5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式，通过“借钱还款”的生活情境导入，引导学生从实际问题中发现求和需求，衔接等比数列定义与通项公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过错位相减法和等比性质法推导公式发展数学思维，结合例题与分层训练强化数学语言表达。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助系统资源高效教学。

5．3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 1 新课导入 学习目标 　　甲到乙家借钱，原以为乙会不愿意，谁知乙竟一口答应，但提出如下附加条件：在30天中，每天供给甲10万元，借钱第一天，甲还给乙1分钱，第二天还2分钱，以后每天还的钱都是前一天的2倍，30天后互不相欠．甲听后，觉得挺划算，本想定下来，但又想到乙以吝啬出名，怕上当受骗，所以很为难．请同学们帮他拿拿主意． 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等比数列的前n项和公式． 3．熟练掌握等比数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 4．理解等比数列前n项和的函数特征． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　等比数列前n 项和公式 思考1　对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么对于等比数列{an}，如何求其前n项和Sn呢？ 返回导航 返回导航 返回导航 [知识梳理] 返回导航 √ [即时练] 1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝(　　) A．93 B．－93 C．45 D．－45 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 3．(2025·新课标Ⅰ卷)若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________． ±2 返回导航 4．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________． 2n－1 返回导航 求等比数列的前n项和时，需对公比q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和． 返回导航 二　等比数列前n项和公式的有关计算 [例1] 已知Sn为等比数列{an}的前n项和，则 (1)若S2＝30，S3＝155，求Sn； 返回导航 (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 返回导航 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 返回导航 返回导航 (2)若a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn； 返回导航 (3)若a1＝1，S6＝4S3，求Sn. 返回导航 返回导航 [例2] (对接教材例3)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否为等比数列． 返回导航 母题探究　已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，求a与{an}的通项公式． 返回导航 方法二：当q≠1时，等比数列{an}的前n项和满足Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，由Sn＝3n＋a可得a＝－1，q＝3.当n＝1时，a1＝S1＝3－1＝2，所以an＝2×3n－1. 综上，a＝－1，{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 √ 1．(教材P41T1改编)已知数列{an}是公比为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝2，a4＝8，则S3＝(　　) A．63 B．31 C．15 D．7 返回导航 √ √ 返回导航 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ3n－1，则a4＝________． 解析：当n＝1时，则S1＝a1＝3λ－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λ(3n－3n－1)＝2λ·3n－1. 又因为{an}是等比数列，所以公比q＝3，a1＝2λ， 所以2λ＝3λ－1，解得λ＝1，所以an＝2×3n－1，所以a4＝54. 54 返回导航 4．已知等比数列{an}的公比q＝2，记其前n项和为Sn，且a2，a3＋3，a4成等差数列． (1)求{an}的通项公式； 返回导航 (2)求{Sn}的前n项和Tn. 返回导航 1．已学习：等比数列前n项和公式的推导及运算，等比数列前n项和公式的结构特点． 2．须贯通：(1)公式的推导利用了错位相减法； (2)计算等比数列的基本量，通常将已知条件转化为首项和公比的方程(组)求解，这里运用了方程的思想． 3．应注意：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． 返回导航 提示：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项， 两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， 当q≠1时，Sn＝，当q＝1时，Sn＝na1. 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 公式一：Sn＝ 公式二：Sn＝ － 方法二：因为Sn＝m·2n－1＋＝·2n＋，结合等比数列{an}的前n项和的结构特征可得＝－，解得m＝－. 解：因为a2，a3＋3，a4成等差数列， 所以2(a3＋3)＝a2＋a4，得2a3＋6＝＋a3q， 即2a3＋6＝＋2a3，解得a3＝12， 所以an＝a3qn－3＝12×2n－3＝3×2n－1. $