6.3 利用导数解决实际问题（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“利用导数解决实际问题”，通过经济生活中利润最大、用料最少等最优化问题导入，衔接导数求最值知识，搭建从实际问题到数学建模的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合成本最低、面积容积最值、利润最大等实例，引导学生用数学眼光抽象函数模型，用数学思维分析导数单调性求最值，用数学语言表达建模过程。小结明确建模和解模步骤，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

6．3　利用导数解决实际问题 1 新课导入 学习目标 　　在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最小等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．因为利用导数可以求得最值，所以利用导数可以解决最优化问题，下面我们通过实例学习． 1.了解导数在解决实际问题中的作用． 2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的最优化问题的方法． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 返回导航 返回导航 (2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 因为f′(26)＝0且当x>26时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 当0<x<26时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 返回导航 成本最低、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 返回导航 [跟踪训练1] 如图，工厂A到铁路专用线的距离AB＝20 km，在铁路专用线上距离B 100 km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路(向着A)，为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？(已知每千米的铁路运费是公路运费的60%) 返回导航 当0≤x<15时，y′<0，则函数y单调递减；当15<x≤100时，y′>0，则函数y单调递增，即当x＝15时， 返回导航 二　面积、容积的最值问题 [例2] (对接教材例2)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3 m，AD＝2 m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？ 返回导航 返回导航 (2)当AN的长是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积． 令S′＝0，得x＝4， 当2<x<4时，S′<0，则函数S单调递减； 当x>4时，S′>0，则函数S单调递增， 所以当x＝4时，S取极小值，且为最小值， 即AN的长为4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小为24 m2. 返回导航 解决面积、容积的最值问题的方法 解决面积、容积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 注意　(1)在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的． (2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． 返回导航 [跟踪训练2] 如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图1.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图2.则这个容器的容积的最大值为________． 返回导航 返回导航 返回导航 【解】　当0<x<15时，f(x)＝20x－10－[12x－12ln (x＋1)]＝8x＋12ln (x＋1)－10， 返回导航 (2)当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？(参考数据：ln 2≈0.69) 所以f(x)在区间(0，15)上单调递增， 所以f(x)<f(15)＝8×15＋12ln 16－10＝110＋48ln 2≈143.12， 因为156>143.12，所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元． 返回导航 用导数解决利润(收益)最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润(收益)的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润(收益)，常见的基本等量关系如下： (1)利润(收益)＝收入－成本． (2)利润(收益)＝每件产品的利润(收益)×销售量． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 23 √ 返回导航 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 40 返回导航 4．(教材P107T3改编)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆的面积之和最小？ 返回导航 返回导航 1．已学习：成本最低、用料最省问题，面积、容积的最值问题及利润最大问题． 2．须贯通：(1)建模：分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即建立函数关系y＝f(x)； (2)解模：把数学问题化归为求最值问题，常用方法是导数法或基本不等式法． 3．应注意：要从问题的实际意义去考虑，舍去没有实际意义的自变量的取值范围． 返回导航 【解】　当m＝640时，y＝f(x)＝640×＋1 024， f′(x)＝640×(－＋)＝640×， $