ 解：（1）A1（－2，3），B1（－3，1），C1（－5，2），即三角形ABC向左平移了6个单位长度，因此所得三角形A1 B1 C1与三角形ABC的大小、形状完全相同． （2）用类比的思想，探究得到三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度． 思考：如图，将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标减去5，又能得到什么结论？ 将三角形ABC的三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标减去5，分别得到的点的坐标是（－2，－2），（－5，－3），（－3，－4），依次连接这三点，可以发现所得三角形可以由三角形ABC向左平移6个单位长度，再向下平移了5个单位长度．三角形的大小、形状完全相同． 总结： 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移b个单位长度． 练习2 1．线段CD是由线段AB平移得到，点A（－1，3）的对应点是C（2，5），则B（－3，－2）的对应点D的坐标为（ 　 ）． A．（0，0） B．（－6，－4） C．（－1，1） D．（1，－1） 2．已知点A(－2，－3)，分别求出点A经平移后得到的坐标： （1）向上平移3个单位长度； （2）向下平移3个单位长度； （3）向左平移2个单位长度； （4）向右平移4个单位长度； （5）向上平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度． 3．已知第二象限的点 M ( a – 1，5 ) 先沿水平方向平移3个单位长度再沿竖直方向平移4个单位长度后得到N ( 2，b – 1 )则 a = ______ ，b = _______ ． x y O y = 5 x = 2 M P ( 2 , 5 ) N ( 2 , 9 ) N ( 2 , 1 ) 作业2 1．（1）点A(－2，3) 先向右平移3个单位长度再向下平移3个单位长度可以得到点D的坐标是________． （2）点A向上平移3个单位长度后得到点C(2，－3)则点A的坐标是_______． （3）点A(－2，3)向 ____平移_____个单位长度可以得到点C(－2，－2)． （4）点A(－2，3)先向____平移____个单位长度再向_____平移_____个单位长度，可以得到点D(－3，4)． 2．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）． A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（－2，2），（4，3），（1，7） C．（－2，2），（3，4），（1，7） D．（2，－2），（3，3），（1，7） 3．如图，长方形ABCD四个顶点分别是A（－3，2），B（－3，－2），C（3，－2），D（3，2）．将长方形向左平移2个单位长度，各个顶点的坐标变为什么？将它向上平移3个单位长度呢？分别画出平移后的图形． 检测2 1．已知△ABC平移后得△A′B′C′，且A（－2，3），B（－4，－1），C（m，n），C′（m＋5，n＋3），则A′，B′两点的坐标为（ ）． A．（3，6），（1，2） B．（－7，0），（－9，－4） C．（m－2，m－3），（m－4，m－1） D．不能确定 2．在直角坐标系中，电子跳蚤每次只可以向左或向右或向上或向下跳一格，如果电子跳蚤的起始位置为（3，4），则经过两次跳动，它可能的位置是（ ）． A．（2，4） B．（2，2） C．（5，5） D．（2，5） 3．如图所示，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是（－4，2），（－2，2），右边图案中左眼的坐标是（3，4），则右边图案中右眼的坐标是________． ． 4． 如图，如果原图中四个点的横坐标不变，纵坐标都减去2，在直角坐标系中画出新的图形，并比较新图形与原图形有什么关系． 答案： 练习1： 1、 A． 2、 （－300，200）；（－100，200）． 3、解：（1）因为点A（3，1）表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B（2，3）表示放置2个胡萝卜、3棵青菜， 可得点C的坐标是（2，1），它表示放置2个胡萝卜、1棵青菜； 点D的坐标是（2，2），它表示放置2个胡萝卜、2棵青菜； 点E的坐标是（3，2），它表示放置3个胡萝卜、2棵青菜； 点F的坐标是（3，3），它表示放置3个胡萝卜、3棵青菜． （2）若兔子走路线①A→C→D→B，则可以吃到的胡萝卜共有3＋2＋2＋2=9（个），吃到的青菜共有1＋1＋2＋3=7（棵）； 走路线②A→E→D→B，则可以吃到的胡萝卜共有3＋3＋2＋2=10（个），吃到的青菜共有l＋2＋2＋3=8（棵）； 走路线③A→E→F→B，则可以吃到的胡萝卜共有3＋3＋3＋2=11（个）．吃到的青菜共有1＋2＋3＋3=9（棵）； 作业1： 1．B． 2．B． 3．答案不唯一． 4. （1）西门（－2，0）．（2）游乐场（1，2）．（3）在湖心亭的东北方向，大约424米． 检测1： 1．B． 2．（1）∵M到x轴、y轴的距离分别为5，11，且在第二象限，∴M点坐标为（－11，5）． （2）又∵M坐标为（5a－6，－3b＋2）， ∴解得 3．他路上经过的地方：葡萄园，杏林，桃林，梅林，山楂林，枣林，梨园，苹果园．图略． 练习2： 1. A 2. （1）(－2，0)；（2）(－2，－6)；（3）(－4，－3)；（4）(2，－3)；（5）(0，2)． 3.a＝0或6，b＝10或2． 作业2： 1．（1）(1，0)； （2）(2，－6)； （3）下，5； （4）左，1，上，1或 （上，1，左，1） 2．C．3．将长方形向左平移2个单位长度，各个顶点的坐标变为A（－5，2），B（－5，－2），C（1，－2），D（1，2）平移后的图形如下： 将它向上平移3个单位长度，各个顶点的坐标变为A（－3，5），B（－3，1），C（3，1），D（3，5）．平移后的图形为： 检测2： 1．A． 2．D．　　3．（5，4）． 4．如图所示，四个顶点的坐标变化为（0，－2）（6，1）（4，－2）（6，－5）． 新图形是由原图形向下平移2个单位长度得到的． 学科网（北京）股份有限公司 $