5.3.1 第1课时 等比数列的定义（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列的定义、通项公式及判定证明，以《孙子算经》“出门望九堤”问题导入，类比等差数列引导学生观察数列共同特征，构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于通过传统文化情境培养数学眼光，类比推导通项公式发展数学思维，即时练与跟踪训练强化数学语言应用。例题结合生活实例，课堂小结系统梳理要点，助力学生深化概念理解，教师可高效开展教学。

5．3　等比数列 5．3.1　等比数列 1 新课导入 学习目标 　　我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问：各几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.这个数列有何特点？ 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2．理解等比中项的概念． 3．能应用等比数列通项公式及性质进行简单运算． 4．掌握等比数列的判定及证明方法． 5．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 返回导航 第1课时　等比数列的定义 3 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 返回导航 思考　类比等差数列，你发现以上数列有什么共同特征？ 返回导航 同一个 公比 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数列．(　　) × √ × × 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 3．若－1，2，a，b成等比数列，则a＋b＝________． 4 返回导航 对等比数列概念的理解 (1)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (2)注意作商次序，且比值必须是同一个常数． (3)等比数列中任意一项都不能为0，公比可以为正数、负数，但不能为0. 返回导航 二　等比数列的通项公式 思考　类比等差数列通项公式的推导过程，试根据等比数列的定义推导它的通项公式． 返回导航 方法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 返回导航 [知识梳理] 一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项公式为an＝________． 点拨　通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋). a1qn－1 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (1)等比数列的通项公式共涉及4个量a1，an，n，q，知三求一，解题时通常列方程(组)来解决．其中a1和q是等比数列的两个基本量，解题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出． (2)通项公式不仅能求数列的任何一项，还可以判断某数是否在数列中，此类问题往往利用数列的项数为整数这一特点来判断． 返回导航 [跟踪训练1] 已知数列{an}是公比为q的等比数列． (1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式； 返回导航 (2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10－4，求n. 返回导航 (1)当q＝1时，函数f(x)是常数函数，此时数列{an}是常数列； (2)当q≠1时，函数f(x)的增减性既与a1有关，也与q有关． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为______，公比为____． an＝f(n) ka a 返回导航 [例2] (1)已知数列{an}是等比数列，且公比q＞0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立， 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件． √ 返回导航 36－n 返回导航 等比数列单调性的判断 若数列{an}是等比数列，公比是q. (1)当q<0时，数列{an}正负项相间，奇数项符号相同，偶数项符号相同． (2)当q＝1时，数列{an}为常数列． 返回导航 (3)当q>0时，数列{an}各项符号相同，单调性如下： ①当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增数列． ②当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减数列． ③当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减数列． ④当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增数列． 返回导航 √ [跟踪训练2] (1)若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立；反之，例如数列{(－1)n＋12n}，满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列，所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．故选B. 返回导航 返回导航 四　等比数列的判定与证明 [例3] 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.求证：数列{an}成等比数列． 【证明】　根据题意，数列{an}满足Sn＝3an＋2，① 当n＝1时，有S1＝3a1＋2， 所以a1＝－1， 当n≥2时，因为Sn＝3an＋2， 所以Sn－1＝3an－1＋2，② 返回导航 返回导航 返回导航 [跟踪训练3] 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4. (1)证明：数列{an＋4}是等比数列； 返回导航 (2)求数列{an}的通项公式． 解：由(1)知an＋4＝2n，所以an＝2n－4. 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 36 √ 1．(教材P36练习AT4改编)已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则公比q＝(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 解析：依题意a4＝a1q3＝q3＝－8，解得q＝－2.故选D. 返回导航 √ A．a1>0 B．q>0 C．a1q>0 D．a1(q－1)>0 解析：由题意知，递增的等比数列包括两种情况：当a1>0时，q>1或当a1<0时，0<q<1.故q>0，a1(q－1)>0，故选BD. √ 返回导航 27 返回导航 4．已知各项均不为零的数列{an}的前n项的和为Sn，且满足a1＝4，Sn＋1＝4Sn＋4(n∈N＋).求数列{an}的通项公式． 解：因为Sn＋1＝4Sn＋4，当n≥2时，Sn＝4Sn－1＋4，两式相减得an＋1＝4an，由S2＝a1＋a2＝4a1＋4得a2＝16，即a2＝4a1，满足上式，因此∀n∈N＋，an＋1＝4an，于是数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，an＝4×4n－1＝4n，所以数列{an}的通项公式是an＝4n. 返回导航 1．已学习：等比数列的概念，等比数列的通项公式以及等比数列的判断与证明． 2．须贯通：(1)等比数列的通项公式及基本计算，通过建立关于a1和q 的方程(组)，求出a1，q后再求an；(2)等比数列单调性问题，不仅与公比q有关，更与各项的符号密切相关． 返回导航 $