第六章 导数及其应用（知识清单+5大易错点）数学人教B版选择性必修第三册

该高中数学导数及其应用单元知识清单系统涵盖导数概念、求导法则、单调性分析、极值与最值判定等核心内容，构建从基础概念到实际应用再到易错点突破的递进式学习支架。 清单以“知识点-易错点-练习题”三维架构呈现知识体系，如将“导数几何意义与切线斜率”关联标注，培养数学思维与表达能力。特别设计五大易错专题（如“导数为0与极值不等价”）及配套练习题，不同层次学生可高效突破难点，教师可据此精准教学，提升课堂实效。

第六章 导数及其应用 知识点 具体内容 函 数 的 平 均 变 化 率 及 导 数 的 几 何 意 义 一、平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度_______ （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的_______,即_______ 二、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限_______于点时,割线无限趋n近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的_______. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即_______. 三、导数 （1）平均变化率：把比值,即_______叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作_______或,即_______. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的_______,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在_______上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在_______处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个_______,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 基 本 初 等 函 数 的 导 数 及 求 导 法 则 一、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） _______ _______ _______ _______ 二、导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 _______ 乘法运算 除法运算 ，则_______ 三、复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为_______，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 导 数 与 函 数 的 单 调 性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 导 数 与 函 数 的 极 值 、 最 值 一、极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点_______其他点的函数值都小，且_______,而且在点附近的左侧_______,右侧_______,就把叫做函数的_______,叫做函数的_______. （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点_______其他点的函数值都大，且_______,而且在点附近的左侧_______,右侧_______，就把叫做函数的_______,叫做函数的_______. （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是_______; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是_______ 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的_______,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的_______. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的_______条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号_______. 二、函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条_______的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在_______区间上函数值的比较；函数的最值是函数在_______区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有_______个，但最大(小)值只能有_______个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是_______,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与_______处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 易错01函数的四则运算、复合函数求导错误 注意：进行导数四则运算时，要严格按照公式计算，乘积法则不能漏项，商法则注意分子顺序与符号。复合函数求导必须遵循链式法则，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数，不可跳过中间环节。计算时先拆解函数结构，分步求导并逐项检查，避免因粗心、跳步导致符号错误或漏导，确保每一步运算规范准确。 1．（多选）下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数为函数的导函数，则_________，________． 4．设函数，则______． 5．求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 易错02混淆两类切线的概念 注意：要区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”。在点处的切线，该点一定在曲线上，直接用导数求斜率即可；过点的切线，点不一定在曲线上，需先设切点，再联立方程求解。解题时先判断点是否在曲线上，再选用对应方法，避免直接代入导致斜率与切点不匹配，造成结果错误。 6．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（   ） A． B．3 C．4 D．8 7．曲线在点处的切线方程为__________. 8．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 9．曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 10．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 易错03对“导函数值正负”与“函数单调性”关系不清楚 注意：导数的符号直接决定原函数的单调性：f’(x)>0时函数递增，f’(x)<0时递减。二者是充分非必要关系，不可颠倒因果。判断图象趋势时，先确定导数符号，再对应函数升降，避免把导数增减与原函数增减混淆，时刻牢记“看导数符号定原函数升降”这一核心依据。 11．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 12．函数的单调递减区间为______． 13．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 15．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______. 易错04“导数为0”与“有极值”不等价 注意：导数为0是函数取得极值的必要条件，不是充分条件。f’(x0)=0时，只有左右两侧导数符号改变，该点才是极值点；若符号不变，则不是极值。判断极值时，不能只看导数为0，必须检验两侧符号变化，避免把驻点直接当作极值点，确保极值判定逻辑完整。 16．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 17．已知函数在处有极值，则（    ） A． B． C． D．或 18．已知函数在处取得极小值，则___________． 19．已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数. 20．已知函数， (1)当时，，求实数的最大值； (2)若在处有极小值，求实数的值． 易错05讨论单调性混淆 注意：讨论函数单调性必须先确定定义域，再求导并找导数零点，用临界点划分区间，逐段判断符号。含参数时要按参数取值分类讨论，做到不重不漏。不可跳过定义域直接求导，不可不分区间盲目判断，也不可遗漏参数情况。按固定步骤规范分析，保证思路清晰、条理分明，防止因混乱导致错解漏解。 21．已知函数. (1)若函数的导函数是奇函数，求的值； (2)求函数的单调区间. 22．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 23．已知函数. (1)讨论的单调性； 24．设函数． (1)当时，求证：直线是曲线的切线． (2)求的单调区间； 25．已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)求函数的单调区间． 1．求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3). 2．“函数在区间上单调递减”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象在点处的切线方程为__________. 4．过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 5．已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________． 6．已知函数的极大值点是，则实数（   ） A．0或 B．或 C． D． 7．函数在处取得极小值，则的值为________. 8．已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 9．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围. 10．已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 导数及其应用 知识点 具体内容 函 数 的 平 均 变 化 率 及 导 数 的 几 何 意 义 一、平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 二、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋n近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 三、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 基 本 初 等 函 数 的 导 数 及 求 导 法 则 一、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 二、导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则 三、复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 导 数 与 函 数 的 单 调 性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 导 数 与 函 数 的 极 值 、 最 值 一、极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧，就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号不同. 二、函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 易错01函数的四则运算、复合函数求导错误 注意：进行导数四则运算时，要严格按照公式计算，乘积法则不能漏项，商法则注意分子顺序与符号。复合函数求导必须遵循链式法则，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数，不可跳过中间环节。计算时先拆解函数结构，分步求导并逐项检查，避免因粗心、跳步导致符号错误或漏导，确保每一步运算规范准确。 1．（多选）下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A：，错误. 选项B：，错误. 选项C：，正确. 选项D：，正确. 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对函数求导得，令得，解得. 3．已知函数为函数的导函数，则_________，________． 【答案】 2 【详解】由求导法则及初等函数的导数知，， 所以. 4．设函数，则______． 【答案】 【详解】先对函数求导可得  ， 令，则 ， 所以，， 故. 5．求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. （4）因为， 所以. 易错02混淆两类切线的概念 注意：要区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”。在点处的切线，该点一定在曲线上，直接用导数求斜率即可；过点的切线，点不一定在曲线上，需先设切点，再联立方程求解。解题时先判断点是否在曲线上，再选用对应方法，避免直接代入导致斜率与切点不匹配，造成结果错误。 6．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以. 7．曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】，所以，根据导数的几何意义可知切线的斜率为， 由点斜式写出切线方程为：，整理得：. 8．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 9．曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【详解】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 10．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【详解】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 易错03对“导函数值正负”与“函数单调性”关系不清楚 注意：导数的符号直接决定原函数的单调性：f’(x)>0时函数递增，f’(x)<0时递减。二者是充分非必要关系，不可颠倒因果。判断图象趋势时，先确定导数符号，再对应函数升降，避免把导数增减与原函数增减混淆，时刻牢记“看导数符号定原函数升降”这一核心依据。 11．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】由题设，且， 若，则或， 所以函数的单调递增区间为，. 12．函数的单调递减区间为______． 【答案】 【详解】因为，，故， 令得，解得， 故的单调递减区间为． 13．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故实数a的取值范围为. 14．若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意可知：在区间内恒成立， 可得在区间内恒成立， 因为在区间内单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围为. 15．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题可知函数在上单调递增，则， 参变分离得到，令，. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 当时取最大值，所以. 即实数a的取值范围为. 易错04“导数为0”与“有极值”不等价 注意：导数为0是函数取得极值的必要条件，不是充分条件。f’(x0)=0时，只有左右两侧导数符号改变，该点才是极值点；若符号不变，则不是极值。判断极值时，不能只看导数为0，必须检验两侧符号变化，避免把驻点直接当作极值点，确保极值判定逻辑完整。 16．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对求导：， 因为恒成立，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此是的极小值点， ，​ 即函数极小值为. 17．已知函数在处有极值，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】， 因为函数在处有极值， 所以，解得或， 若，时， ，判别式， 所以是极值点，满足条件； 若，时， ，函数在处没有极值，不满足条件． 综上， 所以． 18．已知函数在处取得极小值，则___________． 【答案】1 【详解】由，则， 又在处取得极小值，则，解得或， 当时，， 则若时，，此时单调递增；若时，，此时单调递减， 此时在处取得极大值，不满足条件； 当时，， 则若时，，此时单调递减；若时，，此时单调递增， 此时在处取得极小值，满足条件． 综上所述，． 19．已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)1个 【分析】 【详解】（1），， 因为，， 所以在点处的切线方程，即； （2），定义域为， ，令得， 单调递增；单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由（2）得在上单调递增，， 又， 则；， 所以在上有一个极值点， 又由（2）得在上单调递减，，， 所以当时，，即该区间上没有零点， 所以在上无极值点， 综上所述，的极值点个数是1个． 20．已知函数， (1)当时，，求实数的最大值； (2)若在处有极小值，求实数的值． 【答案】(1)的最大值为； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域为， ，令，即，解得或， 当时，；当时，，因此在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为，所以的最大值为. （2）函数 ，定义域 ， ，由在处有极小值，得，即，解得或， 当，，令，解得或，当时，；当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极小值，符合题意； 当，，令，解得或，当时，；当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极大值，在处有极小值，不符合题意； 综上所述，.nn 易错05讨论单调性混淆 注意：讨论函数单调性必须先确定定义域，再求导并找导数零点，用临界点划分区间，逐段判断符号。含参数时要按参数取值分类讨论，做到不重不漏。不可跳过定义域直接求导，不可不分区间盲目判断，也不可遗漏参数情况。按固定步骤规范分析，保证思路清晰、条理分明，防止因混乱导致错解漏解。 21．已知函数. (1)若函数的导函数是奇函数，求的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，由已知得， 因为函数的导函数是奇函数， 所以，即， 解得； （2）由（1）得，. ①当时，可得恒成立，所以当时，函数在上单调递减， ②当时，由得，即， 所以，解得，所以函数在上单调递增， 由可得，即，解得， 所以函数在上单调递减， 所以时，函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 22．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若的极大值大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为． 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）得当或时，无极大值． 当时，的极大值为， 则，得． 设，则， 所以在上单调递增． 因为，所以由，得，所以． 当时，的极大值为，则， 解得，因为，所以，则满足题意． 综上，的取值范围是． 23．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在小于0的极小值，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，且 ①当时，则，所以在区间上单调递增； ②当时，，令，可得， 时，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）可知若在区间上单调递增，没有极值点， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取得极小值， 则，即. 令，由可得，是单调递增函数， 因为，所以，即的取值范围为. 24．设函数． (1)当时，求证：直线是曲线的切线． (2)求的单调区间； 【答案】(1)详见解析； (2)当时， 的单调递减区间为， 的单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为， 的单调递增区间为； 【分析】 【详解】（1）当时，函数 ， 则， 设切点为，令， 即，解得或（舍去）， 又，则切线方程为，即； （2）， 由题知，，则， 所以的符号完全由x确定， 时，定义域为， 故时，，单调递增，当，，单调递减； 时，定义域为， 故时，，单调递增，当，，单调递减； 综上：当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为； 25．已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) 最小值，最大值. (2)时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 【分析】 【详解】（1）若，则，. 令，则. 当，则，当，则. 因此在上单调递减，在上单调递增，则最小值为. 因为，所以最大值为. （2）对求导得. 由于恒成立，的符号由决定，分类讨论如下： 当时：恒成立，因此的单调递减区间为，无单调递增区间. 当时：令，解得.时，，单调递减； 时，，单调递增. 当时，同理解得，时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 1．求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）方法一： . 方法二： 因为， 所以. 2．“函数在区间上单调递减”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由得： ， 因为恒成立，因此在上单调递减等价于对成立， 即在上恒成立. 令，这是开口向上、对称轴为的二次函数，在区间上单调递增， 因此最大值为，所以. 命题：在单调递减 ；命题：. 若，必有，即，充分性成立； 若，推不出（例如满足不满足），即，必要性不成立. 因此“在单调递减”是“”的充分不必要条件. 3．函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】由，得， ，得， 故所求切线方程为，即. 4．过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 5．已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【详解】因为，且，都有， 不妨设，则可得，即， 因此可得在上单调递增， 所以对所有恒成立， 由，解得， 故实数m的取值范围为． 6．已知函数的极大值点是，则实数（   ） A．0或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】. 由题意知，，即，解得或. 当时，， 则时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 所以在处取得极大值，则为极大值点，满足题意. 当时，， 则时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 所以在处取得极小值，则为极小值点，不满足题意. 综上，实数. 7．函数在处取得极小值，则的值为________. 【答案】2 【详解】函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，是常数函数，不存在极值； 当时，，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点， 所以. 8．已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】 【详解】（1）由已知，，定义域为， 则， 因为曲线在处与直线垂直， 所以切线的斜率为1，即， 所以，解得，此时， 故所求的切线方程为． （2）由（1）得，， ①当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，，函数单调递增； 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． ②当时，则， 所以函数在定义域上单调递增，此时没有极值点，故无极值． ③当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． 综上，当时，的极大值是，极小值是； 当时，没有极值； 当时，的极大值是，极小值是． 9．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为；极小值为1，无极大值； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 所以函数的递减区间为，递增区间为，在取得极小值，无极大值. （2）函数的定义域为， 由函数在上单调递增，得， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以实数a的取值范围是. 10．已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)是的极小值点，极小值为 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】 【详解】（1）当时，，其定义域为， 求导，得， 令，即， 因为，所以，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，极小值为. （2）的定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，， 在上，，所以在上单调递减， 在上，，所以在上单调递增， 综上所述， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $