精品解析：重庆鲁能巴蜀中学2025-2026学年九年级下学期3月 学情自测数学试卷

重庆鲁能巴蜀中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试卷 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 9的相反数是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的概念，只有符号不同的两个数，可得结果． 熟练掌握相反数的概念是解题的关键． 【详解】解：根据相反数的概念可知，9的相反数是． 2. 下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体的知识，熟知从不同方向看得到的几何体的形状图是解题的关键． 找到从正面看所得到的图形为三角形的几何体即可． 【详解】解：A．从正面看是三角形，故本选项符合题意； B．从正面看是长方形，故本选项不符合题意； C．从正面看是长方形，故本选项不符合题意； D．从正面看是长方形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解一批新上市护眼台灯的使用寿命 B. 了解全国初中生对2026年“天宫课堂”新课的观看情况 C. 了解某市初中生每日体育锻炼的平均时长 D. 了解你班同学在2026年寒假期间参与社区志愿服务的人数 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面普查适用的范围即可得到答案． 【详解】解：了解一批新上市护眼台灯的使用寿命，最适合采用抽样调查，不符合题意； 了解全国初中生对2026年“天宫课堂”新课的观看情况，最适合采用抽样调查，不符合题意； 了解某市初中生每日体育锻炼的平均时长，最适合采用抽样调查，不符合题意； 了解你班同学在2026年寒假期间参与社区志愿服务的人数，最适合采用全面调查，符合题意； 4. 估计的值在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】B 【解析】 【分析】将原式进行化简即可，得，先判断的范围，再判断的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故的值在1到2之间． 5. 如图，与是位似图形，位似中心为点．若，且的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由位似图形的性质可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为． 6. 已知，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 故． 7. 如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，掌握扇形面积的计算公式．过作于，判定是等边三角形，得到，求出，于是扇形的面积，由等边三角形的性质得到的长，由勾股定理求出，进而求出的面积，根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过作于， 直径，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ，  故选：D． 8. 某商城计划销售一种玩具，该玩具每个进货价为30元．调查发现，当销售价为50元时，平均每天能售出40个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．商城要想使这种玩具的销售利润平均每天达到900元，设每个玩具降价元时，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润单件利润销售量的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵每个玩具降价元， ∴单件利润为元， ∵销售价每降低1元，平均每天多售出5个， ∴降价元后，每天销售量为个， 又∵总利润要达到900元，且总利润单件利润销售量， ∴可列方程为， 故选：A． 9. 如图，正方形的边长为，对角线和交于点，是线段上一点，是边上一点，连接、，线段交于点，若，且，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作交于点，过点分别作、的垂线，垂足为、，设，容易证明，则，，进一步可证明，从而得到，，，．利用平行可判定，从而计算出，利用三角函数可得，．最后通过可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，作交于点，过点分别作、的垂线，垂足为、，设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， 化简，得， 解得，， ∵，即， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且只有1个单项式； ②若（i为正整数），则满足条件的所有整式M有6个； ③若，则满足条件的所有整式M的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先明确整式M的系数限制，再逐一分析验证各个说法的正确与否，并最终选出说法正确的个数即可，需注意是自然数，可取值0，及之后的系数是正整数，取值从1开始，分析严格递增条件时，要注意与的大小关系也需满足，在计算所有符合条件的整式和时，要分别合并同类项，确保每个次数的系数计算准确． 【详解】解：验证①：∵为正整数，为自然数， 当时，要为单项式则， ∴，即， ∴，有唯一单项式； 当时，至少存在两个正整数，至少有两项，此时必为多项式，不可能是单项式，故①正确； 验证②：当时，满足，，解为，共3个， 当时，满足，，解为，共2个， 当时，最小和为，无解， ∴总共有（个），故②错误； 验证③：当时，，解为，此时，仅此一个； 当时，，解为，此时、、， 当时，，解为，此时、、， 当时，最小和大于5，无解， ∴所有整式相加得：，故③错误， 综上所述，只有1个说法正确． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_______． 【答案】 12 【解析】 【分析】根据负整数指数幂与绝对值的性质化简运算即可． 【详解】解：． 12. 一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：记2 块巧克力味饼干为、，2 块牛奶味饼干为、， 列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次都拿到牛奶味饼干的情况有种， ∴两次都拿到牛奶味饼干的概率为， 故答案为：． 13. 如图，，的平分线交于点，是上的一点，连接，的平分线交于点，且．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线和平行线的性质可得 ，结合可得．利用角平分线的性质可推出，最后利用平行线的性质求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 14. 若实数a，b同时满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出，再分四种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 解得：， 当，时，，此方程组无解； 当，时，，解得：， ∴； 当，时，，解得：，此解不符合题意舍去； 当，时，，此方程组无解； 综上，． 15. 如图，四边形是的内接四边形，、相交于点E，是的直径，的延长线交的切线于点F，连接与交于点G．若，，，则_________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用直径所对圆周角为直角和已知条件得出，利用垂径定理求得，，，利用同弧所对圆周角相等得到，结合已知条件利用正切的定义和勾股定理求出相关线段的长度，从而求得的长；设，利用等边对等角，圆的切线性质和直径所对圆周角为直角推出，进而证明，通过相似三角形对应边成比例和勾股定理列出关于的方程并求解，再利用正切的定义求得的长，最终求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，即， 解得， 在中，， ∴， 解得， ∴． 16. 我们规定：一个各数位数字均不为零且互不相等的四位数，若满足，则称这个四位自然数为“百合数”．记，．例如：四位数5347，因为，所以5347是“百合数”；四位数4257，因为，所以4257不是“百合数”．按照这个规定，最小的“百合数”是________；一个“百合数”（其中，且s，t，p，q均为整数）．若是整数，则所有满足条件的N的值之和为________． 【答案】 ①. 1387 ②. 3962 【解析】 【分析】根据“百合数”的定义，要使“百合数”最小，则千位数取，结合题中给出的范例进行枚举后即可得出结果；由可得：，从而得出，，再将，代入并化简，同理代入并化简，紧接着得出“百合数”N的表达式，从而得出，，将上述式子代入并化简，要使为整数，此时分情况进行讨论，通过枚举验证满足要求的四位数，得出后即可求得最终结果． 【详解】解：由题意知，要使“百合数”最小，则千位数取， ∵，四位数且各数位数字均不为零且互不相等， ∴当时，则，此时不符合题意， 当时，则，此时符合题意， ∴最小的“百合数”是1387； 由可得：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵“百合数”，其中，且s，t，p，q均为整数， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， 要使为整数， 此时分情况讨论： ①当时，，此时，，， ∴满足要求； ②当时，，此时，，， ∴满足要求； ③当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ④当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ⑤当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ⑥当时，，此时，，， ∴，由于t，q重复，故不满足要求， ∴满足条件的N的值之和为：． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】、、 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则求出不等式组的解集，再写出所有整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， ， ， 解得， 解不等式②得：， ， 解得， 故不等式的解集为：， 所有整数有：、、． 18. 如图，在中，是延长线上的一点，点是的中点． （1）请用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：作的平分线，连接并延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：（请补全下面的证明过程）． 证明：点是的中点， ， ①_________； ， ， 即， 平分， ， ②_________， 在和中， ， （③______） ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点和这个交点作射线； （2）求出，利用证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：点是的中点， ， ； ， ， 即， 平分， ， ②， 在和中， ， （③）， ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为强化学生的交通安全意识，某校举办了交通安全知识竞赛．现从该校甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名同学的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（分数用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 甲队10名同学的竞赛成绩：96，79，88，90，69，92，100，94，98，94． 乙队10名同学的竞赛成绩在组中的数据为：92，92，97，99，99，99． 甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 90 94 乙 90 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）为进一步强化学生的交通安全意识，该校将对竞赛成绩不低于90分的同学予以表彰，甲代表队有300名同学、乙代表队有260名同学参加了此次竞赛，估计此次竞赛共有多少名同学会受到表彰？ 【答案】（1）93，99，10 （2）甲队，理由见详解 （3）366 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）根据成绩统计表中数据平均数求解即可； （3）甲队总人数乘以样本中D组所占比例加上乙队总人数乘以样本中D组所占比例即可． 【小问1详解】 解：甲队10名队员的竞赛成绩从小到大顺序排列为：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100， 所以中位数； ∵， ∴； 根据成绩统计表和扇形统计图可知： 乙队10名同学的竞赛中A组有人，B组有人，C组有人， ∴乙队10名同学中众数为D组出现3次的99，则． ∴综上，，，； 【小问2详解】 解：甲队的竞赛成绩更好， 理由：因为甲、乙队平均数都相等，而甲队的中位数大于乙队，所以甲队的竞赛成绩更好； 【小问3详解】 解：根据题意，甲队D组同学有7人，乙队D组同学有6人， ∴此次竞赛受到表彰的人数有（人）． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算以及分式的混合运算，特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，再根据特殊角的三角函数值以及零指数幂计算出，代数求值即可． 【详解】解：原式 ； ， 将代入，原式． 21. 2026年重庆国际马拉松赛举办期间，山城运动氛围持续高涨．某连锁运动器材专卖店紧扣这一本土热点，计划采购一批热门运动器材投放社区门店，助力市民参与马拉松配套健身活动．已知该店花费12300元购进40副羽毛球拍和50副乒乓球拍，且每副羽毛球拍的进价比每副乒乓球拍贵60元． （1）请问每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的进价分别为多少元？ （2）该店第一批器材很快售罄，厂家为支持“重庆马拉松惠民”活动，对两种球拍进行降价销售，每副羽毛球拍的降价金额是每副乒乓球拍降价金额的2倍．该店计划再购进一批器材，花费9000元购进羽毛球拍，花费5000元购进乒乓球拍，且购进羽毛球拍的数量比购进乒乓球拍的数量多，求该店此次购进羽毛球拍多少副？ 【答案】（1）每副羽毛球拍进价为170元，每副乒乓球拍的进价为110元 （2）该店此次购进羽毛球拍60副 【解析】 【分析】（1）设每副羽毛球拍进价为x元，每副乒乓球拍的进价为y元，根据花费12300元购进40副羽毛球拍和50副乒乓球拍，且每副羽毛球拍的进价比每副乒乓球拍贵60元，列出方程组，解方程即可； （2）设每副乒乓球拍降价金额为m元，则每副羽毛球拍的降价金额为元，根据花费9000元购进羽毛球拍，花费5000元购进乒乓球拍，且购进羽毛球拍的数量比购进乒乓球拍的数量多，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每副羽毛球拍进价为x元，每副乒乓球拍的进价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每副羽毛球拍进价为170元，每副乒乓球拍的进价为110元； 【小问2详解】 解：设每副乒乓球拍降价金额为m元，则每副羽毛球拍的降价金额为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， （元）， （副）， 答：该店此次购进羽毛球拍60副． 22. 如图1，在平行四边形中，，连接，动点、分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线运动，点沿射线运动，且P、Q同时停止．的面积为与的面积之比为，设运动时间为秒． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）见解析，当时，随的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，当点在上时，；当点在上时，过点作于点，；分别求出和即可得到答案； （2）根据所求解析式画出图象即可，再根据图象得到性质； （3）先求出函数的交点，根据函数图象进行判断即可． 【小问1详解】 解：当点在上时， ， ， ， ； 当点在上时， 平行四边形，， ， 过点作于点， ， ； 综上所述，； ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图， 当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时， 当时， 解得，即； 当时， 时，的取值范围为或． 23. 如图，一辆应急保障车在点接到指令，得知山区观测站的通讯设备出现故障．在点测得观测站位于的南偏西方向上．应急保障车沿正西方向行驶20公里到达点，此时测得观测站位于的南偏西方向上，同时测得物资补给站位于的西南方向．已知补给站在观测站的正西方向上．（参考数据：） （1）求观测站到应急保障车行驶路线的距离为多少公里（结果保留根号）； （2）应急保障车到达点后，立即执行双路行动：一名工作人员乘坐摩托车从点出发，沿前往补给站领取维修配件（领取时间忽略不计），之后沿赶往观测站，速度为30公里/小时．同时维修员乘应急保障车沿前往观测站检测设备，速度为25公里/小时，预计设备检测时间为35分钟；请通过计算说明：摩托车能否在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）公里 （2）摩托车能在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站，理由见解析 【解析】 【分析】解题的关键在于作辅助线构造直角三角形，以及结合解直角三角形的相关计算分析求解． （1）过点作于点，结合方向角特征，三角形外角性质，以及等腰三角形判定推出公里，再利用解直角三角形的计算求解，即可解题； （2）过点作于点，通过矩形的性质和判定，以及解直角三角形的计算分别求出，再利用速度、时间、路程之间的关系分别求出摩托车所用时间和维修员所用时间，最后进行比较判断，即可解题． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题知，公里， ， 公里， (公里)； 【小问2详解】 解：过点作于点， 结合（1）可知公里， ，公里，， ，，公里， 由题意知， 四边形为矩形， 公里， 由题意知， ，公里， 公里， 则摩托车所用时间为：， 维修员所用时间为：， ， 摩托车能在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交于点，点，是抛物线对称轴上的两个动点（点在点的下方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新拋物线的对称轴对称，点为新拋物线上对称轴右侧一点，连接，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由勾股定理可得；解直角三角形得到，；；求出直线的解析式为；过点P作轴，交于点G，过点D作于点H，可证明，得到；再证明，得到，则可证明；设，则，可推出，利用二次函数的性质可求出最大时，点P的坐标为；取，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则当K、N、A三点共线时，有最小值，最小值为的长，即此时有最小值，最小值为的值，求出的长即可得到答案； （3）平移前的抛物线的顶点坐标为，根据题意可知将抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到新抛物线，则新抛物线的解析式为，根据对称性可得，解直角三角形可求出，；在x轴上截取，连接，设直线交直线于点H，则是等边三角形，，证明，得到；求出直线的解析式为，设，则，解方程可求出；则直线的解析式为，联立得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 在中，，则， ； 在中，，则； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴，交于点G，过点D作于点H，则轴，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点P的坐标为； 如图所示，取，连接， ∴轴， ∴， ∵点M和点N都在二次函数的对称轴上， ∴轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当K、N、A三点共线时，有最小值，最小值为的长，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵平移前的抛物线解析式为， ∴平移前的抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，相当于将抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为，即， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∵点与点关于新拋物线的对称轴对称， ∴， ∵， ∴轴，且， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； 如图所示，在x轴上截取，连接，设直线交直线于点H， ∴是等边三角形，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 25. 在中，，点是直线上一点，连接． （1）如图1，点在线段上，且，求的值； （2）如图2，点在延长线上，在线段上取一点，以为斜边向下作等腰，连接、，在线段上取点，使得，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点在线段上，若，且点为边上中点，在线段上取一点，以为斜边向下作等腰，在平面内将等腰绕着点旋转，在旋转过程中，直线、相交于点，连接，取的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由，设，，则，求出，可求得，再利用勾股定理求得，即可求解； （2）过点作，交延长线于点，连接，先证明是等腰直角三角形，再证明，再证，，则可证明，即可求证； （3）设旋转后的点为，旋转后的点为，通过证明，得出，则是定边定角的三角形（，），可知点R的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆，连接，取的中点，连接，，再得出点S的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆，则当、、共线时，取得最小值，再通过过点作于点，过点作于点，过点作延长线于点，过点作于点进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由，设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 等腰中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：如图，设旋转后的点为，旋转后的点为， ∵，点为边上中点， ∴，，，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设与交于点， 则， ∴， 即， 则是定边定角的三角形（，）， 构造的外接圆，连接，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴点在上，且为中点，为定点， ∴点R的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆， 连接，取的中点，连接，， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴点S的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆， 由图可知为圆外一点， 则当、、共线时，取得最小值， 此时如图，过点作于点，过点作于点，过点作延长线于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆鲁能巴蜀中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试卷 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 9的相反数是（ ） A. B. C. 9 D. 2. 下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解一批新上市护眼台灯的使用寿命 B. 了解全国初中生对2026年“天宫课堂”新课的观看情况 C. 了解某市初中生每日体育锻炼的平均时长 D. 了解你班同学在2026年寒假期间参与社区志愿服务的人数 4. 估计的值在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 5. 如图，与是位似图形，位似中心为点．若，且的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 6. 已知，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 7. 如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 某商城计划销售一种玩具，该玩具每个进货价为30元．调查发现，当销售价为50元时，平均每天能售出40个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．商城要想使这种玩具的销售利润平均每天达到900元，设每个玩具降价元时，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，对角线和交于点，是线段上一点，是边上一点，连接、，线段交于点，若，且，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且只有1个单项式； ②若（i为正整数），则满足条件的所有整式M有6个； ③若，则满足条件的所有整式M的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_______． 12. 一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______． 13. 如图，，的平分线交于点，是上的一点，连接，的平分线交于点，且．若，则的度数为_______． 14. 若实数a，b同时满足，则的值为________． 15. 如图，四边形是的内接四边形，、相交于点E，是的直径，的延长线交的切线于点F，连接与交于点G．若，，，则_________；________． 16. 我们规定：一个各数位数字均不为零且互不相等的四位数，若满足，则称这个四位自然数为“百合数”．记，．例如：四位数5347，因为，所以5347是“百合数”；四位数4257，因为，所以4257不是“百合数”．按照这个规定，最小的“百合数”是________；一个“百合数”（其中，且s，t，p，q均为整数）．若是整数，则所有满足条件的N的值之和为________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 如图，在中，是延长线上的一点，点是的中点． （1）请用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：作的平分线，连接并延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：（请补全下面的证明过程）． 证明：点是的中点， ， ①_________； ， ， 即， 平分， ， ②_________， 在和中， ， （③______） ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为强化学生的交通安全意识，某校举办了交通安全知识竞赛．现从该校甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名同学的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（分数用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 甲队10名同学的竞赛成绩：96，79，88，90，69，92，100，94，98，94． 乙队10名同学的竞赛成绩在组中的数据为：92，92，97，99，99，99． 甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 90 94 乙 90 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）为进一步强化学生的交通安全意识，该校将对竞赛成绩不低于90分的同学予以表彰，甲代表队有300名同学、乙代表队有260名同学参加了此次竞赛，估计此次竞赛共有多少名同学会受到表彰？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2026年重庆国际马拉松赛举办期间，山城运动氛围持续高涨．某连锁运动器材专卖店紧扣这一本土热点，计划采购一批热门运动器材投放社区门店，助力市民参与马拉松配套健身活动．已知该店花费12300元购进40副羽毛球拍和50副乒乓球拍，且每副羽毛球拍的进价比每副乒乓球拍贵60元． （1）请问每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的进价分别为多少元？ （2）该店第一批器材很快售罄，厂家为支持“重庆马拉松惠民”活动，对两种球拍进行降价销售，每副羽毛球拍的降价金额是每副乒乓球拍降价金额的2倍．该店计划再购进一批器材，花费9000元购进羽毛球拍，花费5000元购进乒乓球拍，且购进羽毛球拍的数量比购进乒乓球拍的数量多，求该店此次购进羽毛球拍多少副？ 22. 如图1，在平行四边形中，，连接，动点、分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线运动，点沿射线运动，且P、Q同时停止．的面积为与的面积之比为，设运动时间为秒． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，一辆应急保障车在点接到指令，得知山区观测站的通讯设备出现故障．在点测得观测站位于的南偏西方向上．应急保障车沿正西方向行驶20公里到达点，此时测得观测站位于的南偏西方向上，同时测得物资补给站位于的西南方向．已知补给站在观测站的正西方向上．（参考数据：） （1）求观测站到应急保障车行驶路线的距离为多少公里（结果保留根号）； （2）应急保障车到达点后，立即执行双路行动：一名工作人员乘坐摩托车从点出发，沿前往补给站领取维修配件（领取时间忽略不计），之后沿赶往观测站，速度为30公里/小时．同时维修员乘应急保障车沿前往观测站检测设备，速度为25公里/小时，预计设备检测时间为35分钟；请通过计算说明：摩托车能否在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交于点，点，是抛物线对称轴上的两个动点（点在点的下方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新拋物线的对称轴对称，点为新拋物线上对称轴右侧一点，连接，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点是直线上一点，连接． （1）如图1，点在线段上，且，求的值； （2）如图2，点在延长线上，在线段上取一点，以为斜边向下作等腰，连接、，在线段上取点，使得，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点在线段上，若，且点为边上中点，在线段上取一点，以为斜边向下作等腰，在平面内将等腰绕着点旋转，在旋转过程中，直线、相交于点，连接，取的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $