5.4 数列的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列的实际应用，通过分期还款、垃圾处理、林木保有量等真实问题，衔接等差、等比数列概念与数学建模，搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于以生活情境为载体，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理求解（如构造等比数列解决递推问题），用数学语言表达规律。通过典例解析、通性通法总结和分层训练，助力学生提升建模能力，也为教师提供系统教学资源。

5.4　数列的应用 1 掌握数列在实际生活中的应用（数学建模）. 课标要求 典例研析 01 目录 课时作业 02 3 01 PART 典例研析 目 录 题型一｜分期还款在数列中的应用 【例1】　随着经济的发展，我国的房价持续上涨，分期付款成了当今大 学生毕业买房的首选方式.大学生李华准备贷款500 000元买一套100平方米 的房子.采用“等额本金还款法”分20年进行还款，贷款的年利率为5%.设 第n年李华的还款金额为an元.求an的表达式，并说明数列{an}的特征.　 解：因为每期所还本金为 ＝25 000（元）， 因此第n年以前已还本金总额为25 000（n－1）元. 从而有an＝25 000＋[500 000－25 000（n－1）]×5%＝－1 250n＋51250. 可以看出{an}是一个递减的等差数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的 还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数， 另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.因此：每期 还款金额＝ ＋（贷款本金－已还本金总额）×利率. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 小李在某年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家电，在 购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年 内还清全部贷款（当年12月1日最后一次还款），月利率为r.按复利计 算，则小李每个月应还（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：A　设每月还x元，按复利计算， 则有x ＝a（1＋r）11， 即 x＝a（1＋r）11， 解得x＝ ，故选A. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜“乘数”效应与数列 【例2】　去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方 式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同 时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾 的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公 式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万 吨）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年 以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋 方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则 an＝20（1＋5%）n， bn＝6＋1.5n， Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn） ＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn） ＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋1.5n） ＝ － （7.5＋6＋1.5n） ＝420×1.05n－ n2－ n－420. 当n＝5时，S5≈63.5. 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　在解决与“乘数”效应有关的实际问题时，要注意数列项数的确定， 特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份，同时要注意正确区分是 求第n项，还是求前n项的和. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要 使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（lg 2≈0.301 0）（　　） A. 5 B. 10 C. 14 D. 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设原杂质数为1，由题意，得各次过滤杂质数成等比数列，且a1 ＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝（1－20%）n.由题意可知（1－20%）n ＜5%，即0.8n＜0.05.两边取对数，得nlg 0.8＜lg 0.05，因为lg 0.8＜0， 所以n＞ ，即n＞ ＝ ＝ ≈ ≈13.41，故取n ＝14. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜数列在实际生活中的应用 【例3】　某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2024年年底该公司速 生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率为20%，为了利于速 生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2025年开始，第n 年年底的速生林木保有量为an万立方米. （1）求a1，并写出一个递推公式表示an＋1与an之间的关系； 解： a1＝200（1＋20%）－17＝223（万立方米）. 又an＋1＝（1＋20%）an－17＝ an－17，即an＋1＝ an－17. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）是否存在实数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？如果存在，求出 实数λ，如果不存在，请说明理由； 解： 若存在实数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列， 则存在非零常数q，使得an＋1＋λ＝q（an＋λ），整理得到an＋1＝qan －λ＋qλ， 而an＋1＝ an－17，故q＝ ，qλ－λ＝－17，即λ＝－85. 当λ＝－85时，an＋1－85＝ an－102＝ （ an－85）， 而a1－85＝223－85＝138≠0，故an－85≠0，即 ＝ ， 故{an－85}为等比数列，故存在常数λ＝－85，使得{an＋λ}为等比 数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有 量实现由2024年年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年年底才能达 到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：1.28≈4.3，1.29≈5.2，1.210≈6.2，1.211≈7.4） 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解： 由（2）可得{an－85}是首项为138，公比为 的等比数列， 故an－85＝138×（ ）n－1，即an＝85＋138×（ ）n－1，此时{an}为递 增数列. 令an≥4×200，则85＋138×（ ）n－1≥800. 当n＝9时，85＋138×（ ）n－1＝85＋138×（ ）8≈85＋138×4.3＝ 678.4＜800， 当n＝10时，85＋138×（ ）n－1＝85＋138×（ ）9≈85＋138×5.2＝ 802.6＞800， 故至少到2034年年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　解决数列应用题需注意的三点 （1）分清该数列是等差数列还是等比数列； （2）首项是多少、公差（公比）是多少、项数是多少、是求an还是Sn； （3）如果数列给出的是递推公式，如何由递推公式求出通项公式. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金 的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴 资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资 金后的剩余资金为an万元. （1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； 解： 由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2＝a1（1＋ 50%）－d＝ a1－d＝4 500－ d， an＋1＝an（1＋50%）－d＝ an－d. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，试确 定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 解： 由（1）得an＝ an－1－d＝ －d＝ ·an－2－ d －d＝…＝ a1－d ， 整理得an＝ （3 000－d）－2d ＝ ·（3 000－ 3d）＋2d. 由题意知am＝4 000，所以 （3 000－3d）＋2d＝4 000， 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解得d＝ ＝ . 故该企业每年上缴资金d的值为 万元时，经过m （m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸 之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一 型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺 货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到 标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将 所有有货尺寸加起来的总和是677码.则另外一个缺货尺寸是（　　） A. 28码 B. 29.5码 C. 32.5码 D. 34码 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设第一个尺码为a1，公差为d，则a1＝25，d＝0.5，则an＝25 ＋（n－1）×0.5＝0.5n＋24.5，当an＝0.5n＋24.5＝36.5时，n＝24， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24＝ ＝738码，所 有缺货尺寸的和为738－677＝61码，又因为缺货的一个尺寸为28.5码，则 另外一个缺货尺寸为61－28.5＝32.5码，故选C. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 某林场现在的森林木材存量是1 800万立方米，木材以每年25%的增长率 生长，而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米，为达到经两次砍伐后木 材存量增加50%的目标，则x的值是（　　） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 解析： 　经过一次砍伐后，木材存量为1 800（1＋25%）－x＝2 250－ x；经过两次砍伐后，木材存量为（2 250－x）×（1＋25%）－x＝2 812.5－2.25x.由题意应有2 812.5－2.25x＝1 800×（1＋50%），解得x ＝50. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 某市2012年为解决低收入家庭的住房问题，决定新建住房400万平方 米，其中有250万平方米是中低价房.计划在今后的若干年内，该市每年新 建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面 积均比上一年增加50万平方米. （1）到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2012年为累计 的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ 解： 设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列， 其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋ ×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，所以n≥10. 故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平 方米. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85%？ 解： 设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1， 由题意可知an＞0.85bn，即250＋（n－1）×50＞400×1.08n－1×0.85.解 得满足上述不等式的最小正整数n＝6. 故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首 次大于85%. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 02 PART 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如 图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3 号蜂房，…，以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a10＝ （　　） A. 10 B. 55 C. 89 D. 99 解析： 依题意，an＝an－1＋an－2（n∈N＋，n≥3），a1＝1，a2＝2， 所以a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55，a10＝89. 故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排 列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学 家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛 就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球， 下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有10层， 则该堆垛总共球的个数为（　　） A. 55 B. 220 C. 285 D. 385 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　“三角形数”的通项公式an＝ ，前n项和公式为Sn＝1 ＋3＋6＋…＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，当n＝10时，S10＝ ＋ ＝220. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下，设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说 法正确的是（　　） A. Sn＜500 B. Sn≤500 C. Sn的最小值为100 D. Sn的最大值为400 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意可知，弹性小球每次着地后又跳回原来高度的 再落下， 其每次触地至下一次触地前所经过的路程可看成等比数列，公比q＝ ，首 项为 ，所以该数列前n项和为 · ，所以总路程Sn＝100＋ · ，n≥2，化简可得Sn＝500－400× ，因为400 ＞ 0，所以Sn＜500. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. “勾股树”是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复 的图形.