6.3 利用导数解决实际问题（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，则当利润最大时，每件商品的定价为(　　) A．105元　　　　　　　 B．110元 C．115元 D．120元 解析　由题意，知0<x<200， 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000， S′(x)＝－2x＋230，令S′(x)＝0，得x＝115， 当0<x<115时，S′(x)>0；当115<x<200时，S′(x)<0， ∴x＝115时利润最大． 答案　C 2．某油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8 B． C．－1 D．－8 解析　由题意得，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∵0≤x≤5，∴当x＝1时，f′(x)取最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1. 答案　C 3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________. 解析　设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3. 当0<r<3时，S′<0；当r>3时，S′>0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省． 答案　3 4．某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C＝1 200＋x3，P＝，则当x＝________时，总利润最高. 解析　设总利润为L(x)万元，由题意得 L(x)＝x·－1 200－x3＝－x3＋500－1 200(x>0)，则L′(x)＝－x2＋， 令L′(x)>0，得0<x<25；令L′(x)<0，得x>25， 所以L(x)在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x＝25时，总利润最高． 答案　25 5．用铁皮围成一个容积为8 m3的有盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为________m2.(注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计) 解析　设该正四棱柱形水箱底面边长为x m，则高为 m，设需用铁皮的面积为y m2， 则y＝2x2＋x××4＝2x2＋(x>0)， 由y＝2x2＋，得y′＝4x－＝， 当x∈(0，2)时，y′<0，当x∈(2，＋∞)时，y′>0， 所以函数y＝2x2＋在区间(0，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增， 故当x＝2时，函数y＝2x2＋取得最小值，最小值为24，即需用铁皮的面积至少为24 m2. 答案　24 6．(2024·上海静安高二期中)如果有一张长80 cm、宽50 cm的环保板材，先在它的四个角上截去边长为x cm的四个小正方形，做一只无盖长方体容器(允许剪切与焊接，焊接处理厚度与损耗不计). (1)写出容积y关于x的函数y＝f(x)，并写出该函数的定义域； (2)当x为何值时，函数y＝f(x)有最大值，并求出此最大值． 解析　(1)依题意，f(x)＝(80－2x)(50－2x)x＝4x3－260x2＋4 000x， 由解得0<x<25， 所以f(x)的定义域为(0，25). (2)f′(x)＝12x2－520x＋4 000＝4(3x－100)(x－10)， 当0<x<10时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当10<x<25时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以当x＝10时，f(x)取到最大值，且最大值为f(10)＝18 000(cm3). [关键能力·综合提升] 7．将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析　 如图△ABC的三边长都为1 m，DE∥BC， 设DE＝x m(0＜x＜1). 则S＝(0＜x＜1). ∴S′＝， 由S′＝0，得x＝3(舍)或x＝. 由于0＜x＜1， ∴当x＝时，S取得最小值，且Smin＝. 答案　A 8．(多选)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1 000件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有(　　) A．年产量为9 000件 B．年产量为10 000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 解析　设年利润为W. 当0<x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10，W′＝8.1－. 令W′＝0，得x＝9(舍负)， 且当x∈(0，9)时，W′>0； 当x∈(9，10]时，W′<0，所以当x＝9时，年利润W取得最大值38.6； 当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，W′＝－2.7. 令W′＝0，得x＝(舍负)， 所以当x＝时，年利润W取得最大值38. 因为38.6>38，所以当年产量为9 000件时， 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元． 答案　AD 9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8，x∈(0，120].已知甲、乙两地相距100千米，则当汽车以______千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 解析　当汽车的速度为x千米/时，从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为ω升， 则ω＝·＝x2＋－，x∈(0，120]， ω′＝x－＝，x∈(0，120]， 令ω′＝0，则x＝80. 故当x∈(0，80)时，ω′<0，函数ω单调递减； 当x∈(80，120]时，ω′>0，函数ω单调递增． 所以当x＝80时，ω取得最小值，即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 答案　80 10．某一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成(如图1).每座帐篷的体积为54π m3，且分上、下两层，其中上层是半径为r(r≥1)(单位：m)的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体(如图2).经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元． (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 解析　(1)由题意可得πr3＋πr2h＝54π，所以h＝－r，所以y＝(2πr2×2＋2πr2×3＋2πrh×3)×10＝100πr2＋60πr×， 即y＝60π×； 因为r≥1，h>0，所以－r>0，则1≤r<3. 所以定义域为{r|1≤r<3}． (2)设f(r)＝r2＋，1≤r<3， 则f′(r)＝2r－，令f′(r)＝0，解得r＝3， 当r∈[1，3)时，f′(r)<0，f(r)单调递减； 当r∈(3，3)时，f′(r)>0，f(r)单调递增， 所以当r＝3时，f(r)取极小值也是最小值， 且f(r)min＝27，此时总费用最小，为60π×27＝1 620π千元． 答：当半径r为3 m时，建造费用最小，最小为1 620π千元． [核心价值·探索创新] 11．河道水质在线监测COD传感器是针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，可进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E＝kv2t，其中v为传感器在静水中行进的速度(单位：km/h)，t为行进的时间(单位：h)，k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km/h，则该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量的最小值为______． 解析　由题意，该传感器在水中逆流行进10 km所用的时间t＝(v>3)，则所消耗的能量 E＝kv2·(v>3).E＝kv2· ＝10k·(v>3)， 求导得E′＝10k·， 令E′＝10k·＝0，得v＝6， 当3<v<6时，E′<0，E＝kv2·单调递减； 当v>6时，E′>0，E＝kv2·单调递增， 所以当v＝6时，E＝kv2·取得最小值，为k×62×＝120k. 答案　120k 学科网（北京）股份有限公司 $