第5章 专题课 求数列的通项公式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列通项公式求法，涵盖利用\(a_n\)与\(S_n\)关系、累加法、累乘法、构造法及倒数法五种类型，通过例题解析与跟踪训练，搭建从基础到复杂的递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过步骤化总结（如累加法四步骤）和思想提升，培养学生推理能力与抽象能力。例如构造法中用待定系数法转化递推关系，以规范数学语言呈现过程，助力学生形成系统解题思路，也为教师提供结构化教学资源。

专题课　求数列的通项公式 1 返回首页 返回首页 (2)若Sn＝2an－1，求an. 【解】　当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，得a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)＝2an－2an－1，所以an＝2an－1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＝1×2n－1＝2n－1. 返回首页 返回首页 n 返回首页 返回首页 类型二　累加法求通项 [例2] 已知数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝an＋n＋1，则an＝_______________． 返回首页 返回首页 累加法求通项公式的四个步骤 返回首页 [跟踪训练2] 已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)，则an＝________． 解析：由an＝3n－1＋an－1可得an－an－1＝3n－1(n≥2). 则a2－a1＝31， a3－a2＝32， a4－a3＝33， … an－an－1＝3n－1. 返回首页 返回首页 返回首页 累乘法求通项公式的四个步骤 返回首页 返回首页 类型四　构造法求通项 角度1　构造等比数列 [例4] 已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式． 【解】　设an＋1＋a＝2(an＋a)，a为待定系数，展开得an＋1＝2an＋a，与原式对比知a＝3，则有an＋1＋3＝2(an＋3). 因为a1＋3＝7，所以{an＋3}是以7为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋3＝7×2n－1， 所以an＝7×2n－1－3. 返回首页 构造法求通项公式 递推公式形如an＋1＝can＋d(c≠0，a1＝a) (1)当c≠1，d≠0时，可以通过待定系数法构造等比数列，设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，通过比较系数求出λ，构造等比数列； (2)结合等比数列的通项公式求出数列{an＋λ}的通项公式； (3)由(2)进一步得到数列{an}的通项公式. 返回首页 角度2　构造等差数列 [例5] 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝4an＋3×4n，则此数列的通项公式an＝________． 3n×4n－1 返回首页 递推公式形如an＋1＝pan＋qn (其中q是常数，且n≠0，1) (1)当p＝q时，两边同除以pn＋1，构造等差数列； (2)当p≠q时，可以利用待定系数法构造等比数列，设an＋1＋λ·qn＋1＝p(an＋λ·qn)，通过比较系数求出λ，构造等比数列{an＋λ·qn}； (3)由(1)或(2)进一步得到数列{an}的通项公式. 返回首页 [跟踪训练4] (1)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，则an＝________________． 解析：由题意设an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)，即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)， 所以{an＋2n＋1}是以a1＋22＝5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5·3n－1， 即an＝5·3n－1－2n＋1. 5·3n－1－2n＋1 返回首页 n 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 √ √ √ 返回首页 返回首页 返回首页 2 解析：由题意知，当n≥2时，＝1×2n－1＝2n－1，则有＝2n－2，…，＝22，＝21，而an＝a1···…·＝1×21＋2＋…＋n－1＝2(n≥2)， 当n＝1时，a1＝1也满足该式，故an＝2. $