专题1.1 三角函数21种题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题1.1 三角函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01终边相同的角 题型02确定角所在的象限 题型03扇形的弧长与扇形面积公式 题型04利用三角函数的定义求值 题型05三角函数的符号判断 题型06 sina、cosa、tana知一求二 题型07正余弦齐次式的应用 题型08 sina·cosa、sina±cosa关系应用 题型09利用诱导公式化简求值 题型10求三角函数的定义域 题型11求三角函数的值域 题型12三角函数的奇偶性及应用 题型13三角函数的周期性及应用 题型14三角函数的对称性及应用 题型15三角函数的单调性及应用 题型16根据三角函数的性质求ω的取值范围 题型17三角恒等变换给角求值与给值求值 题型18三角恒等变换给值求角 题型19根据三角函数的图象求解析式 题型20三角函数图像变换问题 题型21三角函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与弧度制 1、能准确区分象限角、轴线角，写出终边相同角的集合； 2、能熟练进行弧度与角度的互化，计算弧长与扇形面积 基础必考点，多以选择题/填空题形式考查，难度较低。 常结合象限角判断、弧度制应用命题，易忽视角的终边位置范围 三角函数的定义 1、能根据任意角的定义求三角函数值； 2、能利用三角函数线解决简单的不等式或求值问题 高频基础点，小题为主。常结合坐标点求值、三角函数线的几何意义考查； 易错点：忽略三角函数值的符号判断 同角三角函数的基本关系 1、能熟练运用两个公式进行化简、求值； 2、能处理“知一求二”类问题 核心考点，选择/填空/解答题均可能出现。解答题中常与化简求值结合。 易错点：忽视的定义域、开方时符号判断错误 三角函数的诱导公式 1、能熟练运用诱导公式化简任意角的三角函数； 2、能利用诱导公式进行求值、证明，结合同角关系综合应用 高频考点，解答题常作为化简步骤考查。 易错点：诱导公式的符号记忆混乱、未先化简再求值 三角函数的图象与性质 1、能画出、、的图象，理解图象的对称性、变换规律； 2、能熟练求三种函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间； 3、能利用函数性质解决简单的不等式、参数求解问题 重中之重，小题、解答题均有考查，解答题常作为核心考点。常结合图象性质综合命题，对比考查三种函数的异同； 易错点：忽视正切函数的定义域、正弦/余弦函数单调性区间的开闭、周期计算错误；命题趋势为结合图象变换、性质应用考查数形结合思想 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1、能由图象求A、ω、φ的参数值； 2、能分析y=Asin(ωx+φ)的周期、值域、单调性、对称轴与对称中心； 3、能进行图象的平移、伸缩变换 高频重难点，解答题压轴或次压轴题常考。易错点：的求解忽视范围、图象变换顺序错误、对周期的影响混淆 知识点01 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制、弧长公式及扇形面积公式 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点02 三角函数的概念 1、三角函数的定义 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 2、同角三角函数基本关系 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （3）商数关系：＝tan α. （3）基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． ②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ③sin α＝tan αcos α. 知识点03 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 知识点04 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点05 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2、二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3、辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 知识点06 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 题型一 终边相同的角 解｜题｜技｜巧 1、牢记定义：所有与角α终边相同的角，都可以表示为角α加上360°（角度制）或2π（弧度制）的整数倍，本质是角的终边绕原点旋转整数个周角后位置不变。 2、规范书写集合： （1）角度制下，集合表示为{β|β=α+k・360°,k∈Z}； （2）弧度制下，集合表示为{β|β=α+2kπ,k∈Z}。 3、关键细节：必须标注角的单位（角度或弧度），不可遗漏k∈Z的限制（k为任意整数，包括正整数、负整数和0）；为使集合更简洁，需先将α化为标准范围内的角（0°≤α<360°或0≤α<2π） 【典例1】（24-25高一下·山东威海·期中）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以与的终边相同.故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为. 所以与角终边相同的最小正角是.故选：B 【变式1-2】（24-25高一下·江西上饶·期中）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 选项A、B中，角度与弧度混用，单位不统一，故A、B错误； 选项C：与终边相同，含义相同，故C正确； 选项D：当时，与终边不同，故D错误.故选：C 【变式1-3】（24-25高一下·江西·期中）已知角，角的终边与角的终边关于轴对称，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角，角的终边与角的终边关于轴对称， 则， 所以，的可能取值为.故选：D. 题型二 确定角所在的象限 解｜题｜技｜巧 1、已知角终边所在的象限，确定其他角终边所在的象限，常依据角的范围得到所求角的范围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉终边在坐标轴上的情况。 2、已知角所在象限，要确定所在象限，由两种方法： （1）用不等式表示出角的范围，然后对的取值分情况讨论：被整除，被除余1，被除余2，……，从而得出结论； （2）作出各个象限的从原点出发的等分射线，它们与坐标轴把周角分成个区域。从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这个区域以此循环标上1,2,3,4。标号为几的区域，就是根据角终边所在的象限确定角的终边所在的区域。如此，角所在的区域就可以由标号区域所在的象限直观的看出。 3、已知角终边所在的象限，确定终边所在的象限，可依据角的范围求出的范围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况。 【典例2】（24-25高一下·北京海淀·期中）角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】， 所以与终边相同，所以终边在第一象限.故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·天津河西·期末）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角．故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·辽宁锦州·期中）已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【答案】A 【解析】因为是钝角三角形中最大的角，所以， 则，故是第一象限角．故选：A 【变式2-3】（24-25高一下·陕西渭南·期中）（多选）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】BCD 【解析】由为第四象限角，得， 得， 令，时，，，得的终边在第四象限； 令，时，，，得的终边在第二象限， 令，时，，，得的终边在第三象限， 故选：BCD. 题型三 扇形的弧长与扇形面积公式 解｜题｜技｜巧 1、设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 2、解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点： （1）熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要灵活运用公式求解或列方程（组）； （2）最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。 【典例3】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则， 又扇形的圆心角为，由弧长公式得， ，解得，， 该扇形的面积为.故选：. 【变式3-1】（24-25高一下·湖北·期中）折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________． 【答案】 【解析】设，已知扇形的面积， 扇形的面积， 所以扇面的面积为. 【变式3-2】（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8.故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·辽宁大连·期中）（多选）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（    ） A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6 C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为 【答案】ABD 【解析】对于C，设扇形半径为，则弧长，扇形面积， 当且仅当时取等号，C错误 对于B，扇形的弧长，B正确； 对于A，扇形的圆心角为，A正确； 对于D，扇形圆心角所对弦长为，D正确.故选：ABD 题型四 利用三角函数的定义求值 解｜题｜技｜巧 1、明确三角函数定义：设角α的终边与以原点为圆心、半径为的圆交于点，则（根号下恒为非负数，始终为正数），此时、、（）。 2、解题步骤：先确定角α终边上一点的坐标，若未给出具体点，可根据角的终边位置取特殊点（如单位圆上的点，，计算更简便）；再计算的值；最后代入三个三角函数的定义式，计算出具体数值。 3、关键细节：计算前需判断角α所在的象限，进而确定、的正负，最终确定三角函数值的正负。 【典例4】（24-25高一下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由正切函数的定义，有.故选：B 【变式4-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，． 综上，．故选：B． 【变式4-2】（24-25高一下·广西贵港·期中）（多选）若，则角的终边经过的点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设角的终边经过的点的坐标为，． 当，时，，，A不符合题意； 当，时，，，B符合题意； 当，时，，，C不符合题意； 当，时，，，D符合题意．故选：BD 【变式4-3】（24-25高一下·北京·期中）已知角终边上一点，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由角终边上一点，得， 因此，解得， 所以的值为.故选：D 题型五 三角函数的符号判断 解｜题｜技｜巧 三角函数的符号如下图： 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 【典例5】（24-25高一下·甘肃武威·期中）“”是“角的终边落在第一或第二象限”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】充分性是指由“”能否推出“角的终边落在第一或第二象限”. 根据正弦函数的定义， 当时，即，因为，所以. 此时角的终边可能落在第一或第二象限，也可能落在轴的正半轴上 （当角的终边落在轴正半轴上时，，，）. 所以由“”不能推出“角的终边落在第一或第二象限”，充分性不成立. 必要性是指由“角的终边落在第一或第二象限”能否推出“”. 当角的终边落在第一象限时，终边上任意一点的横、纵坐标都大于， 即，，那么（）. 当角的终边落在第二象限时，终边上任意一点的横坐标小于，纵坐标大于， 即，，那么（）. 所以由“角的终边落在第一或第二象限”可以推出“”，必要性成立. 由于充分性不成立，必要性成立， 所以“”是“角的终边落在第一或第二象限”的必要不充分条件. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，，且，所以弧度的角是第二象限角. 根据余弦函数的性质，在第二象限中，余弦值是负数，所以. 根据正切函数的性质，在第二象限中，正切值是负数，所以. 在平面直角坐标系中，横坐标小于且纵坐标小于的点在第三象限， 因为点中，，所以点在第三象限. 即点在平面直角坐标系中位于第三象限.故选：. 【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期中）已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，得角的终边在轴下方， 由，得角的终边在第二或第四象限， 所以当且时，角的终边在第四象限．故选：D 【变式5-3】（25-26高一上·广东肇庆·月考）已知，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 【答案】D 【解析】因为， 所以，所以是第一或第四象限角.故选：D 题型六 sina、cosa、tana知一求二 解｜题｜技｜巧 1、核心依据：同角三角函数的基本关系，即sin²α+cos²α=1（恒成立，无定义域限制）和tanα=sinα/cosα（定义域限制：α≠π/2+kπ，k∈Z，即cosα≠0）。 2、解题步骤： 第一步，由已知的一个三角函数值，结合sin²α+cos²α=1，求出另一个三角函数值； 第二步，根据角α所在的象限，判断所求三角函数值的符号（开方时需确定正负，避免漏解）； 第三步，若需要求tanα，可利用tanα=sinα/cosα，代入已求出的sinα和cosα的值计算，注意此时需确保cosα≠0（若cosα=0，tanα 不存在）。 【典例6】（24-25高一下·北京西城·期中）已知，且是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且是第四象限角，所以， 所以，故选：A． 【变式6-1】（24-25高一下·云南迪庆·期中）已知是第二象限角，，则_________. 【答案】 【解析】因是第二象限角，， 由，可得. 【变式6-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知在第二象限，则的值为__________. 【答案】 【解析】由在第二象限，得， 所以. 【变式6-3】（24-25高一下·北京西城·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又， 又，，所以， 所以，故选：D. 题型七 正余弦齐次式的应用 解｜题｜技｜巧 化切求值的方法技巧： （1）对分式齐次式，因为，一般可在分子和分母中同时除以，使所求代数式化为关于的代数式，从而得解； （2）对整式（一般是指关于）齐次式，把分母看为“1”，用替换“1”，从而把问题转化为分式齐次式，在分子和分母中同时除以，即可得到关于的代数式，从而得解。 【典例7】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.故选：D 【变式7-1】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则____，______． 【答案】； 【解析】； . 【变式7-2】（24-25高一下·内蒙古包头·期中）若，则（    ） A． B． C．－4 D．4 【答案】B 【解析】由，得．故选：B. 【变式7-3】（24-25高一下·海南·期中）已知是第二象限角，， (1)求； (2)求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）已知是第二象限角，, ,. （2）, ,. 题型八 sina±cosa、sina·cosa关系应用 解｜题｜技｜巧 ，，三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：。求解过程中需注意三角函数值的符号。 【典例8】（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，则_____． 【答案】 【解析】由， 平方可得， 所以. 【变式8-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）若，则________． 【答案】 【解析】由，则， . 【变式8-2】（24-25高一下·四川南充·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，将等式两边同时平方可得． 根据完全平方公式展开得． 因为，所以， 移项可得，则． 因为，且，所以与异号， 又因为在上，所以． ， 由于，， 则． 因为，，所以，那么． 根据立方差公式． 因为，，， 所以． 的值为．故选：C． 【变式8-3】（24-25高一下·安徽·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由两边取平方，可得，解得， 则.故选：B. 题型九 利用诱导公式化简求值 解｜题｜技｜巧 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【典例9】（24-25高一下·广东广州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 【变式9-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以，解得（负根舍去）， 可得，故B正确.故选：B 【变式9-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，且，则的值为______. 【答案】 【解析】，所以， 因为，所以 所以. 【变式9-3】（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上． (1)若角终边上一点P的横坐标为，求和； (2)求． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由题意可知：， 所以，. （2）由题意可知：， 所以. 题型十 求三角函数的定义域 解｜题｜技｜巧 正切函数的定义域为 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例10】（24-25高一下·北京海淀·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域满足，解得. 故函数定义域为故选：B. 【变式10-1】（24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为________. 【答案】 【解析】由题：，即， 由正弦函数的图像与性质得：， 故答案为：. 【变式10-2】（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为______. 【答案】 【解析】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 【变式10-3】（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域是______． 【答案】 【解析】要使函数有意义， 则，即， 可得， 所以函数的定义域为. 题型十一 求三角函数的值域 解｜题｜技｜巧 正（余）弦函数的值域或最值求法 （1）直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； （2）化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； （3）换元法： 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 【典例11】（24-25高一下·北京房山·期中）若函数的最小值为，则常数的一个取值为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为， 要想的最小值为， 需要同时成立， 由得到，， 不妨取，则，解得：， 取，得. 故答案为：（答案不唯一） 【变式11-1】（24-25高一下·山东烟台·期中）若函数在上的最小值为，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 因为， 要使得上的最小值为， 则满足，解得， 所以，所以的最大值为.故选：D. 【变式11-2】（25-26高一下·全国·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． ，．故选：B. 【变式11-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）设函数，，，则可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为，且， 所以为函数的最大值和最小值， 不妨设，即， 所以， 又，所以， 所以当时，，即可以是3，故选：A． 题型十二 三角函数的奇偶性及应用 解｜题｜技｜巧 与三角函数奇偶性相关的结论： 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例12】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故B不符合题意， 函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以是偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以是奇函数，故D符合题意．故选：D. 【变式12-1】（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则， 则（舍）或， 则，则， 若为偶数，则为偶函数， 若为奇数，则为偶函数； 综上，充分性成立； 若为偶函数，则，必要性成立； 故“”是“为偶函数”的充分必要条件.故选：C 【变式12-2】（24-25高一下·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是奇函数，则是偶函数， 所以，即， 故当时，，故选：A． 【变式12-3】（25-26高一下·河南驻马店·月考）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数， 则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以.故选：C. 题型十三 三角函数的周期性及应用 解｜题｜技｜巧 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解。 【典例13】（24-25高一下·北京海淀·期中）下列函数中，以为周期的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的周期为，A选项不正确； 的周期为，B选项不正确； 的周期为，C选项正确； 的周期为，D选项不正确；故选：C. 【变式13-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【解析】依题意，，因，则得.故选：B. 【变式13-2】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中周期不是π的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数的周期为，A不是； 对于B，函数的周期为，B是； 对于C，函数的周期为，C不是； 对于D，函数的周期为，D不是.故选：B 【变式13-3】（24-25高一下·辽宁·期中）在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为________. 【答案】 【解析】设函数，，， 其最小正周期分别，，，最小公倍数是， 所以的最小正周期为. 题型十四 三角函数的对称性及应用 解｜题｜技｜巧 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 【典例14】（24-25高一下·广东佛山·期中）函数图象的对称中心的坐标是________． 【答案】. 【解析】由函数，令，解得 所以函数图象的对称中心的坐标是. 【变式14-1】（25-26高一上·江西南昌·月考）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，解得， 则函数图象对称轴为， 结合选项得为函数图象的一条对称轴．故选：A 【变式14-2】（24-25高一下·重庆·月考）将函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以函数的对称中心是， 当时，函数的对称中心是.故选：B. 【变式14-3】（24-25高一下·广东·期中）已知函数，若，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意等价于， 所以或， 解得，或， 所以，， 故所求范围为. 题型十五 三角函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 1、求三角函数的单调区间： （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知三角函数的单调性求参数 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例15】（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数，，则的单调递减区间为_____. 【答案】 【解析】由在上单调递减，且， 根据正弦函数的性质时，单调递增， 所以的单调递减区间为. 【变式15-1】（25-26高一上·江苏常州·月考）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又， 所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误.故选：B. 【变式15-2】（24-25高一下·河南·期中）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．，是以为最小正周期，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故错误； B．是以为最小正周期，且在区间上单调递减，故错误； C．是以为最小正周期，且在区间上单调递增，故正确； D．是以为最小正周期，在处没有意义，故错误；故选：C． 【变式15-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知直线是函数图像的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线是函数图像的任意两条对称轴， 且的最小值为， 所以，即（），所以， 所以， 令，得， 所以函数的单调区间为.故选：D 题型十六 根据三角函数的性质求ω的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 【典例16】（24-25高一下·江西上饶·期中）已知函数在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 画出的图象，如图， 由图象得或，解得，或.故选：C 【变式16-1】（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又， ，，整理得， 又， ，，整理得，， 又，的最小值为4.故选：B 【变式16-2】（24-25高一下·北京西城·期中）已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有个不相等的实数根，则正整数的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 当时，， 因为关于的方程在区间上有且仅有个不相等的实数根， 则，即，故正整数的取值为.故选：C. 【变式16-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数的图象， ，， 函数在上没有零点， ，解得， ，令得，；令得， ， 的取值范围是.故选：B. 题型十七 三角恒等变换给角求值与给值求值 解｜题｜技｜巧 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． 【典例17】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，解得， 所以．故选：C 【变式17-1】（24-25高一下·广东茂名·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则，即， 由，则， 联立，解得， 所以.故选：C. 【变式17-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）对于角，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 由于，所以，则， 整理得，又，所以 所以，解得，故选：B. 【变式17-3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，，且，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以.故选：D. 题型十八 三角恒等变换给值求角 解｜题｜技｜巧 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【典例8】（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可知，，，且， 所以不妨设，则，，则 ，所以.故选：C 【变式18-1】（25-26高一下·湖北黄冈·月考）若，，并且、均为锐角且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， ，， ， ，， ， ， ． 【变式18-2】（24-25高一下·山东淄博·月考）（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确.故选: 【变式18-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，，均为锐角，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 所以． （2），则， 因为，所以，又， 所以，则， 所以 ，所以， 由，为锐角，所以，解得， 由，均为锐角，则， ， 所以． 题型十九 根据三角函数的图象求解析式 解｜题｜技｜巧 给出的图象的一部分，确定，，的方法： （1）第一零点法：如果从图象可直接确定和，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得）； （2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，，。这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式； （3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，在根据图象平移规律确定相关的参数。 【典例19】（24-25高一下·北京顺义·期中）已知函数（，）的图象如图所示，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】法一：因为函数的图象过点， 所以，即， 又，所以. 函数的图象过点，所以， 又由图可知，，所以，， 所以，解得. 法二：根据五点法可知，函数的图象过点，， 所以，即，故，故选：C. 【变式19-1】（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数的部分图像如图所示则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】由图知，则， 所以，则，，又，故， 所以.故选：C 【变式19-2】（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象可知，，，则， 且，得， 则，.故选：A 【变式19-3】（24-25高一下·贵州黔南·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】周期为，则，所以， 由，且在附近单调递减， 所以，解得 又因为，所以，则， 因为，可得，所以，故选：B. 题型二十 三角函数图像变换问题 解｜题｜技｜巧 1、振幅变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数（其中且）的图象，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、从到的两种变换途径 【典例20】（24-25高一下·广东佛山·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向左平移个单位长度， 得到，故选：B. 【变式20-1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线的函数解析式为， 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线．故选：D． 【变式20-2】（24-25高一下·辽宁·期中）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移3个单位 【答案】A 【解析】将函数的图象向左平移1个单位， 得到函数的图象，即的图象.故选：A 【变式20-3】（24-25高一下·北京房山·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 【答案】A 【解析】对于A，向左平移个单位长度得到， 再将横坐标变为原来的得到，故A正确； 对于B，向左平移个单位长度得到， 再将横坐标变为原来的2倍得到，故B错误； 对于C，向右平移个单位长度得到， 再将横坐标变为原来的得到，故C错误； 对于D，向右平移个单位长度得到， 再将横坐标变为原来的2倍得到，故D错误.故选：A 题型二十一 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 运用三角函数模型解决问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 【典例21】（24-25高一下·北京房山·期中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（    ） （参考数据，，，，．） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且天顶距，晷影长，得， 当晷影长度时，，所以.故选：B 【变式21-1】（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1) (2)该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【解析】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （2）由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 【变式21-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（    ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【答案】CD 【解析】函数中，，所以， 时，，解得，所以， 所以，故A错误； 令时，得，则， 解得，所以的最小值为分钟，即用时秒， 所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误； 由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确； 当点运动2秒时，即时，，故D正确；故选：CD 【变式21-3】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】(1)，；(2) (3)， 【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角满足，则角为（    ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】D 【解析】因，由可得, 则为第一象限角，即, 也即. 当时，,即为第一象限角； 当时，，即为第三象限角. 综上，角为第一或第三象限角.故选：D 2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，则，即， 因为，所以，则， 所以，则，故D正确； 由，解得，，故AC错误； 则，故B正确.故选：BD. 3．（24-25高一下·广东湛江·月考）函数的最小正周期为_______． 【答案】 【解析】函数的最小正周期为. 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知，则_____. 【答案】 【解析】由得，即， 所以， 所以. 5．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）设该扇形的半径为，弧长为， 则， 当且仅当时，等号成立， 此时该扇形的面积，， 其圆心角， 故所求圆心角． （2）由（1）知，． 又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积， 所以所求弓形的面积， 故所求弓形的面积是． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河北张家口·期中）设函数，若．则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知，， ，，，， ，，， 当且仅当或时（，），．故选：A． 2．（24-25高一下·重庆北碚·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因， 则， 显然，则， 则.故选：A 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）（多选）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【答案】ACD 【解析】在函数中，，则周期，所以A选项正确. 在函数中，初相，所以B选项错误. 对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离. 在函数中，， 则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确. 振子到达平衡位置时，，即，则（）. 解这个方程可得： ， 因为，当时，， 所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确.故选：ACD. 4．（24-25高一下·四川成都·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的一个对称中心为 D．的定义域为 【答案】AD 【解析】对A，由周期公式得，正确； 对B，由令，因为函数无单调递减区间，且函数为增函数， 所以无单调递减区间，错误； 对C，由，得， 所以的对称中心为，错误； 对D，由，得， 所以的定义域为，正确.故选：AD 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：B 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，则，则， 则.故选：D. 3．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知.故选：A 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01终边相同的角 题型02确定角所在的象限 题型03扇形的弧长与扇形面积公式 题型04利用三角函数的定义求值 题型05三角函数的符号判断 题型06 sina、cosa、tana知一求二 题型07正余弦齐次式的应用 题型08 sina·cosa、sina±cosa关系应用 题型09利用诱导公式化简求值 题型10求三角函数的定义域 题型11求三角函数的值域 题型12三角函数的奇偶性及应用 题型13三角函数的周期性及应用 题型14三角函数的对称性及应用 题型15三角函数的单调性及应用 题型16根据三角函数的性质求ω的取值范围 题型17三角恒等变换给角求值与给值求值 题型18三角恒等变换给值求角 题型19根据三角函数的图象求解析式 题型20三角函数图像变换问题 题型21三角函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与弧度制 1、能准确区分象限角、轴线角，写出终边相同角的集合； 2、能熟练进行弧度与角度的互化，计算弧长与扇形面积 基础必考点，多以选择题/填空题形式考查，难度较低。 常结合象限角判断、弧度制应用命题，易忽视角的终边位置范围 三角函数的定义 1、能根据任意角的定义求三角函数值； 2、能利用三角函数线解决简单的不等式或求值问题 高频基础点，小题为主。常结合坐标点求值、三角函数线的几何意义考查； 易错点：忽略三角函数值的符号判断 同角三角函数的基本关系 1、能熟练运用两个公式进行化简、求值； 2、能处理“知一求二”类问题 核心考点，选择/填空/解答题均可能出现。解答题中常与化简求值结合。 易错点：忽视的定义域、开方时符号判断错误 三角函数的诱导公式 1、能熟练运用诱导公式化简任意角的三角函数； 2、能利用诱导公式进行求值、证明，结合同角关系综合应用 高频考点，解答题常作为化简步骤考查。 易错点：诱导公式的符号记忆混乱、未先化简再求值 三角函数的图象与性质 1、能画出、、的图象，理解图象的对称性、变换规律； 2、能熟练求三种函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间； 3、能利用函数性质解决简单的不等式、参数求解问题 重中之重，小题、解答题均有考查，解答题常作为核心考点。常结合图象性质综合命题，对比考查三种函数的异同； 易错点：忽视正切函数的定义域、正弦/余弦函数单调性区间的开闭、周期计算错误；命题趋势为结合图象变换、性质应用考查数形结合思想 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1、能由图象求A、ω、φ的参数值； 2、能分析y=Asin(ωx+φ)的周期、值域、单调性、对称轴与对称中心； 3、能进行图象的平移、伸缩变换 高频重难点，解答题压轴或次压轴题常考。易错点：的求解忽视范围、图象变换顺序错误、对周期的影响混淆 知识点01 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制、弧长公式及扇形面积公式 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点02 三角函数的概念 1、三角函数的定义 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 2、同角三角函数基本关系 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （3）商数关系：＝tan α. （3）基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． ②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ③sin α＝tan αcos α. 知识点03 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 知识点04 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点05 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2、二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3、辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 知识点06 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 题型一 终边相同的角 解｜题｜技｜巧 1、牢记定义：所有与角α终边相同的角，都可以表示为角α加上360°（角度制）或2π（弧度制）的整数倍，本质是角的终边绕原点旋转整数个周角后位置不变。 2、规范书写集合： （1）角度制下，集合表示为{β|β=α+k・360°,k∈Z}； （2）弧度制下，集合表示为{β|β=α+2kπ,k∈Z}。 3、关键细节：必须标注角的单位（角度或弧度），不可遗漏k∈Z的限制（k为任意整数，包括正整数、负整数和0）；为使集合更简洁，需先将α化为标准范围内的角（0°≤α<360°或0≤α<2π） 【典例1】（24-25高一下·山东威海·期中）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·江西上饶·期中）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·江西·期中）已知角，角的终边与角的终边关于轴对称，则可能为（    ） A． B． C． D． 题型二 确定角所在的象限 解｜题｜技｜巧 1、已知角终边所在的象限，确定其他角终边所在的象限，常依据角的范围得到所求角的范围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉终边在坐标轴上的情况。 2、已知角所在象限，要确定所在象限，由两种方法： （1）用不等式表示出角的范围，然后对的取值分情况讨论：被整除，被除余1，被除余2，……，从而得出结论； （2）作出各个象限的从原点出发的等分射线，它们与坐标轴把周角分成个区域。从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这个区域以此循环标上1,2,3,4。标号为几的区域，就是根据角终边所在的象限确定角的终边所在的区域。如此，角所在的区域就可以由标号区域所在的象限直观的看出。 3、已知角终边所在的象限，确定终边所在的象限，可依据角的范围求出的范围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况。 【典例2】（24-25高一下·北京海淀·期中）角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（25-26高一上·天津河西·期末）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式2-2】（24-25高一下·辽宁锦州·期中）已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【变式2-3】（24-25高一下·陕西渭南·期中）（多选）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型三 扇形的弧长与扇形面积公式 解｜题｜技｜巧 1、设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 2、解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点： （1）熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要灵活运用公式求解或列方程（组）； （2）最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。 【典例3】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·湖北·期中）折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________． 【变式3-2】（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-3】（24-25高一下·辽宁大连·期中）（多选）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（    ） A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6 C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为 题型四 利用三角函数的定义求值 解｜题｜技｜巧 1、明确三角函数定义：设角α的终边与以原点为圆心、半径为的圆交于点，则（根号下恒为非负数，始终为正数），此时、、（）。 2、解题步骤：先确定角α终边上一点的坐标，若未给出具体点，可根据角的终边位置取特殊点（如单位圆上的点，，计算更简便）；再计算的值；最后代入三个三角函数的定义式，计算出具体数值。 3、关键细节：计算前需判断角α所在的象限，进而确定、的正负，最终确定三角函数值的正负。 【典例4】（24-25高一下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·广西贵港·期中）（多选）若，则角的终边经过的点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·北京·期中）已知角终边上一点，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 题型五 三角函数的符号判断 解｜题｜技｜巧 三角函数的符号如下图： 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 【典例5】（24-25高一下·甘肃武威·期中）“”是“角的终边落在第一或第二象限”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【变式5-1】（24-25高一下·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期中）已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】（25-26高一上·广东肇庆·月考）已知，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 题型六 sina、cosa、tana知一求二 解｜题｜技｜巧 1、核心依据：同角三角函数的基本关系，即sin²α+cos²α=1（恒成立，无定义域限制）和tanα=sinα/cosα（定义域限制：α≠π/2+kπ，k∈Z，即cosα≠0）。 2、解题步骤： 第一步，由已知的一个三角函数值，结合sin²α+cos²α=1，求出另一个三角函数值； 第二步，根据角α所在的象限，判断所求三角函数值的符号（开方时需确定正负，避免漏解）； 第三步，若需要求tanα，可利用tanα=sinα/cosα，代入已求出的sinα和cosα的值计算，注意此时需确保cosα≠0（若cosα=0，tanα 不存在）。 【典例6】（24-25高一下·北京西城·期中）已知，且是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·云南迪庆·期中）已知是第二象限角，，则_________. 【变式6-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知在第二象限，则的值为__________. 【变式6-3】（24-25高一下·北京西城·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型七 正余弦齐次式的应用 解｜题｜技｜巧 化切求值的方法技巧： （1）对分式齐次式，因为，一般可在分子和分母中同时除以，使所求代数式化为关于的代数式，从而得解； （2）对整式（一般是指关于）齐次式，把分母看为“1”，用替换“1”，从而把问题转化为分式齐次式，在分子和分母中同时除以，即可得到关于的代数式，从而得解。 【典例7】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则____，______． 【变式7-2】（24-25高一下·内蒙古包头·期中）若，则（    ） A． B． C．－4 D．4 【变式7-3】（24-25高一下·海南·期中）已知是第二象限角，， (1)求； (2)求． 题型八 sina±cosa、sina·cosa关系应用 解｜题｜技｜巧 ，，三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：。求解过程中需注意三角函数值的符号。 【典例8】（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，则_____． 【变式8-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）若，则________． 【变式8-2】（24-25高一下·四川南充·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一下·安徽·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 题型九 利用诱导公式化简求值 解｜题｜技｜巧 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【典例9】（24-25高一下·广东广州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，且，则的值为______. 【变式9-3】（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上． (1)若角终边上一点P的横坐标为，求和； (2)求． 题型十 求三角函数的定义域 解｜题｜技｜巧 正切函数的定义域为 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例10】（24-25高一下·北京海淀·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为________. 【变式10-2】（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为______. 【变式10-3】（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域是______． 题型十一 求三角函数的值域 解｜题｜技｜巧 正（余）弦函数的值域或最值求法 （1）直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； （2）化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； （3）换元法： 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 【典例11】（24-25高一下·北京房山·期中）若函数的最小值为，则常数的一个取值为________． 【变式11-1】（24-25高一下·山东烟台·期中）若函数在上的最小值为，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一下·全国·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）设函数，，，则可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十二 三角函数的奇偶性及应用 解｜题｜技｜巧 与三角函数奇偶性相关的结论： 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例12】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式12-2】（24-25高一下·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26高一下·河南驻马店·月考）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 题型十三 三角函数的周期性及应用 解｜题｜技｜巧 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解。 【典例13】（24-25高一下·北京海淀·期中）下列函数中，以为周期的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式13-2】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中周期不是π的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25高一下·辽宁·期中）在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为________. 题型十四 三角函数的对称性及应用 解｜题｜技｜巧 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 【典例14】（24-25高一下·广东佛山·期中）函数图象的对称中心的坐标是________． 【变式14-1】（25-26高一上·江西南昌·月考）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高一下·重庆·月考）将函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高一下·广东·期中）已知函数，若，且，则的取值范围为______． 题型十五 三角函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 1、求三角函数的单调区间： （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知三角函数的单调性求参数 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例15】（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数，，则的单调递减区间为_____. 【变式15-1】（25-26高一上·江苏常州·月考）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高一下·河南·期中）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知直线是函数图像的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型十六 根据三角函数的性质求ω的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 【典例16】（24-25高一下·江西上饶·期中）已知函数在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式16-2】（24-25高一下·北京西城·期中）已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有个不相等的实数根，则正整数的取值为（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十七 三角恒等变换给角求值与给值求值 解｜题｜技｜巧 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． 【典例17】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25高一下·广东茂名·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）对于角，满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，，且，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 题型十八 三角恒等变换给值求角 解｜题｜技｜巧 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【典例8】（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（25-26高一下·湖北黄冈·月考）若，，并且、均为锐角且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】（24-25高一下·山东淄博·月考）（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式18-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，，均为锐角，求． 题型十九 根据三角函数的图象求解析式 解｜题｜技｜巧 给出的图象的一部分，确定，，的方法： （1）第一零点法：如果从图象可直接确定和，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得）； （2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，，。这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式； （3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，在根据图象平移规律确定相关的参数。 【典例19】（24-25高一下·北京顺义·期中）已知函数（，）的图象如图所示，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式19-1】（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数的部分图像如图所示则（    ） A． B． C． D．0 【变式19-2】（24-25高一下·山东聊城·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式19-3】（24-25高一下·贵州黔南·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型二十 三角函数图像变换问题 解｜题｜技｜巧 1、振幅变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数（其中且）的图象，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、从到的两种变换途径 【典例20】（24-25高一下·广东佛山·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】（24-25高一下·辽宁·期中）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移3个单位 【变式20-3】（24-25高一下·北京房山·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 题型二十一 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 运用三角函数模型解决问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 【典例21】（24-25高一下·北京房山·期中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（    ） （参考数据，，，，．） A． B． C． D． 【变式21-1】（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【变式21-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（    ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【变式21-3】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角满足，则角为（    ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东湛江·月考）函数的最小正周期为_______． 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知，则_____. 5．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河北张家口·期中）设函数，若．则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆北碚·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）（多选）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 4．（24-25高一下·四川成都·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的一个对称中心为 D．的定义域为 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．0 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $