5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，通过北京天坛圜丘石板数量问题导入，结合高斯求和历史故事引导推导，搭建从具体实例到抽象公式的学习支架，衔接通项公式与求和公式的联系。 其亮点在于以数学眼光观察现实（天坛石板问题），通过类比推理（高斯方法到一般等差数列）培养数学思维，例题涵盖“知三求二”运算、绝对值求和等，体现分类讨论思想。助力学生提升运算与推理能力，为教师提供系统的问题链与分层训练资源。

5．2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 1 新课导入 学习目标 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．试想，文中所提到的石板一共有多少块？本节课我们一起来探究． 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3．了解等差数列前n项和的函数特征． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　等差数列的前n项和公式 思考1　据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：1＋2＋3＋…＋100等于多少？ 提示：5 050. 返回导航 思考2　高斯在求和过程中利用了什么方法？其方法利用了数列的什么性质？ 提示：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050. 设an＝n，在计算中利用了等差数列的性质：若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at. 返回导航 思考3　试求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n. 返回导航 思考4　类比上述方法，试推导等差数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an的公式． 返回导航 [知识梳理] 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝__________________ Sn＝______________ 返回导航 [即时练] 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 √ 返回导航 √ 返回导航 3．计算：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝____________． 返回导航 4．已知数列{an}中，an＋1＝an对∀n∈N＋恒成立，且a3＝2，则该数列的前5项和S5＝____________． 解析：由an＋1＝an对∀n∈N＋恒成立知数列{an}为常数列，故an＝2，所以S5＝5a3＝10. 10 返回导航 返回导航 返回导航 (2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 返回导航 求等差数列的基本量的方法 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 返回导航 [跟踪训练1] (1)(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　) A．－1 B．3 C．5 D．7 √ √ 返回导航 (2)等差数列的前n项和记为Sn，且S5＝10，S10＝50，则S15＝__________． 120 返回导航 三　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 [例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列． 【解】　Sn＝2n2＋3n，则当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1. 又a1＝5适合an＝4n＋1， 所以数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋). 当n≥2时，an－an－1＝4n＋1－[4(n－1)＋1]＝4， 故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列． 返回导航 母题探究　本例的条件“Sn＝2n2＋3n”变为“Sn＝2n2＋3n－1”，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解：当n＝1时，a1＝S1＝4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2＋3n－1－2(n－1)2－3(n－1)＋1＝4n＋1. 又a1＝4不满足an＝4n＋1， 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2)证明：数列{an}是等差数列． 解：证明：当n≥2时，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3， 故数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列． 返回导航 四　求数列{|an|}的前n项和 [例3] 若等差数列{an}的首项a1＝13，公差d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 返回导航 返回导航 已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤 (1)确定通项公式an； (2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式； (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式． 返回导航 [跟踪训练3] 在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2. (1)求数列{an}的通项公式； 返回导航 (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求T10. 解：因为当n≤5时，an≥0；当n≥6时，an＜0， 所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a10)＝8＋6＋4＋2＋0＋(2＋4＋6＋8＋10)＝50. 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 31 √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 8 返回导航 返回导航 (2)数列{|an|}的前16项和T16. 解： 当1≤n≤4时，an＜0； 当n≥5时，an＞0， T16＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5＋a6＋…＋a16＝－S4＋(S16－S4)＝S16－2S4＝(162－8×16)－2×(42－8×4)＝160. 返回导航 返回导航 二　等差数列前n项和的基本运算 [例1] (对接教材例1、例2)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn. (1)若a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am； $