6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知函数f(x)＝cos 2x，则f(x)的导数f′(x)＝　(　　) A．sin 2x　　　　　 B．2sin 2x C．－sin 2x D．－2sin 2x 解析：选D.f′(x)＝(cos 2x)′＝－sin 2x·(2x)′＝－2sin 2x.故选D. 2．设f(x)＝ln (3x＋2)＋3x2，则f′(0)＝(　　) A．1　　　 B． C．－1　　　 D．－2 解析：选B.f′(x)＝＋6x， 故f′(0)＝＋0＝. 3．已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝　(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选B.由题得f′(x)＝(x＋1)ex－a，所以f′(a)＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f(x)＝xex-2，可得f(2)＝2×e2-2＝2，所以切点为(2，2)，将(2，2)的坐标代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.故选B. 4．某研究所发现湿地中某种生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型N(t)＝刻画，其中r是该种群的内禀增长率，若r＝0.08，则t＝0时，N(t)的瞬时变化率为(　　) A．0.02 B．0.03 C．0.04 D．0.06 解析：选C. 当r＝0.08时，N(t)＝， 则N′(t)＝， 则t＝0时，N(t)的瞬时变化率为N′(0)＝＝0.04.故选C. 5．已知曲线y＝x＋k ln (1＋x)在x＝1处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则实数k的值为(　　) A．4 B．2 C．－3 D．－6 解析：选B.因为y′＝1＋， 可得当x＝1时，y′＝1＋， 即曲线y＝x＋k ln (1＋x)在x＝1处的切线斜率为1＋， 且直线x＋2y＝0的斜率为－， 则－(1＋)＝－1，解得k＝2.故选B. 6．(多选)已知曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为(　　) A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4 C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4 解析：选AB.y′＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，当x＝0时，y′＝2, 所以曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0， 设直线l：2x－y＋t＝0(t≠1)， 依题意得＝， 解得t＝6或t＝－4， 所以直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.故选AB. 7．函数y＝是由________________两个函数复合而成的． 解析：函数y＝是由y＝和u＝sin x两个函数复合而成的． 答案：y＝和u＝sin x 8．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(0)·e2x-1＋(e－2)x，则f(1)＝________． 解析：由f(x)＝f′(0)·e2x-1＋(e－2)x， 得f′(x)＝2f′(0)·e2x-1＋e－2， 令x＝0，则f′(0)＝2f′(0)·e-1＋e－2， 解得f′(0)＝e，所以f(x)＝e2x＋(e－2)x， 所以f(1)＝e2＋e－2. 答案：e2＋e－2 9．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln (3x－m)相切，则实数m＝________． 解析：设切点坐标为(x0，ln (3x0－m))， 由y＝ln (3x－m)， 得y′＝， 所以即 解得m＝ln . 答案：ln 10．(13分)求下列函数的导数： (1)y＝；(6分) (2)y＝x sin (2x＋)cos (2x＋).(7分) 解：(1)y′＝′ ＝ ＝ ＝ ＝. (2)因为y＝x sin (2x＋)cos (2x＋) ＝x sin (4x＋π)＝－x sin 4x， 所以y′＝(－x)′sin 4x＋(－x)(sin 4x)′ ＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2x cos 4x. 11．(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　) A．　　　　　 B． C．　　　 D． 解析：选CD.因为y＝， 所以y′＝＝＝. 因为ex>0，所以ex＋≥2，当且仅当x＝0时取等号， 所以y′∈[－1，0)， 所以tan α∈[－1，0). 又因为α∈[0，π)，所以α∈. 故选CD. 12．若曲线y＝ln 的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围是________． 解析：设切点为，由y＝ln ， 所以y′＝，且过切点的直线为y＝ex＋b， 所以 整理得b＝ae－2，因为b>0， 所以a>， 所以a＋＝a＋＝a＋≥2＝2， 当且仅当a＝，即a＝1时取等号， 故所求取值范围为[2，＋∞). 答案：[2，＋∞) 13．(15分)已知函数f(x)＝sin2x＋sin2x. (1)求f′(x)；(5分) (2)求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．(10分) 解：(1)f′(x)＝2sin x cos x＋2cos 2x＝sin 2x＋2cos 2x. (2)由(1)知f′()＝1，f()＝， 得切线方程为y＝x－＋， 当x＝0时，y＝－， 当y＝0时，x＝－， 所以所围成的三角形的面积S＝＝. 14．(15分)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，求实数a的取值范围． 解：因为f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)， 所以f(1)＝a， 所以f′(x)＝2ax－， 所以f′(1)＝2a－2， 所以切线l的方程为y－a＝(2a－2)(x－1)， 即(2a－2)x－y＋2－a＝0， 因为直线l与圆C：x2＋y2＝相交， 所以圆心(0，0)到直线l的距离小于半径， 即d＝<，化简得a>， 所以实数a的取值范围是(，＋∞). 15．(多选)(2025·北京期末)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 解析：选ABC.对于A，f(x)＝sin x＋cos x， 则f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，在(0，)上恒有f″(x)＜0， 所以f(x)在(0，)上是凸函数，故A符合题意； 对于B，f(x)＝ln x－2x， 则f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在(0，)上恒有f″(x)＜0， 所以f(x)在(0，)上是凸函数，故B符合题意； 对于C，f(x)＝－x3＋2x－1， 则f′(x)＝－3x2＋2， f″(x)＝－6x，在(0，)上恒有f″(x)＜0， 所以f(x)在(0，)上是凸函数，故C符合题意； 对于D，f(x)＝－xe－x， 则f′(x)＝－e－x－xe－x·(－1)＝－e－x(1－x)， f″(x)＝(2－x)e－x，在(0，)上恒有f″(x)＞0， 所以f(x)在(0，)上不是凸函数，故D不符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $