第5章 阶段提升(二) 等比数列(范围：5.3)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列核心内容，涵盖定义、通项公式、前n项和公式及性质，通过对比等差数列复习导入，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 其亮点在于分层设计题型，融入方程思想与分类讨论等数学思维，如基本量运算题通过列方程求关键量，性质题利用等比中项和前n项和性质解题，培养学生数学思维与推理能力。学生能巩固解题方法，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

阶段提升(二)　等比数列(范围：5.3) 1 返回导航 √ 题型一　等比数列基本量的运算 1．在等比数列{an}中，a1＝4，a4＝32，则数列{an}的前10项和为(　　) A．211－2 B．212－2 C．211－4 D．212－4 返回导航 √ 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋5a1，a5＝4，则a1＝(　　) 返回导航 3．(2024·全国甲卷改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3. (1)求{an}的通项公式； 返回导航 (2)求数列{an}的前n项和Sn. 返回导航 等比数列基本运算中的两种常用数学思想 返回导航 注意　(1)等比数列求和需要讨论q＝1和q≠1两种情况； (2)计算过程中，若出现qn＝t，要注意n为奇数和偶数的区别． 返回导航 √ 返回导航 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝(　　) A．60 B．61 C．62 D．63 解析：因为{an}为等比数列，显然公比q≠－1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63. √ 返回导航 3．已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝(　　) A．1 B．4 C．12 D．36 √ 返回导航 返回导航 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口． 返回导航 题型三　等比数列的判定与证明 [例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n，cn＝an－1. (1)求证：{cn}是等比数列； 返回导航 返回导航 (2)求数列{an}的通项公式． 返回导航 返回导航 [跟踪训练1] (多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 B．若{an}为等差数列，则{2an}为等比数列 C．若Sn＝n2＋1，则数列{an}为等差数列 D．若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列 √ √ 返回导航 解析：对于A，当a＝b＝c＝0时有b2＝ac，此时a，b，c不成等比数列，故A错误； 对于C，若Sn＝n2＋1，则a1＝S1＝2， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1(n≥2)， a1＝2显然不满足an＝2n－1，所以数列{an}不为等差数列，故C错误； 对于D，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝3n－3n－1＝2·3n－1(n≥2)，a1＝2显然满足an＝2·3n－1，所以数列{an}为等比数列，故D正确． 返回导航 题型四　等比数列的综合问题 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 与等比数列有关的综合问题的解题方法与技巧 (1)化归思想：将非等比数列转化构造成等比数列，以便于利用其公式和性质解题． (2)等比数列公式和性质的灵活应用． (3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． 返回导航 an＝3×2n－1－1 返回导航 方程的思想 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和为Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和为Sn＝＝ 对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有＝2an＋1－an＝2d为大于零的常数，所以数列{2an }为等比数列，故B正确； [跟踪训练2] 若正项数列{an}满足a1＝2，a＝4a＋4an＋1，则数列{an}的通项公式是____________________． $