6.3 利用导数解决实际问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“利用导数解决实际问题”，通过几何最值、费用最少、利润最大等典型案例导入，以“案例研析-通性通法总结-跟踪训练巩固”为支架，衔接导数应用与实际问题，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入数学建模、数学运算核心素养，如通过正方形铁板截小正方形建容积函数（建模），输油管道费用求导找极值（运算）。采用“问题情境-函数构建-导数求解”教学方法，学生能提升实际问题解决能力，教师可直接使用系统案例与训练，提高教学效率。

6.3　利用导数解决实际问题 1 能够利用导数解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 典例研析 01 目录 课时作业 02 3 01 PART 典例研析 目 录 题型一｜几何中的最值问题 【例1】　有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相 同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大，截下的 小正方形边长应为多少？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：设截下的小正方形边长为x，容器容积为V（x），则做成的长方体形 无盖容器底面边长为a－2x，高为x， V（x）＝（a－2x）2x，0＜x＜ . 即V（x）＝4x3－4ax2＋a2x，0＜x＜ . 实际问题归结为求V（x）在区间 上的最大值点.为此，先求V （x）的极值点. 在开区间 内， V'（x）＝12x2－8ax＋a2. 令V'（x）＝0，得12x2－8ax＋a2＝0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解得x1＝ a，x2＝ a（舍去）. 当0＜x＜x1时，V'（x）＞0； 当x1＜x＜ 时，V'（x）＜0. 因此x1是极大值点，且在区间 内，x1是唯一的极值点，所以x＝ a 是V（x）的最大值点. 即当截下的小正方形边长为 a时，容积最大. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出 实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）； （2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大 （小）值； （4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 几何中最值问题的求解思路 面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时 先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求 最值的方法求解，最后检验. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　如图，在半径为4 m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材 料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮 OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损 耗），设矩形的边长AB＝x m，圆柱的体积为V m3. （1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域； 解：在Rt△OAB中，因为AB＝x m，所以OA＝ m. 设圆柱的底面半径为r，则 ＝2πr，即16－x2＝4π2r2， 所以V＝πr2x＝ ，定义域为{x｜0＜x＜4}. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是 多少？ 解： 由（1）得V＝πr2x＝ ，0＜x＜4， V'（x）＝ ， 令V'（x）＝0，则 ＝0，解得x＝ ， 当0＜x＜ 时，V'（x）＞0，当 ＜x＜4时，V'（x）＜0， 所以V（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，4）上单调递减. 当x＝ 时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是V（ ）＝ ＝ m3. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜用料、费用最少问题 【例2】　某地需要修建一条大型输油管道，其通过120公里宽的沙漠地 带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建 好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预 算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增 压站之间的输油管道费用为（x2＋x）万元.设余下工程的总费用为y万元. （1）试将y表示成关于x的函数； 解：依题意可知余下工程有 段管道，有 个增压站，故余下工程的总费用为y＝（x2＋x）· ＋400· ＝120x＋ －280， 所以将y表示成关于x的函数为y＝120x＋ －280（0＜x＜120）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？ 解： 由（1）知y＝120x＋ －280（0＜x＜120），有y'＝120－ ，令y'＝0，解得x＝20， y，y'随x的变化情况如表： x （0，20） 20 （20，120） y' － 0 ＋ y 单调递减 极小值 单调递增 由表易知，函数y在x＝20时取得最小值，此时 －1＝5，故需要修建5个 增压站才能使总费用y最小. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　用料、费用最少问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要 明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准 确求导，结合实际作答. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米.余下工程只需建两 端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离 为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋ ）x万元.假设桥墩等距 离分布，所有桥墩在桥面距离计算中都视为点，且不考虑其他因素.记余 下工程的费用为y万元. （1）试写出y关于x的函数关系式； 解： 设需要新建n个桥墩，则（n＋1）x＝m，即n＝ －1，所以y ＝f（x）＝256n＋（n＋1）（2＋ ）x＝256 ＋ （2＋ ）x ＝ ＋m ＋2m－256（0＜x≤m）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 解： 对（1）中函数f（x）求导得，f'（x）＝－ ＋ m ＝ （ －512）＝ （ －512）（0＜x≤640）. 令f'（x）＝0，解得 ＝512，即x＝64. 当0＜x＜64时，f'（x）＜0，f（x）在区间（0，64）上为减函数； 当64＜x≤640时，f'（x）＞0，f（x）在区间（64，640]上为增函数. 所以f（x）在x＝64时取得极小值，也是最小值，此时n＝ －1＝ －1 ＝9. 故需新建9个桥墩才能使y最小. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜利润最大问题 【例3】　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单 位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝ ＋10（x－ 6）2.其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该 商品11千克. （1）求a的值； 解： 因为x＝5时，y＝11， 所以 ＋10＝11，解得a＝2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大. 解： 由（1）可知，该商品每日的销售量 y＝ ＋10（x－6）2， 设商场每日销售该商品所获得的利润为f（x），则 f（x）＝（x－3） ＝2＋10（x－3）·（x－6）2，3 ＜x＜6. 从而f'（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）] ＝30（x－4）（x－6）. 令f'（x）＝0，解得x＝4或x＝6（舍去）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （3，4） 4 （4，6） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最 大值点.所以当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为 自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产 活动. 2. 关于利润问题常用的两个等量关系 （1）利润＝收入－成本； （2）利润＝每件产品的利润×销售件数. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生 产出一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与 日产量x的函数关系是p＝ （x∈N＋）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （1）写出该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数关系式； 解：由题意可知，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x（1－p）. 因为次品率p＝ ，当每天生产x件时， 有x· 件次品，有x 件正品. 所以T＝200x －100x· ＝25· （x∈N＋）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解： T'＝－25· ， 由T'＝0得x＝16或x＝－32（舍去）. 当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0；所以当x＝16时，T取极大值 且为最大值.即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 （　　） A. 10 B. 15 C. 25 D. 50 解析： 　如图，设PN＝x，PQ＝2y，则x2＋y2＝25，S ＝2xy，S2＝4x2y2＝4x2（25－x2）＝100x2－4x4，设t＝ x2，则S2＝100t－4t2，（S2）'＝100－8t.知当t＝ 时，S2的最大值＝252，即S的最大值为25. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p －p2.则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（　　） A. 30 元 B. 60 元 C. 28 000 元 D. 23 000 元 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设毛利润为L（p），由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－ 20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30或 p＝－130（舍去）.此时，L（30）＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L' （p）＞0，右侧L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意 义知，L（30）是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建 造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建 造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层 厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝ （0≤x≤10），若不建隔 热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的 能源消耗费用之和. （1）求k的值及f（x）的表达式； 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解： 设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝ ，再由C（0）＝8，得k＝40， 因此C（x）＝ . 而建造费用为C1（x）＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20× ＋6x ＝ ＋6x（0≤x≤10）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值. 解： f'（x）＝6－ ， 令f'（x）＝0，即 ＝6， 解得x＝5或x＝－ （舍去）. 当0＜x＜5时，f'（x）＜0，当5＜x＜10时，f'（x）＞0， 故x＝5是f（x）的极小值点，同时为最小值点，对应的最小值为f（5） ＝6×5＋ ＝70. 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 02 PART 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件） 的函数关系式为y＝－ x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的 年产量为（　　） A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件 解析： 　y'＝－x2＋81，令y'＝0，解得x＝9或x＝－9（舍去），当0＜x ＜9时，y'＞0；当x＞9时，y'＜0. 所以当x＝9时，y取得极大值同时为最 大值. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 （　　） A. 6 m B. 8 m C. 4 m D. 2 m 解析： 　设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝ .所 用材料的面积设为S m2，则有S＝4xh＋x2＝4x· ＋x2＝ ＋x2，S'＝ 2x－ ，令S'＝0，得x＝8，因此h＝ ＝4（m）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“知名 品牌”A系列进行市场销售量调研，通过对该系列的调研得知，A系列每日 的销售量f（x）（单位：千克）与销售价格x（单位：百元/千克）近似满 足关系式f（x）＝ ＋2（x－7）2，其中4＜x＜7，a为常数.已知销售 价格为6百元/千克时，每日可售出A系列3千克.若A系列的成本为4百元/千 克，则该商场每日销售A系列所获最大利润（单位：百元）为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意f（6）＝3，即3＝ ＋2，故a＝2，利润y＝f（x）（x －4）＝2＋2（x－7）2（x－4），y'＝2[（2x－14）（x－4）＋（x－ 7）2]＝6（x－7）（x－5），则y在（4，5）上单调递增，在（5，7）上 单调递减，故ymax＝2＋2×4＝10（百元），故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一 款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征 五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）和圆柱形，由两个半 罩组成.某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成 的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱的高的比 为1∶3，则该模型的体积最大值为（　　） A. 40 π B. 80 π C. 160 π D. 180 π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，底面圆半径为r＝ ，则该模型的体积V＝πr2·3h＋ πr2·h＝ h（36－h2）π.令f （x）＝－x3＋36x，则f'（x）＝－3x2＋36，由f'（x）＝0得x＝±2 ， 当0＜x＜2 时，f'（x）＞0，当x＞2 时，f'（x）＜0，则f（x）在 （0，2 ）上单调递增，在（2 ，＋∞）上单调递减，当h＝2 时， Vmax＝160 π，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度 为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为（　　） A. 25 km/h B. 20 km/h C. 15 km/h D. 30 km/h 解析： 　因为轮船航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，可 设比例系数为k（k＞0），则6＝k·103，求得k＝ ，所以航行每千米的 总费用为y＝ · ，利用导数可求得当y取最小值时v＝20. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格P（元/吨）与产量x （吨）之间的关系式为P＝24 200－ x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋ 200x（元），为使利润最大，则产量应为（　　） A. 200吨 B. 20吨 C. 150吨 D. 100吨 解析： 　利润L＝P·x－R＝ x－50 000－200x＝－ x3＋ 24 000x－50 000（x＞0），L'＝－ x2＋24 000，令L'＝0，得x2＝40 000. 所以x＝200.经检验，当x＝200时利润最大. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的 毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的 组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1. 现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的 圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2＋h（0＜h ＜2），则r2＋（ ）2＝1，r2＝1－ ，∴中空圆柱的体积V ＝πr2（2＋h）＝π（1－ ）（2＋h）.V'＝－π（ h2＋h－ 1），可得当h∈（0， ）时，V'＞0，当h∈（ ，2）时， V'＜0，则当h＝ 时，V取得最大值 π，又毛坯的体积为π×12×2＋ π×13＝ ，∴该模具体积的最小值为 － π＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 某厂生产某种产品x件的总成本C（x）＝1 200＋ x3，又产品单价的 平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最 大时，产量应定为 件. 解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x ＝k，由题知k＝502×100＝250 000，所以a＝ .总利润y＝500 － x3－1 200（x＞0），y'＝ － x2，由y'＝0，得x＝25，x∈（0，25） 时，y'＞0，x∈（25，＋∞）时，y'＜0，所以x＝25时，y取极大值且为最 大值. 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 某游泳馆计划对泳池进行检修.已知泳池深度为2 m，其容积为2 500 m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的一侧较短池壁长 度为x，且据估计两侧较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系 数为 k（k＞0），较长的池壁总维修费用满足代数式 ，则当泳池 的维修费用最低时，x的值为 ⁠. 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：由题可知池底面积为 ＝1 250为定值，即池底维修费用为定值， 则泳池维修费用由池壁维修费用决定.又x表示一侧较短池壁长，则0＜x ＜ ⇒0＜x＜25 ，则池壁维修费用表达式为2× x＋ .设f （x）＝ x＋ ，0＜x＜25 ，则f'（x）＝ － ＝ ，令f'（x）＝0⇒x＝25，则f'（x）＞0⇒25＜x＜25 ，f' （x）＜0⇒0＜x＜25，得f（x）在（0，25）上单调递减，在（25， 25 ）上单调递增，即f（x）min＝f（25）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）与行驶速 度x（千米/小时）之间的关系为y＝ x3－ x＋8（0＜x＜120）. （1）当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ 解： 当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要 ＝ （小时）， 要耗油（ ×643－ ×64＋8）× ＝11.95（升）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解： 设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得， × ＝22.5， ∴a＝ ， 设h（x）＝ x2＋ － ， 则当h（x）最小时，a取最大值， h'（x）＝ x－ ＝ ， 令h'（x）＝0，解得x＝80， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减； 当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增， ∴当x＝80时，h（x）取得极小值同时为最小值， 此时a取最大值为a＝ ＝200. 故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角 形△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的部分折成一个正四棱 锥P-EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1重合，H与H1重合， 点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH体积的最大值 为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　根据题意，PG是侧棱，底面 EFGH的对角线的一半是GC，设GC＝ x，则有PG2＝（10－x）2＋102，OF ＝OG＝x，设四棱锥的高为h，则h2＝ PG2－OG2＝200－20x，底面正方形 EFGH的面积S＝4×S△OFG＝2x2，∴ 正四棱锥P-EFGH的体积V＝ x2 .令t＝ ，则x＝ ，0≤t2＜200，则V＝ （ ）2t，V'＝ （t2－200）（5t2－200），当40＜t2＜200时，V'＜0，V单调递减；当0≤t2＜40 时，V单调递增，∴当t2＝40 时，V取最大值，∴Vmax＝ （ ）2× ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 某银行贷款年利率为r（r＞0），按月计息利率为 ，小王计划向银 行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一 期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额 （本金、利息之和）分别为a，b，则a，b的大小关系是 ⁠. a＜b　 解析：按年计息：a＝p（1＋r）（r＞0），按月计息：b＝p （r＞0），则a－b＝p（1＋r）－p ＝p .令f（r）＝p［（1＋r）－ ］（r＞0），f'（r） ＝p ＜0，所以f（r）＜f（0）＝0，故a＜b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p＝ （c为常数，且0＜c＜6）.已知每生产1件合格产品盈 利3元，每出现1件次品亏损1.5元. （1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解： 当x＞c时，p＝ ，y＝ ·x·3－ ·x· ＝0； 当0＜x≤c时，p＝ ， ∴y＝ ·x·3－ ·x· ＝ . ∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为 y＝ （c为常数，且0＜c＜6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解： 由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0. 当0＜x≤c时，∵y＝ ， ∴y'＝ · ＝ ， 令y'＝0，得x＝3或x＝9（舍去）， ∴①当0＜c＜3时，y'＞0，∴y在区间（0，c]上单调递增，∴y最大值＝f （c）＝ . （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝ ×100%） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ②当3≤c＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3，c）上，y'＜0， ∴y在（0，3）上单调递增，在（3，c）上单调递减. ∴y最大值＝f（3）＝ . 综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6， 则当日产量为3万件时，日盈利额最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图 书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直是大众的共同心声.现 有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，AC＝8（百米），建立如图2 所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数f（x）＝k 图象的一部 分，BC为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面 图为直角梯形CDEF（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值 为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：因为曲线AB是函数f（x）＝k （0≤x≤4）的图象，点B的坐标 为（4，4），所以4＝k· ，故k＝2，所以f（x）＝2 （0≤x≤4）. 设线段BC对应的函数解析式为y＝mx＋n（4≤x≤8），因为直线BC经 过点（4，4），（8，0），所以m＝－1，n＝8，所以y＝－x＋8 （4≤x≤8）.设AD＝t（0＜t＜4），则点E的坐标为（t，2 ），由 2 ＝－x＋8可得x＝8－2 ，所以点F的坐标为（8－2 ，2 ），所 以DC＝8－t，EF＝8－2 －t，DE＝2 ，所以直角梯形CDEF的面 积S＝ （8－2 －t＋8－t）·2 ＝－2 －2t＋16 （0＜t＜4），所 以S'＝－3 －2＋ ＝ ＝ ，令S'＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 可得t＝ ，当0＜t＜ 时，S'＞0，函数S＝－2 －2t＋16 在（0， ） 上单调递增，当 ＜t＜4时，S'＜0，函数S＝－2 －2t＋16 在（ ， 4）上单调递减，所以当t＝ 时，函数S＝－2 －2t＋16 取最大值， 最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆 心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M. 点A为上 半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B. 市园林局计划在△ABM内 进行绿化.设△ABM的面积为S（单位：m2），∠AON＝θ（单位：弧 度）. （1）将S表示为θ的函数； 解： BM＝AO sin θ＝100 sin θ，AB＝MO＋AO cos θ＝100＋100 cos θ，θ∈（0，π）. 则S＝ MB·AB＝ ×100 sin θ×（100＋100 cos θ） ＝5 000（ sin θ＋ sin θ cos θ），θ∈（0，π）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积. 解： S'＝5 000（2 cos 2θ＋ cos θ－1） ＝5 000（2 cos θ－1）（ cos θ＋1）. 令S'＝0， 得 cos θ＝ 或 cos θ＝－1（舍去）， 此时θ＝ . 当θ变化时，S'，S的变化情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 θ ​ ​ ​ S' ＋ 0 － S 单调递增 极大值 单调递减 所以，当θ＝ 时，S取得极大值且为最大值Smax＝3 750 m2，此时AB ＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $