第6章 专题课 利用导数研究不等式 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦导数应用，涵盖函数单调性、极值最值、恒成立与存在性问题及不等式证明。通过例题解析构建从导数计算到应用的学习支架，帮助学生逐步掌握导数工具的使用逻辑。 其亮点在于以多样题型为载体，通过构造函数（如第7题作差法证不等式）、逻辑推理（如第4题值域包含关系分析）和精确运算（如第8题求切线方程），培养数学思维与表达能力。学生能系统提升解题技能，教师可直接用于课堂练习与讲解，提高教学效率。

课后达标检测 1 √ 4 5 6 7 8 1 9 10 2 3 课后达标检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 3 课后达标检测 2．若关于x的不等式ax＜ex在x∈(0，1)上恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，e] B．(0，e] C．(1，e] D．[e，＋∞) √ 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 解析：设f(x)在[1，e]上的值域为A，g(x)在[－1，1]上的值域为B，则A⊆B； g′(x)＝(x＋2)ex，当x∈[－1，1]时，g′(x)＞0，所以g(x)在[－1，1]上单调递增，所以B＝[0，2e]；因为A⊆B，则当x∈[1，e]时，f(x)min≥0，f(x)max≤2e. 令x(ln x－a)≥0，对∀x∈[1，e]恒成立，则a≤ln x恒成立，即a≤(ln x)min＝0；当a≤0时，f′(x)＝ln x－a＋1＞0在[1，e]上恒成立，所以f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)max＝f(e)＝e(1－a)≤2e，解得a≥－1. 综上所述，－1≤a≤0. 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 5．若命题p：∀x∈[－1，1]，x3≥a－2x为假命题，则实数a的取值范围是______________． 解析：由题得¬p：∃x∈[－1，1]，x3<a－2x为真命题， 所以当x∈[－1，1]时，a>x3＋2x有解， 令f(x)＝x3＋2x，x∈[－1，1]， f′(x)＝3x2＋2>0， 所以f(x)在区间[－1，1]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝－3， 所以只需a>－3，即实数a的取值范围是(－3，＋∞). (－3，＋∞) 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 6．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是______________． (－1，＋∞) 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 所以当x＞1时，g(x)－f(x)＞0，即f(x)＜g(x). 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 8．(15分)已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a∈R). (1)求曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(5分) 解：因为f(x)＝x ln x(x>0)， 所以f′(x)＝ln x＋1， 所以切线的斜率k＝f′(e)＝2，f(e)＝e. 所以曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e. 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 所以当x＝1时，函数h(x)取得极小值也是最小值，即h(x)min＝h(1)＝4， 所以a≤4，即实数a的取值范围为(－∞，4]. 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 9．(15分)(2025·丹东期末)已知函数f(x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π). (1)求f(x)的单调区间和极小值；(7分) 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 (2)证明：当x∈[0，π)时，2f(x)≤ex＋e－x.(8分) 当且仅当x＝0时等号成立， 所以函数φ(x)在[0，π)上单调递增， 则φ(x)≥φ(0)＝0， 即F′(x)≥0，故F(x)在[0，π)上单调递增， 因此F(x)≥F(0)＝0，所以2f(x)≤ex＋e－x. 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 若k≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 若k＞0，则当x∈(0，k)时，f′(x)＜0， 当x∈(k，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(0，k)上单调递减，在(k，＋∞)上单调递增． 综上，当k≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当k＞0时，f(x)在(0，k)上单调递减，在(k，＋∞)上单调递增． 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 所以g(k)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以当k∈(0，1)时，g(k)＜0； 当k∈(1，＋∞)时，g(k)＞0.故k的取值范围为(0，1). 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 课后达标检测 解：函数f(x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)，求导得f′(x)＝－sin x＋sin x＋x cos x＝x cos x.当－π＜x＜－时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当－＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； $