专题1.3 三角函数大题8大题型归纳（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题1.3 三角函数大题归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01三角函数的化简与求值 题型02三角函数值域或最值问题 题型03 三角函数零点问题 题型04 三角函数恒成立问题 题型05 三角函数存在性问题 题型06三角函数根的问题 题型07三角函数解不等式 题型08三角函数的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角恒等变换用于化简与求值 熟练识别公式结构，灵活选择变形路径；掌握角度配凑技巧；能根据角的范围准确判断符号 高一必考，多在解答题第一问出现，是后续求解函数性质的基础，难度中等偏下。 三角函数值域或最值问题 掌握统一化为单一三角函数的流程；能准确确定整体角的范围；熟练结合图象求最值 高一高频考点，常在解答题第二问出现，与辅助角公式结合紧密，需注意区间端点取值 三角函数零点问题 掌握解三角方程的通法；能结合图象分析零点分布；理解零点与方程解、图象交点的等价关系 中等难度，常与周期性、对称性结合，需注意定义域对零点个数的影响 恒成立与能成立问题 理解恒成立与最值的转化关系；能准确分离参数；熟练处理含参三角函数的临界值，分清“恒成立”与“存在性”的逻辑差异；能正确转化为最值的不等关系 难度较高，常作为压轴问出现，需结合函数图象和区间端点综合分析 根的问题 掌握数形结合思想；熟练处理复合函数的根的分布；能利用周期性总结根的规律 综合性强，对三角函数的周期性，对称性对根的情况的影响要熟悉。 解不等式 熟练画出正弦、余弦、正切函数图象；掌握解 型不等式的通法；注意周期性和定义域 中等难度，常在小题中出现，大题中作为中间步骤，需准确写出解集形式 三角函数的实际应用 能从实际问题中抽象出三角函数模型；理解振幅、周期、相位、初相的实际意义；能根据条件确定解析式 中等难度，主要注重数学建模素养，需结合实际问题背景理解参数含义 知识点01 三角恒等变换 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、二倍角公式 ①； ②； ③； 3、降幂公式 ； 4、辅助角公式 （其中）． 知识点02 三角函数的图形与性质 1、 正余弦、正切函数的单调区间 正弦函数：单调增区间，单调减区间 余弦函数：单调增区间，单调减区间 正切函数：单调增区间 2、正余弦、正切函数的对称性 对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 知识点03 恒成立与能成立问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有对恒成立问题而言，需要大于最大值，或小于最小值，问题转到求函数的最值问题。 所有存在性问题而言，需要小于最大值，或大于最小值，问题也转到求函数的最值问题。 题型一 三角函数的化简与求值 解｜题｜技｜巧 1、利用诱导公式处理角度，观察已知角与所求角的和、差、倍、半关系，将所求角用已知角表示，再代入公式展开。常见配凑如用已知角表示未知角。 2、齐次式的分式或者正余弦的二次式化成正切。遇到正切、余切时，化为正弦、余弦的比值形式，便于通分、合并或约分。 3、遇到正弦或余弦的平方时，优先用降幂公式转化为余弦的二倍角，实现降低次数、统一角度的双重效果。 4、将 或 视为整体，利用平方关系建立联系，避免分别计算。 5、辅助角公式的应用，提取系数后合并为 或，用于求最值、周期、单调区间。 求值的时候要注意角的象限。 【典例1】（25-26高一下·山西太原·开学考试）（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用正弦余弦齐次式求解即可； （2）利用平方关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意，解得. 所以 ； （2）因为，，则. 因为，故，则， 所以 . 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，化简． （2）证明：． 【答案】（1）0；（2）证明见解析 【详解】（1）由，得，， 所以 ． （2）证明：左边 右边． 所以． 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值； （2）已知均为锐角，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用诱导公式和同角三角函数关系求出的值，再根据两角差的余弦公式求解即可； （2）由，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）， 又是第二象限角，． ，且为第三象限角， ， （2）由，为锐角可得． 由和 可得． 于是 ． 【变式2】（25-26高一下·甘肃兰州·开学考试）（1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （2）利用诱导公式及平方关系求解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由是第三象限角，得， 则，而， 于是， 所以. 题型二 三角函数值域或最值问题 答｜题｜模｜板 1、三角函数求值域的方法： （1）利用诱导公式、三角恒等变换化简三角函数，若化简后是单一的三角函数，可以根据给定的定义域来求最值，注意最大值跟最小值是否在给定的区间内。 （2）若化简后的式子是关于三角函数的复合形式，则考虑需不需要换元来求最值，换元后要注意新的定义域。 （3）遇到与的时候，可以利用的关系进化互化，然后通过换元求最值 （4）遇到齐次式的分式可以化成正切求最值 2、根据最值求参数，题目给出是否有最值或者有几个最值来讨论参数，通常根据最值个数等情况来讨论周期，然后根据周期来讨论参数。 3、讨论定义域或值域中的参数。根据函数的单调性讨论定义域或值域中最值的取得位置来求参数 【典例1】（25-26高一上·广东广州·月考）已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后利用整体代换法可求对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 【典例2】（25-26高一下·浙江·开学考试）已知函数. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递增区间； (2)设，，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，进而由整体法求得单调递增区间. （2）首先化简得到的解析式，再由的范围求解值域. 【详解】（1）若的最小正周期为， 则，解得，， 函数的单调递增区间为，， 令，，解得，， 所以的单调递增区间是，. （2）时，，所以 ， 当时，，结合余弦函数的性质可得： 当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值， 所以函数在区间上的值域是. 【变式1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据条件，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. （2）由（1）得解析式，根据正弦函数的单调减区间，代入求解，即可得答案. （3）根据x的范围，可得，根据值域，分析可得的范围，即可得答案. 【详解】（1）由题意， 若，则， 则. （2）由（1）得， 令， 解得，即的单调递减区间为. （3）因为，所以， 因为的值域为， 所以，解得，则实数的取值范围为. 【变式2】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称中心； (3)当时，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再求最小正周期即可； （2）根据正弦函数的性质整体代换求解即可； （3）由题知，再结合正弦函数的图象性质求解即可. 【详解】（1）解： ， 所以函数的最小正周期为 （2）解：由（1）得， 令，解得， 所以函数图象的对称中心 （3）解：由（1）得， 当，， 所以，即， 所以，即时，的值域为. 题型三 三角函数零点问题 答｜题｜模｜板 1、零点的个数问题可以转化为根的个数问题。 函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点 2、对三角函数而言，在给定的区间内讨论零点个数问题，就要了解三角函数零点的位置。 【典例1】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知函数. (1)求在上的值域； (2)求在上的单调递减区间； (3)若，（）是在上的两个零点，求的值. 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数的性质即可求出函数的值域； （2）求出的单调递减区间，再结合给定的区间确定具体的单调递减区间即可； （3）先利用对称性求出，再利用换元表示出，计算可求出的值. 【详解】（1）化简得， 当时，， 当时，，取得最小值，， 当时，，取得最大值，， 故在上的值域为. （2）令，解得， 当时，，满足， 故在上的单调递减区间. （3）令，则， ，，， ， 设 ，则且， ， 则， 又， 且，又，， ，， . 【典例2】（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知函数的最小正周期为，最大值为. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）利用已知函数的性质求参数，再由正弦型函数的性质求对称中心； （2）经过变换得到解析式，将零点问题转化成交点问题求解. 【详解】（1）由，得 ，而，得. 所以由，得，而， 所以，则. 由解得，， 所以的对称中心为，. （2）将的图象向左平移个单位，得到函数 ，再将所得图象上各点 的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数. 由函数在区间上有两个不同的零点，即 在区间上有两个不同的交点. 而时单调递增，时单调递减， 且，， ，所以有. 【变式1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)求图象的对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)时，有零点，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由倍角公式及辅助角公式可得，再由正弦函数的性质，即可求解； （2）由正弦函数的性质，即可求解； （3）利用正弦函数的性质得时，的值域，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】（1）因为， 由，得到， 所以图象的对称中心为. （2）由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）当时，，，在上的图象如图所示， 因为有零点，令，得到，所以与有交点， 由图可知,. 【变式2】（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，其图象的相邻对称轴的距离为. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. （i）求函数在区间上的最值； （ii）若函数在上的零点从小到大依次为，求的值. 【答案】(1). (2)（i）；；（ii） 【分析】（1）根据相邻对称轴的距离求出最小正周期，进而求出，再根据正弦函数的单调性求解； （2）（i）根据平移规律得到，再根据正弦函数的性质求出其在给定区间的最值； （ii）根据零点的定义得到方程，利用正弦函数图像的对称性进行求解. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，所以； 所以， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 所以的单调递增区间为. （2）因为， （i）因为， 所以， 所以当，即时，； 当，即时，. （ii）令，即， 因为，所以； 令， 因为，所以； 所以在上有等解； 依据函数图象与性质得， 存在四个实数满足， 因为在R上的对称轴为， 所以， 所以 题型四 三角函数恒成立问题 答｜题｜模｜板 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有对恒成立问题而言，需要大于最大值，或小于最小值，问题转到求函数的最值问题。 【典例1】（2026高一下·吉林长春·专题练习）． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数a的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求a的取值范围． 【详解】（1）； （2） 时，，故． 即在上的值域为． （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数， 则 ， 令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以， 则； 令，，，， 由于，故，则， 因此， 当且仅当，即时取到等号， 所以.所以， 即实数的取值范围是. 【典例2】（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数，且的最小正周期为． (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据周期求出，结合正弦函数的性质求出对称中心； （2）利用参变分离，以及令，求出的最小值即可. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，得， ． 令，得，故其图象对称中心为． （2）， 所以可化为． 若，则，则， 由题意可得，对任意恒成立， 设，则， 则， 因为在上是增函数，所以当时，． 则， 故实数的取值范围是． 【变式1】（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)对，不等式恒成立，求t的取值范围； (2)对，不等式恒成立，求x的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出范围，再分离参数构造函数，利用换元法，结合单调性求出最小值即可. （2）函数可视为的一次型函数，由此建立不等式，再求解三角不等式即可. 【详解】（1）当时，，不等式 恒成立，令，函数在上单调递增， 则当时，，因此，， 所以t的取值范围是. （2）不等式， 令，显然函数是一次型函数， 由，恒成立，得， 即，解得，又， 因此，所以x的取值范围是. 【变式2】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，函数 (1)若相邻两条对称轴之间的距离为，求在上的单调递减区间； (2)若对任意恒成立，求最小值． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化为：，由周期性求出，得，再由余弦函数的单调性求解； （2）由在处取到最大值或者最小值进行求解． 【详解】（1） 若相邻两条对称轴之间的距离为， 则最小正周期 由解得． 的单调递减区间是 又分别取， 可得在上的单调递减区间为和． （2）若对任意的恒成立， 则在处取到最大值或者最小值， ， ， 时，. 题型五 三角函数存在性问题 答｜题｜模｜板 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有存在性问题而言，需要小于最大值，或大于最小值，问题转到求函数的最值问题。 【典例1】（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，． 求单调递减区间： 由，得， 求单调递增区间： 由，得． 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）由题意，当时，关于的不等式有解， 即不等式有解; 因为当时，，所以有解， 只需要即可． 而． 令，则在上单调递减， 所以当时，，即， 所以实数的取值范围为． 【典例2】（25-26高一上·山东德州·期末）已知函数，的最小正周期为π. (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. （i）若在区间上有且仅有1条对称轴，求的取值范围； （ii）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，，. (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由周期公式求出得到函数解析式，再通过正弦函数的单调区间不等式，解出的单调递增区间； （2）（i）先对进行平移和伸缩变换得到，再根据正弦函数对称轴的性质，结合区间内仅有条对称轴的条件，解出的取值范围；（ii）通过换元将原不等式转化为关于的二次函数，利用二次函数在区间上的最大值大于的条件，求出的取值范围. 【详解】（1）因为的最小正周期为π，所以，即， 所以. 根据题意得，解得， 所以单调递增区间为，. （2），将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数. （i）因为，则， 又在区间上有且仅有1条对称轴， 有，解得， 所以的取值范围是. （ii）因为不等式，在区间上有解. 即， 令，，则， 所以不等式变为在成立， 令，即研究在上最大值大于0， 则或者，解得或， 所以m的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若存在使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将整理成，由函数的图象关于直线对称得到，计算得到. （2）求出，，，由，得到的不等式，令，可得在上单调递减，从而求出的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）， 而， ， 函数的图象关于直线对称，， ， ， 即 因不恒为0，故需使，即. （2）， ， ， 故等价于（*）， ，， 故（*）即存在，使得成立， 令，， 函数和函数在上均单调递减， 在上单调递减，的最小值在处取得， 故，即的取值范围为. 【变式2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，其图象相邻对称中心间的距离为，且经过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且，求的值； (3)将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将图象上所有的点向左平移个单位得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用周期求，利用代入点坐标，结合，可求得； （2）利用同角公式求得，再用诱导公式即可求解； （3）先求出，法一：再利用换元法和分离参变量法来求参数范围，法二：也可以利用换元法和一元二次方程根的分布来求参数范围. 【详解】（1）因为图象相邻对称中心间的距离为，所以，则. 因为点在图象上，所以. 所以，解得， 因为，所以，所以. （2）由得， 因为，所以， 所以， 所以， 即. （3）将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）， 可得，再将图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的图象， 即：， 法1（分离参数）：令， 因为，所以，所以，即， 由存在，使得不等式成立， 即存在，使成立 由，所以 令，， （当且仅当时取得等号） 所以实数的取值范围是 法2（分类讨论）：令， 因为，所以，所以，即 由存在，使得不等式成立， 即存在，使成立 令，，对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， ，解得， 又，所以此时无解； ②当，即时， ，解得或， 所以； ③当，即时，在上单调递减， ，解得， 所以. 综上，实数的取值范围是. 题型六 三角函数根的问题 答｜题｜模｜板 1、求参问题有两种解决方法 参变分离：先分离参数，然后确定然后根据解的个数或者零点个数，以及函数的值域来决定参数的值。 交点个数：直接带参讨论函数图像（如参数跟斜率相关），根据交点个数来决定图像走势，从而决定参数范围。 2、在三角函数的根的问题中，需要找其根的对称问题。其可能关于三角函数的某个对称轴对称。 【典例1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据周期，求得值； （2）利用函数的平移变换求出，按的正负分情况讨论的取值范围，结合题意利用集合的包含关系列式求解即可. （3）分和讨论，再结合零点存在性定理证明即可；利用换元法转化为证明，对右边不等式转化为证明，结合即可证明. 【详解】（1） ， 因为的最小正周期为， 所以，解得； （2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得， 再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数， 当时，，则， 当，，则， 因为，使得成立， 当时，符合题意； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 综上所述，． （3）由题意设，其定义域为． ①当时，单调递增， 且，， 故存在，使得； ②当时，由，所以， 而，所以在恒成立，即此时函数无零点. 综上，存在唯一的，使得，且． 由题意可知，，因， 要证成立，只需证（*）， 令，则， 则（*）为，即证：， 又因，显然成立， 故（*）成立，也即得证. 【典例2】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）将的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在区间上的值域． (2)若，且关于的方程在区间内有两个根．求实数的取值范围，并求的值． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)，. 【分析】（1）（i）利用二倍角的正弦及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间；（ii）求出，再利用正弦函数性质求出指定区间上的值域. （2）构造函数并用辅助角公式化简，探讨函数性质，数形结合求出范围，借助正弦函数对称性及二倍角的余弦公式求出的值. 【详解】（1）（i）当时，函数， 由，得， 所以函数的单调递增区间为； （ii）， 当时，，，则， 所以在区间上的值域. （2）函数，由，得， 则，方程， 令函数，其中锐角由确定， 此时，当，即时，函数单调递增，函数值从增大到； 当，即时，函数单调递减，函数值从减小到； 当，即时，函数单调递增，函数值从增大到（不能取1）， 由方程在区间内有两个根，得，解得， 或，则或， 所以. 【变式1】（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)解不等式； (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过辅助角公式和二倍角公式将函数化为的结构，利用正弦函数的单调性求解； （2）将看作整体角，原不等式可转化为求解； （3）通过图象伸缩变换与平移变换得到的解析式，借助求解方程. 【详解】（1）因为， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）解不等式， 解得：，即， 所以不等式的解集为. （3）由题意可知， 令，则或， 解得或， 满足内的根有，当时，符合，符合， 所以所有符合的根之和为. 【变式2】（25-26高一上·天津·期末）已知函数的图象相邻两个对称轴间的距离为，且图象关于点对称． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，且，求； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据相邻两个对称轴间的距离为最小正周期的一半求函数的最小正周期，根据与的关系求，根据正弦函数的对称性求，再结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间； （2）由条件可得，由角的范围及同角关系求， 方法一：利用诱导公式求结论；方法二：利用两角差正弦公式求结论； （2）根据题意确定的解析式，从而得到解的个数，结合函数图象判断解的对称关系，即可求解. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以的最小正周期．可得． 又由函数关于点对称，令，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为的单调递增区间为， 令， 解得． 所以的单调增区间为． （2）因为，即，因为，所以， 又因为，所以，所以． 法一：所以． 法二： ； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 方程，可化为，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中， 即， ， 解得， ∴． 题型七 三角函数解不等式 答｜题｜模｜板 1、对解不等式问题，先令其不等号为等号，先解方程，求其交点。 2、对三角函数而言，其是周期性函数，所以解集要考虑周期性。 【典例1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数的最小正周期为π． (1)求函数的对称中心； (2)求函数的单调递减区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由函数最小正周期求得，从而求得函数解析式，由正弦函数对称中心求得函数的对称中心； （2）由正弦函数单调递减区间求得，函数的单调递减区间； （3）由正弦函数图象解不等式，即可求得结果. 【详解】（1）， ， ∵函数最小正周期，∴，即， ∴， 令，则， ∴函数的对称中心. （2）令，则， ∴函数的单调递减区间为. （3），即， ∴，∴， ∴， 不等式的解集为. 【典例2】（25-26高一上·新疆巴州·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可知，，，解得，根据对称性得到图像过，再代入计算即可求解析式； （2）令即可求单调递增区间； （3）先求得，再利用奇偶性、单调性及周期性解不等式即可． 【详解】（1）由图知，，， ，解得， 又过点，即，， ，解得， ，， ； （2）的单调递增区间为， ， 解得， 故的单调递增区间为； （3）函数与的图象关于对称， ， 则函数的最小正周期，且为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 的解集为． 【变式1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)和； (3). 【分析】（1）展开后再利用辅助角公式得，再根据正弦函数周期公式即可得到答案； （2）根据正弦函数单调增区间通式得到不等式组，解出后再对合理赋值即可； （3）根据正弦函数性质得，解出即可. 【详解】（1） 由，则， 因此． （2）由题意得，， 解得， 因此，的单调递增区间为． 结合，取和：当时，区间为，在内的部分是； 当时，区间为，在内的部分是． 故在上的单调递增区间为和． （3）不等式即． 令，解得， 因此，不等式的解集为． 【变式2】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数的最小正周期为，且对于任意实数，都有成立. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求使不等式成立的的取值集合. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）由最小正周期得，由恒成立得是最小值，进而待定系数求解即可； （2）根据正弦函数的单调递减区间整体代换求解即可； （3）由题知，再结合正弦函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）解：因为函数的最小正周期为， 所以，解得 因为对于任意实数x，都有成立，即是最小值， 所以，即， 所以，即， 因为，所以 所以 （2）解：令，，解得， 所以的单调递减区间为，. （3）解：，即， 所以， 因为的解集为 所以，令，解得， 所以不等式解集为 题型八 三角函数的应用 答｜题｜模｜板 四大常见类型 1. 几何高度/距离：已知两观测点角度，用tan列高方程，辅助线构造直角三角形 2. 旋转/周期性运动：如摩天轮、弹簧振动，设，：振幅，：角速度，：中心位置 3. 航海/方位角：画方向图，用 正弦/余弦定理 解三角形，注意：方向角以正北为0°顺时针计 4. 面积/长度最值：将目标量表为的函数，用有界性（|sin|≤1）求最值 【典例1】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 【答案】(1)； (2)4s 【分析】（1）根据最低点和最高点位置解方程组可得，再由周期性计算可得，的值； （2）令解不等式，由正弦函数单调性可得，可求出点P距离地面的高度不低于100米的时间. 【详解】（1）根据意义可知，即，解得； 因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以； 由点P的起始位置在最低点处，即可知时，， 即，可得，又，所以. （2）由（1）可知； 令，可得，即， 因此可得 由题意可得，所以， 因此或， 解得，所以； 即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米. 【典例2】（25-26高一上·河北石家庄·期末）如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ (3)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】(1)，. (2)100秒 (3)20 【分析】（1）由的最大值和最小值求出，再由周期求出，结合初始条件和相位范围确定，从而得到完整解析式。 （2）先求解的区间，计算一个个周期内盛水筒在水面下的时间，再结合总时长包含的周期数求出累计时间。 （3）由，化简可得或，即可求出的最小值. 【详解】（1）由图可知，的最大值为，的最小值为， 则，, 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以，所以，. （2）由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. （3）不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，， 故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得， 显然当时，取得最小值，最小值为, 综上，的最小值为20. 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（月份），以平均气温为y轴. (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)③ 【分析】（1）根据特殊角的正弦函数值画图象即可； （2）根据函数的图象，结合正弦型函数的周期和最值性质进行求解即可； （3）利用代入法逐一判断即可. 【详解】（1）如图. （2）最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故，所以. 因为的值等于最高气温与最低气温的差， 即，所以. （3）因为月份， 所以不妨取，. 代入①得，故①不适合. 代入②得，故②不适合. 代入③得，所以③最适合. 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃． (1)求出该地区该时段的温度函数的表达式； (2)2月28日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 【答案】(1) (2)学校后勤应该开空调． 【分析】（1）根据气温最值可列方程组求得，再由周期性以及可求得解析式； （2）将代入并与10比较大小可知应该开空调． 【详解】（1）由题意知，解得； 易知，所以，所以， 易知，即， 故，又，得， 所以． （2）当时， 所以届时学校后勤应该开空调． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【答案】(1) (2)；． (3) 【分析】（1）化简，，令，解不等式即可求解； （2）先求的范围，再利用整体法即可求出最大值和最小值； （3）由题可得，，利用结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1） 令， 解得， 的单调减区间是． （2），， 当，即时，； 当，即时，． （3）是第一象限角， 即 ， 2．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用诱导公式结合已知条件化简所求式，计算求解； （2）运用二倍角公式及结合已知条件化简所求式，再计算求解． 【详解】（1），， ． （2），， ． 3．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)时，有零点，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简成的形式，再根据正弦型函数的周期公式求出最小正周期. （2）根据正弦函数的单调性，求出的单调递增区间. （3）先求出时的值域，再根据有零点，即与的图象有交点，进而确定的取值范围. 【详解】（1） . 的最小正周期. （2）由（1）知，. 令，解得. 的单调递增区间为. （3）已知，则，那么. 当时，即时，取得最大值； 当时，即时，取得最小值. 所以的值域为. 因为有零点，即与的图象有交点. 所以的取值范围是. 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的对称性和时的解析式可求答案； （2）根据求出范围，结合对称性可求答案. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数， 令，则，所以, 即当时. （2）当时，即，所以；又函数是定义在上的偶函数, 综上不等式的解集. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 【答案】(1) (2)8.4米 【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合正弦型函数的周期公式、最值性质进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）设此三角函数模型是，根据题意可知周期. 所以，，， 所以， 又因为当时，d取得最大值， 所以， 所以可取， 所以. （2）10月4日15：00相当于，此时入口处水的深度（米）. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数 (1)求函数 在上的单调递增区间; (2)若函数在的值域为 求α的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）化简函数为，由，得到，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，根据题意，得到，结合正弦函数的性质，得到，即可求解. 【详解】（1）由函数 ， 因为，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上的单调递增区间为，. （2）由，可得， 因为函数的值域为，即， 当时，即时，； 当时，即时，， 要使得，根据正弦函数的性质，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 2．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. (1)求函数的解析式; (2)若是函数的一个零点，求的值； (3)若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，再由三角函数的图象变换，结合三角函数的性质，求得，得到，即可求得的解析式； （2）根据题意，转化为，得到，再由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，化简得到，代入即可求解； （3）令，根据题意，利用正弦函数的性质，转化为方程在上有2个不相等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 可得函数的最小正周期为，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为为偶函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数的解析式为. （2）解：因为是函数 的一个零点， 即，可得， 由（1）知，所以，即， 又由， 因为，所以. （3）解：由（1）知，因为，可得， 令，当时，有两个解；当或时，有一个解， 若方程在上有4个不相等的实数根， 即为关于的方程在上有2个不相等的实数根， 设，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数． (1)若点是角终边上一点，求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再代入求值即可； （2）利用诱导公式化简，结合一元二次函数求最值. 【详解】（1）若点在角的终边上，则，， ． （2）因为， 所以， 因为，所以， ∴当，即时，有最小值，最小值为1． 4．（25-26高一下·上海普陀·月考）已知，. (1)若函数是偶函数，求的值； (2)当时，求函数，的单调增区间； (3)令，若函数，的最大值为1，求的取值范围. 【答案】(1) (2)和. (3) 【分析】（1）正余弦函数的奇偶性得到，进而可求解； （2）由正弦函数的单调区间整体代入求解即可； （3）通过诱导公式及二倍角公式得到，再结合最大值为1，得到的范围内包含最大值点，进而求解即可. 【详解】（1）因为是偶函数， 可得：，， 又，取，可得； ​ （2）当 ​时，， 由， 得： ， 结合，取得，取得， 故单调增区间为和. （3） 当时，， 因为最大值为， 即区间内必须包含使得的点 又得：， 当，解得； 当，解得. 故的取值范围为. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，代入求值即可； （2）结合三角函数的单调性进行求解即可； （3）利用三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合方程进行求即可解． 【详解】（1）化简得， . （2）令，解得， 故函数的单调增区间为. （3）函数的图象向右平移个单位的图象， 即， 令，得， 或，， 解得或，， ，故当时，或， 即方程在区间上所有根之和为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数. (1)若，当时，求使成立的的取值集合； (2)若函数的最小值为，求实数的值； (3)对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，先求出，再根据余弦函数的图像与性质得到的集合； （2）利用二倍角公式将转化为关于的二次函数，通过换元法令，结合二次函数的性质，分情况讨论a的取值范围，进而求出a的值； （3）先求出在 的值域，再根据条件得到在上的最小值大于等于的最小值，进而求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，，由，得， ，得，解得. 所以的的取值集合为； （2）. 令，.设，. ①当时，，所以无解； ②当时，， 即，所以，或（舍去）. ③当时，，所以（舍去）； 综上所述，. （3）因为，， 得， 由已知，即任意，恒成立， ，即恒成立. 令，，代入得：， 令， 当且仅当，即时等号成立. 所以，，即， 所以的取值范围是. 2．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知定义在的函数，其中是自然对数的底数. (1)判断奇偶性，并说明理由； (2)判断单调性，不用说明理由； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)为增函数 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义判断即可. （2）根据复合函数的单调性或定义法证明单调性即可. （3）根据函数的奇偶性和单调性，结合分离参数法，将不等式转化为求函数值域问题求解即可. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数. （2）为增函数，理由如下： 方法一：因为单调递增，单调递增，所以单调递增. 方法二：任取，，设，则，所以， ， 即，所以为增函数. （3）由可得，， 因为为奇函数，所以不等式可化为， 又为增函数，所以，即. 不等式在上恒成立，只需在上恒成立. 令，故只需即可. . 令，则，. 因为在上单调递减，所以，即. 所以. 故实数的取值范围为. 3．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知函数，其中 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若图象的相邻两条对称轴之间的距离是， （i）当时，求函数的值域； （ii）若关于的方程在上有两个不同的根，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再结合三角函数的性质求解即可； （2）（i）先根据周期性求得，再整体代换求函数值域即可； （ii）根据题意，将问题转化为与在有两个交点，横坐标分别为且，进而作出函数图象，数形结合求解即可. 【详解】（1）解： ， 令，， 所以，当，， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得 又，所以的取值范围为 （2）解：因为图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 所以得最小正周期，即，解得， 所以 （i）当时，， 所以， 所以函数的值域为 （ii）因为，当时，, 所以，即，有最大值， 因为，， 所以在上的图象如图所示， 关于的方程在上有两个不同的根，且 所以与在有两个交点，横坐标分别为且 所以，根据图象，有，，且 所以 所以的取值范围为. 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先应用周期得出，再代入点计算求解即可得出解析式； （2）应用函数值域结合正弦函数性质得出即可求解； （3）先计算函数值，再把恒成立转化为最值类问题求解最值即可求解. 【详解】（1）由图可得，，则，结合，解得． 由，得，，即，. 因为，所以， 所以． （2）因为，所以． 不妨设，由题意可得，， 解得，， 所以， ．故的取值范围为． （3）因为，， ，， ，， 所以，． 由题意可得，即，解得． 故的取值范围为． 5．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，，（且），求的取值范围； (3)先将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有最大值，无最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质求解即可. （2）结合对数函数及正弦型函数的性质解不等式即可. （3）根据图象的平移求出，结合题意列不等式求解即可. 【详解】（1）， 所以． （2）设函数. 当时，， 所以在上的最大值为. 因为，，成立，所以． 当时，为减函数，，不符合题意． 当时，为增函数，则， 则，则，又，所以． 综上，a的取值范围为． （3）依题意得． 由，得． 因为，所以，， 因为在上有最大值，无最小值，所以，结合，解得． 所以的取值范围为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 三角函数大题归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01三角函数的化简与求值 题型02三角函数值域或最值问题 题型03 三角函数零点问题 题型04 三角函数恒成立问题 题型05 三角函数存在性问题 题型06三角函数根的问题 题型07三角函数解不等式 题型08三角函数的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角恒等变换用于化简与求值 熟练识别公式结构，灵活选择变形路径；掌握角度配凑技巧；能根据角的范围准确判断符号 高一必考，多在解答题第一问出现，是后续求解函数性质的基础，难度中等偏下。 三角函数值域或最值问题 掌握统一化为单一三角函数的流程；能准确确定整体角的范围；熟练结合图象求最值 高一高频考点，常在解答题第二问出现，与辅助角公式结合紧密，需注意区间端点取值 三角函数零点问题 掌握解三角方程的通法；能结合图象分析零点分布；理解零点与方程解、图象交点的等价关系 中等难度，常与周期性、对称性结合，需注意定义域对零点个数的影响 恒成立与能成立问题 理解恒成立与最值的转化关系；能准确分离参数；熟练处理含参三角函数的临界值，分清“恒成立”与“存在性”的逻辑差异；能正确转化为最值的不等关系 难度较高，常作为压轴问出现，需结合函数图象和区间端点综合分析 根的问题 掌握数形结合思想；熟练处理复合函数的根的分布；能利用周期性总结根的规律 综合性强，对三角函数的周期性，对称性对根的情况的影响要熟悉。 解不等式 熟练画出正弦、余弦、正切函数图象；掌握解 型不等式的通法；注意周期性和定义域 中等难度，常在小题中出现，大题中作为中间步骤，需准确写出解集形式 三角函数的实际应用 能从实际问题中抽象出三角函数模型；理解振幅、周期、相位、初相的实际意义；能根据条件确定解析式 中等难度，主要注重数学建模素养，需结合实际问题背景理解参数含义 知识点01 三角恒等变换 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、二倍角公式 ①； ②； ③； 3、降幂公式 ； 4、辅助角公式 （其中）． 知识点02 三角函数的图形与性质 1、 正余弦、正切函数的单调区间 正弦函数：单调增区间，单调减区间 余弦函数：单调增区间，单调减区间 正切函数：单调增区间 2、正余弦、正切函数的对称性 对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 知识点03 恒成立与能成立问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有对恒成立问题而言，需要大于最大值，或小于最小值，问题转到求函数的最值问题。 所有存在性问题而言，需要小于最大值，或大于最小值，问题也转到求函数的最值问题。 题型一 三角函数的化简与求值 解｜题｜技｜巧 1、利用诱导公式处理角度，观察已知角与所求角的和、差、倍、半关系，将所求角用已知角表示，再代入公式展开。常见配凑如用已知角表示未知角。 2、齐次式的分式或者正余弦的二次式化成正切。遇到正切、余切时，化为正弦、余弦的比值形式，便于通分、合并或约分。 3、遇到正弦或余弦的平方时，优先用降幂公式转化为余弦的二倍角，实现降低次数、统一角度的双重效果。 4、将 或 视为整体，利用平方关系建立联系，避免分别计算。 5、辅助角公式的应用，提取系数后合并为 或，用于求最值、周期、单调区间。 求值的时候要注意角的象限。 【典例1】（25-26高一下·山西太原·开学考试）（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，化简． （2）证明：． 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值； （2）已知均为锐角，求的值． 【变式2】（25-26高一下·甘肃兰州·开学考试）（1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 题型二 三角函数值域或最值问题 答｜题｜模｜板 1、三角函数求值域的方法： （1）利用诱导公式、三角恒等变换化简三角函数，若化简后是单一的三角函数，可以根据给定的定义域来求最值，注意最大值跟最小值是否在给定的区间内。 （2）若化简后的式子是关于三角函数的复合形式，则考虑需不需要换元来求最值，换元后要注意新的定义域。 （3）遇到与的时候，可以利用的关系进化互化，然后通过换元求最值 （4）遇到齐次式的分式可以化成正切求最值 2、根据最值求参数，题目给出是否有最值或者有几个最值来讨论参数，通常根据最值个数等情况来讨论周期，然后根据周期来讨论参数。 3、讨论定义域或值域中的参数。根据函数的单调性讨论定义域或值域中最值的取得位置来求参数 【典例1】（25-26高一上·广东广州·月考）已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 【典例2】（25-26高一下·浙江·开学考试）已知函数. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递增区间； (2)设，，求函数在区间上的值域. 【变式1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【变式2】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称中心； (3)当时，求的值域． 题型三 三角函数零点问题 答｜题｜模｜板 1、零点的个数问题可以转化为根的个数问题。 函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点 2、对三角函数而言，在给定的区间内讨论零点个数问题，就要了解三角函数零点的位置。 【典例1】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知函数. (1)求在上的值域； (2)求在上的单调递减区间； (3)若，（）是在上的两个零点，求的值. 【典例2】（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知函数的最小正周期为，最大值为. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)求图象的对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)时，有零点，求的范围． 【变式2】（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，其图象的相邻对称轴的距离为. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. （i）求函数在区间上的最值； （ii）若函数在上的零点从小到大依次为，求的值. 题型四 三角函数恒成立问题 答｜题｜模｜板 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有对恒成立问题而言，需要大于最大值，或小于最小值，问题转到求函数的最值问题。 【典例1】（2026高一下·吉林长春·专题练习）． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数a的最大值． 【典例2】（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数，且的最小正周期为． (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)对，不等式恒成立，求t的取值范围； (2)对，不等式恒成立，求x的取值范围. 【变式2】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，函数 (1)若相邻两条对称轴之间的距离为，求在上的单调递减区间； (2)若对任意恒成立，求最小值． 题型五 三角函数存在性问题 答｜题｜模｜板 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有存在性问题而言，需要小于最大值，或大于最小值，问题转到求函数的最值问题。 【典例1】（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【典例2】（25-26高一上·山东德州·期末）已知函数，的最小正周期为π. (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. （i）若在区间上有且仅有1条对称轴，求的取值范围； （ii）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若存在使得成立，求的取值范围. 【变式2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，其图象相邻对称中心间的距离为，且经过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且，求的值； (3)将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将图象上所有的点向左平移个单位得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 题型六 三角函数根的问题 答｜题｜模｜板 1、求参问题有两种解决方法 参变分离：先分离参数，然后确定然后根据解的个数或者零点个数，以及函数的值域来决定参数的值。 交点个数：直接带参讨论函数图像（如参数跟斜率相关），根据交点个数来决定图像走势，从而决定参数范围。 2、在三角函数的根的问题中，需要找其根的对称问题。其可能关于三角函数的某个对称轴对称。 【典例1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 【典例2】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）将的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在区间上的值域． (2)若，且关于的方程在区间内有两个根．求实数的取值范围，并求的值． 【变式1】（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)解不等式； (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和. 【变式2】（25-26高一上·天津·期末）已知函数的图象相邻两个对称轴间的距离为，且图象关于点对称． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，且，求； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 题型七 三角函数解不等式 答｜题｜模｜板 1、对解不等式问题，先令其不等号为等号，先解方程，求其交点。 2、对三角函数而言，其是周期性函数，所以解集要考虑周期性。 【典例1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数的最小正周期为π． (1)求函数的对称中心； (2)求函数的单调递减区间； (3)求不等式的解集． 【典例2】（25-26高一上·新疆巴州·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 【变式1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【变式2】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数的最小正周期为，且对于任意实数，都有成立. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求使不等式成立的的取值集合. 题型八 三角函数的应用 答｜题｜模｜板 四大常见类型 1. 几何高度/距离：已知两观测点角度，用tan列高方程，辅助线构造直角三角形 2. 旋转/周期性运动：如摩天轮、弹簧振动，设，：振幅，：角速度，：中心位置 3. 航海/方位角：画方向图，用 正弦/余弦定理 解三角形，注意：方向角以正北为0°顺时针计 4. 面积/长度最值：将目标量表为的函数，用有界性（|sin|≤1）求最值 【典例1】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 【典例2】（25-26高一上·河北石家庄·期末）如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ (3)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（月份），以平均气温为y轴. (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃． (1)求出该地区该时段的温度函数的表达式； (2)2月28日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 2．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 3．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)时，有零点，求的范围． 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求不等式的解集． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数 (1)求函数 在上的单调递增区间; (2)若函数在的值域为 求α的取值范围. 2．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. (1)求函数的解析式; (2)若是函数的一个零点，求的值； (3)若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数． (1)若点是角终边上一点，求的值； (2)若，求函数的最小值． 4．（25-26高一下·上海普陀·月考）已知，. (1)若函数是偶函数，求的值； (2)当时，求函数，的单调增区间； (3)令，若函数，的最大值为1，求的取值范围. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数. (1)若，当时，求使成立的的取值集合； (2)若函数的最小值为，求实数的值； (3)对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 2．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知定义在的函数，其中是自然对数的底数. (1)判断奇偶性，并说明理由； (2)判断单调性，不用说明理由； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 3．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知函数，其中 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若图象的相邻两条对称轴之间的距离是， （i）当时，求函数的值域； （ii）若关于的方程在上有两个不同的根，，，求的取值范围. 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得，求的取值范围． 5．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，，（且），求的取值范围； (3)先将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有最大值，无最小值，求的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $