6.1.4 第1课时 导数的四则运算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

6.1.4 第1课时 导数的四则运算 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列求导运算错误的是 （　　） A.'=1+ B.（log2x）'= C.（3x）'=3x D.（x2cos x）'=-2xsin x 答案：ACD 2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2（g=10 m/s2），当t=5 s时，该质点的瞬时速度为 （　　） A.20 m/s B.25 m/s C.10 m/s D.15 m/s 解析：选C　因为s'=60-gt，所以当t=5 s时，s'=60-5g=10 m/s.故选C. 3.曲线f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）在原点处的切线方程为 （　　） A.y=-6x B.y=-3x C.y=3x D.y=6x 解析：选A　因为f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），所以f'（x）=（x-1）（x-2）（x-3）+x·[（x-1）（x-2）（x-3）]'，所以f'（0）=（-1）×（-2）×（-3）+0=-6，所以切线方程为y=-6x. 4.已知曲线y=在点（0，a）处的切线方程为y=x+b，则a+b= （　　） A.2 B.e C.3 D.2e 解析：选A　根据导数的运算公式y'==，当x=0时，y'=2-a，∴2-a=1，即a=1.∵（0，1）在切线y=x+b上，即b=1，∴a+b=2.故选A. 5.已知f（x）=ax2+ln x，且=6.若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线bx+ay+1=0垂直，则a+b= （　　） A. B. C. D.0 解析：选A　依题意，=2×=2f'（1）=6，f'（1）=3，则-×3=-1，a=3b.又f（x）=ax2+ln x，f'（x）=2ax+，f'（1）=2a+1=3，a=1，所以b=，所以a+b=.故选A. 6.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：===ex=e0=1，则= （　　） A. B. C.1 D.2 解析：选B　由题意得====，故选B. 7.函数f（x）=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是 （　　） A.（-∞，-2] B.（-∞，2） C.（2，+∞） D.（0，+∞） 解析：选B　函数f（x）=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，即f'（x）=2在（0，+∞）上有解.所以f'（x）=+a=2在（0，+∞）上有解，则a=2-.因为x>0，所以2-<2，所以a的取值范围是（-∞，2）. 8.（5分）已知函数f（x）=（x-98）（x-99），则f'（99）=　　　　.  解析：由函数f（x）=（x-98）（x-99），可得f'（x）=2x-197，所以f'（99）=2×99-197=1. 答案：1 9.（5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=f'cos x+2x，则f'=　　　　.  解析：∵f（x）=f'cos x+2x，∴f'（x）=-f'sin x+2，∴f'=-f'sin+2，∴f'=1. 答案：1 10.（5分）（2025·全国Ⅰ卷）若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=　　　　.  解析：y'=ex+1，令y'=ex+1=2⇒x=0， 代入y=2x+5⇒切点为（0，5）， 再将（0，5）代入y=ex+x+a⇒a=4. 答案：4 11.（5分）（2024·新课标Ⅰ卷）若曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y=ln（x+1）+a的切线，则a=　　　　　　　.  解析：由y=ex+x得y'=ex+1，当x=0时，y'=e0+1=2，故曲线y=ex+x在（0，1）处的切线方程为y=2x+1.由y=ln（x+1）+a得y'=， 设切线与曲线y=ln（x+1）+a相切的切点为（x0，ln（x0+1）+a），由两曲线有公切线得y'==2，解得x0=-，则切点为， 切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2， 根据两切线重合，所以a-ln 2=0，解得a=ln 2. 答案：ln 2 12.（5分）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为　　　　m/s.  解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r，=，即r=.因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt，即h=4，h'（t）=4×，所以当t=1时，h'（1）=. 即水面上升的速度为 m/s. 答案： 13.（10分）求下列函数的导数： （1）y=-ln x；（2分） （2）y=（x2+1）（x-1）；（2分） （3）y=；（3分）（4）y=.（3分） 解：（1）y'=（-ln x）'=（）'-（ln x）'=-. （2）y'=[（x2+1）（x-1）]'=（x3-x2+x-1）'=（x3）'-（x2）'+（x）'-（1）'=3x2-2x+1. （3）y'==. （4）y'= =. 14.（10分）已知函数f（x）=ln x+ax2+x（a∈R），且f'（1）=4. （1）求a的值；（4分） （2）求函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程.（6分） 解：（1）由f（x）=ln x+ax2+x，得f'（x）=+2ax+1，又f'（1）=4，所以1+2a+1=4，解得a=1. （2）由a=1，得f（x）=ln x+x2+x，所以f（2）=ln 2+6，即切点为（2，ln 2+6）， 又切线的斜率为k=f'（2）=， 所以函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln 2+6）=（x-2），即11x-2y+2ln 2-10=0. 15.（15分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的导数，若f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”. 现已知f（x）=x3-3x2+2x-2. 请解答下列问题： （1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（5分） （2）求证：f（x）的图象关于“拐点”A对称.（10分） 解：（1）∵f'（x）=3x2-6x+2，f″（x）=6x-6， ∴令f″（x）=6x-6=0，得x=1.有f（1）=1-3+2-2=-2，∴“拐点”A为（1，-2）. （2）证明：设P（x0，y0）是y=f（x）图象上任意一点，则y0=-3+2x0-2. P（x0，y0）关于“拐点”A（1，-2）的对称点为P'（2-x0，-4-y0）. 把点P'坐标代入y=f（x）得左边=-4-y0=-+3-2x0-2，右边=（2-x0）3-3（2-x0）2+2（2-x0）-2=-+3-2x0-2， ∴左边=右边， ∴点P'（2-x0，-4-y0）在y=f（x）的图象上. ∴y=f（x）关于“拐点”A对称. 学科网（北京）股份有限公司 $