6.3 利用导数解决实际问题 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．某油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8 B． C．－1 D．－8 解析：选C.由题意得，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为0≤x≤5，所以当x＝1时，f′(x)取最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1. 故选C. 2．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(　　) A．30 B．40 C．50 D．45 解析：选B.V′(x)＝x(60－x)－x2 ＝－x2＋60x ＝－(x2－40x) ＝－x(x－40)(0<x<60)， 当x∈(0，40)时，V′(x)>0，V(x)单调递增， 当x∈(40，60)时，V′(x)<0，V(x)单调递减， 所以当x＝40时，V(x)取得最大值．故选B. 3．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量y(单位：件)与商品售价x(单位：元)的关系为y＝e－x，则当此商品的利润最大时，该商品的售价x＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选A.根据题意可得利润函数f(x)＝(x－4)e－x，f′(x)＝e－x－(x－4)e－x＝(5－x)e－x， 当x>5时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当0<x<5时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x＝5时，函数f(x)取最大值， 即此商品的利润最大．故选A. 4．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元．销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万斤)满足y＝－x3＋ax2＋x(a为常数)，若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　) A．7万斤 B．8万斤 C．9万斤 D．10万斤 解析：选B.设销售利润为g(x)， 则g(x)＝－x3＋ax2＋x－2－x ＝－x3＋ax2－2(0<x≤10). 因为g(3)＝－×33＋a×32－2＝，所以a＝2， 则g(x)＝－x3＋2x2－2， 因为g′(x)＝－x2＋4x＝－x(x－8)， 所以当x∈(0，8)时，g′(x)>0； 当x∈(8，10]时，g′(x)<0， 故函数g(x)在(0，8)上单调递增，在(8，10]上单调递减， 所以当x＝8时，函数g(x)取得最大值．所以要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤．故选B. 5．(多选)如图，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户的面积为S，为使窗户的周长最小，用料最省，那么(　　) A．圆的半径应为3 B．圆的半径应为 C．矩形的高应为 D．矩形的高应为 解析：选BD.设圆的半径为x，矩形的高为h， 则窗户的面积为S＝x2＋2hx， 所以h＝， 所以窗户的周长为l(x)＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋， l′(x)＝＋2－，令l′(x)＝0， 解得x＝(负值已舍去)， 易知当x＝时，窗户的周长最小，用料最省， 此时h＝＝＝.故选BD. 6．已知某商品的成本C和销量q满足关系式C＝50 000＋200q，该商品的销售单价p和销量q满足关系式p＝24 200－q2，则当销量q为________时，利润最大． 解析：由题意可知，设利润为f(q)，则f(q)＝q－(50 000＋200q)＝－q3＋24 000q－50 000(q≥0)，而f′(q)＝－q2＋24 000，当0<q<200时，f′(q)>0，当q>200时，f′(q)<0，即f(q)在(0，200)上单调递增，在(200，＋∞)上单调递减，所以当q＝200时，利润最大． 答案：200 7．边长为1的正三角形被平行于一边的直线分成一个小的正三角形和一个等腰梯形，记等腰梯形的周长为c，面积为S，则的最小值为_________． 解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3－x，可得W＝＝＝·，0<x<1， 则W′＝·， 令W′＝0，因为0<x<1，可得x＝， 当0<x<时，W′<0，W单调递减； 当<x<1时，W′>0，W单调递增， 所以当x＝时，W取得极小值，也为最小值，且最小值为. 答案： 8．已知泳池深度为2 m，其容积为2 500 m3，如果池底的维修费用为150元/m2.设入水处的较短池壁长度为x m，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为k(k>0)，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时，x的值为________． 解析：由题意知，池底面积为＝1 250(m2)， 则池底维修费用为1 250×150＝187 500(元). 因为x表示较短池壁长度， 所以0<x<，解得0<x<25， 所以池壁的总维修费用表达式为f(x)＝2×x＋＝x＋(0<x<25)， 所以f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，解得x＝25， 所以当x∈(0，25)时，f′(x)<0； 当x∈(25，25)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，25)上单调递减， 在(25，25)上单调递增， 所以当x＝25时，f(x)取得最小值，又池底的维修费用是定值，所以当f(x)取最小值时，泳池的总维修费用最低． 答案：25 9．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为A，B，底面半径为R.若AB＋3R＝9，则该几何体的体积最大时，以R为半径的球的体积为(　　) A．4π B．8π C． D．16π 解析：选C.由题意可知该几何体的体积为V＝πR2·AB＝πR2(9－3R)＝π(－R3＋3R2)，0＜R＜3， 令f(R)＝π(－R3＋3R2)，则f′(R)＝π(－3R2＋6R)， 令f′(R)＝0，得R＝2(R＝0舍去)， 则当0<R<2时，f′(R)>0，f(R)单调递增； 当2＜R＜3时，f′(R)<0，f(R)单调递减， 故当R＝2时，f(R)取得最大值， 此时该几何体的体积最大． 则以2为半径的球的体积为πR3＝π×23＝.故选C. 10．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.要使矩形广告牌的面积最小，广告牌的高与宽的尺寸比值为(　　) A．4∶5 B．5∶4 C．(20＋60)∶(25＋60) D．(25＋60)∶(20＋60) 解析：选A.设广告牌的高和宽分别为x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为(x－20) cm， cm，其中x>20，y>25， 则两栏面积之和为2×(x－20)×＝18 000， 可得y＝＋25， 则广告牌的面积S＝xy＝x×(＋25)＝＋25x，x>20， 设f(x)＝＋25x，x>20， 则f′(x)＝， 令f′(x)＝0，解得x＝140(负值已舍去)， 当x∈(20，140)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(140，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以当x＝140时， 函数f(x)取得极小值，即为S的最小值， 此时y＝＋25＝175， 所以广告牌的高与宽的尺寸比值为140∶175， 即广告牌的高与宽的尺寸比值为4∶5.故选A. 11．(多选)高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分(不考虑瓶子的成本的前提下)，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.下面结论正确的有(注：1 mL＝1 cm3，利润可为负数)(　　) A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6 cm时，利润最大 C．半径为2 cm时，利润最小 D．半径为3 cm时，制造商不获利 解析：选BCD.由已知，每个瓶子的利润为f(r)＝0.2×r3－0.8πr2＝，r∈(0，6]， 则f′(r)＝(r2－2r)＝r(r－2)， 所以当r∈(0，2)时，f′(r)<0，函数f(r)单调递减，故A错误； 又当r∈(2，6]时，f′(r)>0，函数f(r)单调递增， 又f(0)＝0，f(6)＝， 则当r＝6时，函数f(r)取得最大值，故B正确； 当r＝2时，函数f(r)取得最小值，故C正确； 又f(3)＝＝0，故D正确． 故选BCD. 12．(15分)某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)近似满足关系式f(x)＝＋b(x－6)2，其中，3<x<6，a，b为常数，已知销售价格为4.5元/千克时，每日可售出22千克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克． (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大．(9分) 解：(1)由题意可知，当x＝4.5时，f(x)＝22， 当x＝5时，f(x)＝11， 即解得 所以f(x)＝＋8(x－6)2，x∈(3，6). (2)设每日销售该商品获利h(x)元，则 h(x)＝(x－3) ＝6＋8(x3－15x2＋72x－108)， 则h′(x)＝24(x2－10x＋24)＝24(x－4)(x－6)， 令h′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)， 所以当x∈(3，4)时，h′(x)>0，h(x)为增函数； 当x∈(4，6)时，h′(x)<0，h(x)为减函数， 所以当x＝4时，h(x)取得最大值， h(x)max＝h(4)＝38， 所以销售价格定为4元/千克，商家每日获利最大． 13.(15分)某市城郊有一块由3条公路围成的不规则的土地，其平面图形如图1所示．市政府准备在此地块上规划一个体育馆．建立如图2所示的平面直角坐标系，函数f(x)的图象由曲线OA和线段AB构成，已知曲线OA可看成函数f(x)＝kx2的一部分，线段OB＝6(单位：百米)，体育馆平面图形为直角梯形BCDE(如图2所示)，∠BCD＝，BC∥DE.(参考数据：≈10) (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)在线段OB上是否存在点C，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点C到原点O的距离；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)由题意，因为A(2，4)在曲线f(x)＝kx2上， 即f(2)＝4k＝4，解得k＝1， 所以f(x)＝x2，0≤x≤2. 又因为A(2，4)，B(6，0)在线段AB所在的直线上， 所以线段AB所在直线的方程为 y－4＝(x－2)，2≤x≤6， 所以y＝－x＋6，2≤x≤6. 所以函数的解析式为f(x)＝ (2)由题意及(1)得， f(x)＝ 设C点坐标为(t，0)，则D(t，t2). 又t2＝－x＋6，x＝6－t2， 所以E点坐标为(6－t2，t2)， 所以直角梯形BCDE的面积 S(t)＝[(6－t2－t)＋(6－t)]·t2， 即S(t)＝(－t4－2t3＋12t2)(0<t<2)， 所以S′(t)＝－2t3－3t2＋12t＝－t(2t2＋3t－12). 令S′(t)＝0， 解得t＝≈(0和负值已舍去). 当0<t<时，S′(t)>0； 当<t<2时，S′(t)<0. 所以S(t)在上单调递增，在上单调递减． 所以当t＝时，函数S(t)取得最大值． 故在线段OB上存在点C，使体育馆平面图形面积最大，且点C到原点O的距离约为百米． 学科网（北京）股份有限公司 $