6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“瞬时变化率与导数”，通过区间测速、瞬时油耗等生活实例导入，联系平均变化率知识，搭建从平均到瞬时的学习支架，帮助学生理解导数概念的形成脉络。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过类比平均速度引导极限思想发展数学思维，结合水管流量、圆面积等实例落实导数实际意义，体现数学语言表达。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建体系，教师可高效开展概念教学。

6．1.2　导数及其几何意义 第1课时　瞬时变化率与导数 1 新课导入 学习目标 　　在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，这里讲的不管是百公里油耗，还是瞬时油耗，都是变化率问题． 1.理解瞬时变化率的意义，会求运动方程的瞬时速度． 2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的导数． 3．理解导数的实际意义． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　瞬时变化率 思考　类比平均速度与瞬时速度的关系，试问瞬时变化率如何定义？ 返回导航 常数k 返回导航 × √ × 返回导航 √ 返回导航 9 返回导航 返回导航 二　函数在某点处的导数 [知识梳理] 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为k，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在________处的导数，记作f′(x0)＝k.即f′(x0)＝_________________． x＝x0 返回导航 点拨　(1)函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在． (2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.当Δx＞0(或Δx＜0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(或从左边)趋近于x0. (3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量． 返回导航 [例1](对接教材例1)利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 返回导航 返回导航 －2 返回导航 2a 返回导航 三　导数的实际意义 [例2] 一条水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：s)的函数为y＝f(t)＝t2＋7t＋15(0≤t≤8).计算在2 s和6 s时，水管流量函数的瞬时变化率，并说明它们的实际意义． 返回导航 所以在2 s和6 s时，水管流量函数的瞬时变化率分别为11 m3/s 和19 m3/s.它说明在2 s时，时间的改变量的绝对值|Δt|很小时，水流量的改变量的近似值为11Δt m3；在6 s时，时间的改变量的绝对值|Δt|很小时，水流量的改变量的近似值为19Δt m3. 返回导航 (1)实际问题中的瞬时变化率问题，就是相应函数在某点处的导数问题． (2)解释f′(x0)的实际意义，即当自变量x＝x0处的改变量的绝对值|Δx|很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx. 返回导航 [跟踪训练2] 圆的面积在半径为2时的瞬时变化率为________，其实际意义为____________________________________________________________ ____________________． 4π 在半径r＝2时，半径的改变量的绝对值|Δr|很小时，圆的面积的改变量的近似值为4πΔr 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 21 √ 1．(教材P74练习AT1改编)设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 返回导航 √ √ √ 返回导航 3．一物体的运动方程为v(t)＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时加速度为1. 返回导航 4．(教材P74T4改编)已知某产品的总成本函数为C＝2Q2＋Q＋3，其中Q为产量，总成本函数在Q0处的导数f′(Q0)称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示．求边际成本MC(200)，并说明它的实际意义． 即产量为200时的边际成本为801，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加801. 返回导航 1．已学习：函数的瞬时变化率、函数在某点处的导数、导数的实际意义． 2．须贯通：(1)瞬时变化率是平均变化率在自变量的改变量趋近于0时的极限值； (2)导数的实际意义应根据不同的函数的实质，给出相应的解释． 3．应注意：平均变化率与瞬时变化率的关系． 返回导航 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ . 当t＝6时， ＝＝ ＝＝Δt＋19. $