图2是第1代“勾股树”，图3为第2代“勾股树”，以此类推，已 知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与所有正 方形面积的和分别为（　　） A. 2n－1，n B. 2n－1，n＋1 C. 2n－1－1，n D. 2n＋1－1，n＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 第1代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＝3，面积和为2，第2 代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＝7，面积和为3，第3代“勾股 树”中正方形的个数为1＋2＋22＋23＝15，面积和为4，…，第n代“勾股 树”中正方形的个数为1＋2＋…＋2n＝2n＋1－1，面积和为n＋1，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织 迄，问织几何.”其大意为：“有个女子不善于织布，每天比前一天少织 同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共 织布多少尺.”那么答案是（　　） A. 30尺 B. 90尺 C. 150尺 D. 180尺 解析： 　由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，其中a1 ＝5，a30＝1，∴S30＝ ＝90，即共织布90尺. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕如图，正方形ABCD的边长为2，取正方形ABCD各边的中点 E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中 点I，J，K，L，作第3个正方形的 IJKL，依此方法一直继续下去. 设第k 个正方形的面积为ak，则下列结论正确的是（　　） A. a3＝1 B. a2＝16a6 C. 前6个正方形面积和为 D. 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形 的面积之和将趋近8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设第k个正方形的边长为ck，则第k个正方形的对角线为 ck，则第k＋1个正方形的边长为 ck，所以 ＝ ，故{ck}是首项为 2，公比为 的等比数列，所以ck＝2×（ ）k－1＝ ，所以第k个正 方形的面积为ak＝ ＝23－k，所以a3＝20＝1，故A正确；a2＝2，a6＝2－3 ＝ ，所以a2＝16a6，故B正确；a1＋a2＋…＋a5＋a6＝22＋21＋20＋2－1＋ 2－2＋2－3＝ ，故C错误；a1＋a2＋…＋an＝22＋21＋…＋23－n＝ ＝8（ 1－ ），如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近8，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自 身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后 分钟，该 病毒占据内存64 MB（1 MB＝210 KB）. 解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒 占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而 复制的时间为15×3＝45（分钟）. 45　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写， 且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多 写 个大字. 解析：由题意知，此人每天写的字数构成等差数列{an}，其中a1＝4，a3 ＝12，设公差为d，则d＝ ＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入 工作，则收割完毕需要24小时.现在这些收割机每隔相同的时间依次投入 工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割机 工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需 要 小时. 解析：设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1，a2，…， an，依题意，{an}是一个等差数列，且 由②得 ＝24n，所以a1＋an＝48.　　③ 将①③联立，解得a1＝40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40 小时. 40　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价 格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个 差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”， 常见的方法是“对半还价法”：消费者第一次减去定价的一半，商家第一 次讨价加上二者差价的一半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半， 商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 b1＝ a c1＝b1＋ （a－b1） 第二次 b2＝c1－ （c1－b1） c2＝b2＋ （c1－b2） 第三次 b3＝c2－ （c2－b2） c3＝b3＋ （c2－b3） … … … 第n次 bn＝cn－1－ （cn－1－bn－1） cn＝bn＋ （cn－1－bn） 消费者每次的还价bn（n∈N＋）组成一个数列{bn}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （1）写出此数列的前三项，并猜测通项bn的表达式； 解： b1＝ a，b2＝c1－ （ c1－b1）＝ a＋ a－ a＝－ a＋（ － ）2a＋（ － ）3a＋a， b3＝c2－ （ c2－b2）＝－ a＋（ － ）2a＋…＋（ － ）5a＋a， 观察可得， bn＝cn－1－ （ cn－1－bn－1）＝－ a＋ a＋…＋（ － ）2n－1a ＋a＝－ a ＋a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若实际价值b与所标价格a之比为b∶a＝0.618∶1，利用“对半还 价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润？ 解： 因为b∶a＝0.618∶1，所以a＝ ，故 a＝ ≈1.08b，故商家将有约8%的利润. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、 VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是Pn＝P0（1 ＋k）n（k＞－1），其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测 期内人口增长率，n为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（　　） A. 若在某一时期内－1＜k＜0，则这期间人口数呈下降趋势 B. 若在某一时期内k＞0，则这期间人口数呈上升趋势 C. 若在某一时期内0＜k＜1，则这期间人口数摆动变化 D. 若在某一时期内k＝0，则这期间人口数不变 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　对于A，由Pn＝P0（1＋k）n（k＞－1），得当－1＜k＜0 时，0＜1＋k＜1，因为P0＞0，所以对任意的n∈N＋，Pn＞0，所以 ＝ ＝1＋k＜1，则Pn＋1＜Pn，故在某一时期内－1＜k＜0，则 这期间人口数呈下降趋势，A对；对于B，当k＞0时，1＋k＞1，因为P0＞ 0，所以对任意的n∈N＋，Pn＞0，所以 ＝ ＝1＋k＞1， 则Pn＋1＞Pn，故在某一时期内k＞0，则这期间人口数呈上升趋势，B对； 对于C，由B选项可知，在某一时期内0＜k＜1，则这期间人口数呈上升趋 势，C错；对于D，当k＝0时，Pn＝P0，故在某一时期内k＝0，则这期间 人口数不变，D对.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 甲、乙两企业，2018年的销售量均为p（2018年为第一年），根据市 场分析和预测，甲企业前n年的总销量为 （n2－n＋2），乙企业第n年 的销售量比前一年的销售量多 . （1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； 解： 设甲企业前n年的总销售量为Sn，第n年的销售量为an，乙企业 第n年的销售量为bn，根据题意， 得Sn＝ （n2－n＋2），bn－bn－1＝ （n≥2）.∴a1＝S1＝p. 当n≥2时，∵an＝Sn－Sn－1＝p（n－1）， ∴an＝ ∵bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1）， ∴bn＝p＋ ＋…＋ ＝ p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足 另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一 企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由. 解： ∵an≥p，bn≥p，∴an＞ bn＞ bn， 故甲企业不可能被乙企业收购， 当n＝1时，a1＝b1＝p，乙企业不可能被甲企业收购， 当n≥2时，∵ an＞bn⇔ p（n－1）＞ p， ∴n＞11－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 则当n＝2，3时，经验证，n＜11－ ， 当4≤n≤10且n∈N＋时，有11－ ＞10， ∴n＜11－ ， 当n≥11且n∈N＋时，11－ ＜11， ∴必有n≥11，则n＞11－ ， 故当n＝11时，即2028年乙企业将被甲企业收购. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了 两种贷款方式：①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同 等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递 减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息 在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例会 升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首 次还款（如2021年7月8日贷款到账，则2021年8月8日首次还款）.已知该 笔贷款年限为25年，月利率为0.4%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5 500元， 最后一个还款月应还2 510元，试计算该笔贷款的总利息； 解： 由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数 列，记为{an}，用Sn表示数列{an}的前n项和，则a1＝5 500，a300＝2510， 则S300＝ ＝1 201 500， 故小张的该笔贷款的总利息为1 201 500－750 000＝451 500（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解： 设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式， 则x＋x（1＋0.004）＋x（1＋0.004）2＋…＋x（1＋0.004）299＝750 000×（1＋0.004）300，所以x· ＝750 000×1.004300， 即x＝ ≈ ≈4 299. 因为4 299＜10 000× ＝5 000，所以小张该笔贷款能够获批. （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过 家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请 该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）.参考数据：1.004300≈3.31； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的 理由. 解： 小张采取等额本息贷款方式的总利息约为4 299×300－750 000 ＝539 700（元）， 因为539 700＞451 500， 所以从节省利息的角度来考虑，建议小张选择等额本金的还款方式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 也可以回答： 因为以等额本息方案，每月还款只需要还约4 299元， 而以等额本金方案在前面的10年内还款金额都比这个金额高， 可能会给小张造成还款压力， 因此从前几年还款压力大小的角度来考虑，建议小张选择等额本息的还款 方式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 位于广东佛山高明区的皂幕山有“佛山第一峰”之盛誉.要登上皂幕山 的最高峰，一共需要走6 666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登 峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每 隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降 低10%，直到登上最高峰，则（参考数据：0.94≈0.66，0.95≈0.59， 0.96≈0.53，0.97≈0.48）（　　） A. 小明到达最高峰的时间比小吉早，且超过30分钟 B. 小吉到达最高峰的时间比小明早，且超过30分钟 C. 小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟 D. 小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　记第n个30分钟小明和小吉走的阶梯数分别为an，bn，则由题 意可知a1＝1 500，b1＝1 500，且an－an－1＝－150，bn＝0.9bn－1，故数 列{an}是以1 500为首项，－150为公差的等差数列，且{bn}是以1 500为首 项，0.9为公比的等比数列，所以an＝1 500＋（n－1）×（－150）＝－ 150n＋1 650，且bn＝1 500×0.9n－1，所以数列{an}和{bn}的前n项和分 别为 Sn＝ ＝ ＝－75n2＋1 575n， Tn＝ ＝15 000（1－0.9n）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 S5＝－75×52＋1 575×5＝6 000＜6 666，S6＝－75×62＋1 575×6＝6 750 ＞6 666， 而a6＝－150×6＋1 650＝750，故第6个30分钟小明每分钟走的级数为 ＝25， 所以小明登上最高峰所需时间为5×30＋ ＝176.64≈176.6分. 因为T5＝15 000×（1－0.95）≈15 000×（1－0.59）＝6 150＜6 666， T6＝15 000×（1－0.96）≈15 000×（1－0.53）＝7 050＞6 666， 而b6＝1 500×0.95≈885，故第6个30分钟小吉每分钟走的级数为 ＝ 29.5， 所以小吉登上最高峰所需时间为5×30＋ ≈167.5分，167.5＜ 176.6且176.6－167.5＝9.1分，所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但 差距不超过30分钟.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 如图，将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成 塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下 面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放.如果最下面 的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn， 求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：最底层正方体的棱长为1， 则该正方体除底面外的表面积为5×12＝5； 倒数第2个正方体的棱长为1× ＝ ， 它的侧面积为4× ＝4× ， 倒数第3个正方体的棱长为 × ＝ . 它的侧面积为4× ＝4× ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 倒数第n个小正方体的棱长为 ， 它的侧面积为4× ＝4× ， 则Sn＝5＋4×［ ＋ ＋ ＋…＋ ］＝5＋4× ＝9 － ＝9－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $