第5章 章末综合检测(一)数列（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第(　　) A．20项 B．21项 C．22项 D．23项 解析：选D.已知数列1，，，，…，，则该数列的通项公式为an＝，若＝3＝，即2n－1＝45，解得n＝23，则3是这个数列的第23项． 2．已知{an}是等差数列，a6＝8，a8＝6，则a14＝(　　) A．－14 B．－6 C．0 D．14 解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，则a8－a6＝2d＝－2， 解得d＝－1，所以a14＝a8＋6d＝6－6＝0. 3．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝(　　) A．398 B．388 C．189 D．199 解析：选C.由题意可得a＝a3a8， 即(2＋4d)2＝(2＋2d)(2＋7d)， 整理得d2－d＝0，又d≠0，所以d＝1. 故S18＝18×2＋×18×17×1＝189. 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝27，则a6＝(　　) A．27 B．81 C．243 D．729 解析：选C.由已知得 解得即公比q＝＝3， 所以a6＝a1q6－1＝1×35＝243. 5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3＋t·4n－1，则t＝(　　) A．－12 B．－3 C．3 D．12 解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，不合题意； 当q≠1时，等比数列{an}的前n项和为Sn＝＝－·qn＋， 依题意Sn＝3＋t·4n－1＝·4n＋3， 所以＋3＝0，解得t＝－12. 6．在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9(单位：L)依次成等差数列，若a1＋a2＋a3＝3，a8＝0.4，则a1＋a2＋…＋a9＝(　　) A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5 解析：选B.因为a1，a2，…，a9依次成等差数列，a1＋a2＋a3＝3，所以3a2＝3，即a2＝1，又a8＝0.4， 则a1＋a2＋…＋a9＝＝＝＝6.3. 7．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．(1－4－n) D．(1－2－n) 解析：选C.设数列{an}的公比为q. 由a3＝1，a6＝，得＝q3＝，故q＝， 则a1＝＝4，a2＝a1q＝2，所以an＝a1qn－1＝4×＝，所以anan＋1＝·＝.所以＝，n≥2，n∈N＋，所以数列{anan＋1}是首项为a1a2＝4×2＝8，公比为的等比数列．所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n). 8．已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋a8＝1，且＝(n＝1，2，…，7)，则a1＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为＝，则an＝a1···…·＝a1···…·＝·a1＝2a1(－)(n＝2，…，7，8)，当n＝1时，a1＝2a1＝a1，符合上式，故an＝2a1(n＝1，2，…，7，8)，所以a1＋a2＋…＋a8＝2a1[＋＋…＋]＝2a1(1－)＝＝1，解得a1＝. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝9n－n2，则下列说法正确的是(　　) A．{an}是递减数列 B．a10＝－14 C．当n>5时，an<0 D．当n＝4或n＝5时，Sn取得最大值 解析：选ACD.由数列{an}的前n项和为 Sn＝9n－n2， 得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋10， 又因为a1＝S1＝8＝－2×1＋10，符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝－2n＋10. 对于A，由an＋1－an＝－2<0，即an＋1<an，可得数列{an}是递减数列，故A正确； 对于B，a10＝－2×10＋10＝－10，故B错误； 对于C，令an＝－2n＋10<0，得n>5，故C正确； 对于D，因为函数y＝9x－x2的图象开口向下，对称轴为直线x＝， 又因为n是正整数，所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最大值，故D正确． 10．已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若a1＋a2＝12，且a1，a2＋6，a3成等差数列，则下列说法正确的有(　　) A．S4＝120 B．an＝3n C．q＝3 D．an＋an＋1>an＋2 解析：选ABC.因为a1，a2＋6，a3成等差数列，所以2(a2＋6)＝a1＋a3.又a1＋a2＝12，所以2(12－a1＋6)＝a1＋a3，整理可得3a1＋a3＝3a1＋a1q2＝36， 所以＝＝＝，解得q＝0(舍去)或q＝3，故C正确； 由a1＋a2＝12得a1＋3a1＝12，解得a1＝3，所以an＝3×3n－1＝3n，故B正确； 因为Sn＝＝，所以S4＝＝120，故A正确； 因为an＋an＋1＝3n＋3n＋1＝4×3n，an＋2＝3n＋2＝9×3n， 所以an＋an＋1<an＋2，故D错误． 11．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N＋)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N＋)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　) A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn－1 C．Tn>an D．Tn<bn＋1 解析：选BD.因为点(n，Sn＋3)在函数y＝3×2x的图象上， 所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1， 又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式， 所以an＝3×2n－1. 设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1， 可得b1＝1，q＝2， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1. 由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1. 对于A，Sn＝3×2n－3≠2Tn＝2×2n－2，故A错误；对于B，2bn－1＝2n－1＝Tn，故B正确；对于C，Tn－an＝2n－1－3×2n－1＝－－1<0，故Tn<an，故C错误；对于D，Tn－bn＋1＝2n－1－2n＝－1<0故Tn<bn＋1故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知在数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2都有a1a2a3·…·an＝n2，则an＝___________________________. 解析：当n≥2时， an＝＝， 因为a1＝1不符合上式， 所以an＝ 答案： 13．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝____________． 解析：依题意知，a1＝2，a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，进行累加求和得当n≥2时，an＝2n，当n＝1时，a1＝2，上式成立．故数列{an}的前n项和Sn＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＝2×＝n2＋n. 答案：n2＋n 14．在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，令an＝log3Tn，则数列{an}的通项公式是____________． 解析：设这n＋2个数构成的等比数列的公比为q，则3＝1×qn＋1，即qn＋1＝3， 所以Tn＝1×q×q2×…×qn×3＝3q＝3(qn＋1)＝3＋1，所以an＝log3Tn＝＋1. 答案：an＝＋1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)求Sn，并求Sn的最小值．(7分) 解：(1)设{an}的公差为d， 由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝－7＋2(n－1)＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 16．(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－n(n∈N＋). (1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(7分) (2)数列bn＝log2(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.(8分) 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1， 解得a1＝1， 由已知得Sn＝2an－n①，当n≥2时， Sn－1＝2an－1－(n－1)②， ①－②得，an＝2an－1＋1(n≥2)， 所以an＋1＝2(an－1＋1)，又a1＋1＝2≠0，所以＝2， 所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知数列{an＋1}的通项公式为an＋1＝2×2n－1＝2n， 所以bn＝log2(an＋1)＝n，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以数列{bn}的前n项和Tn＝＝. 17．(本小题满分15分)已知无穷等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号为被4除余3的项组成数列{bk}． (1)求b1和b2及{bk}的通项公式；(9分) (2){bk}中的第110项是{an}中的第几项？(6分) 解：(1)因为a1＝3，d＝－5， 所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n. 因为数列{an}中序号能被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…. 所以{bk}的首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. 设{an}中的第m项是{bk}的第k项，即bk＝am， 则m＝3＋4(k－1)＝4k－1(k∈N＋)， 所以bk＝am＝a4k－1＝8－5(4k－1)＝13－20k(k∈N＋). 所以{bk}是等差数列，其通项公式为bk＝13－20k(k∈N＋). (2)因为b110＝13－20×110＝－2 187， 设它是{an}中的第l项， 则－2 187＝8－5l， 则l＝439，所以b110是{an}中的第439项． 18．(本小题满分17分)已知正项等比数列{an}，其前n项和为Sn，且满足S3＝7，a1，a3，a2＋5成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；(7分) (2)若数列{bn}满足：对任意正整数n，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝n2－4n均成立，求数列{bn}的最大项的值．(10分) 解：(1)因为a1，a3，a2＋5成等差数列， 所以2a3＝a1＋a2＋5， 又{an}是正项等比数列，设公比为q， 则 解得q＝2或q＝－(舍去)，故a1＝1， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)当n＝1时，a1b1＝－3， 当n≥2时，anbn＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5， 又2×1－5＝－3＝a1b1，符合上式， 所以anbn＝2n－5，从而bn＝＝， 又bn＋1－bn＝－＝， 故当n<且n∈N＋时，数列{bn}递增，即b1<b2<b3； 当n≥且n∈N＋时，数列{bn}递减， 即b4>b5>b6>…. 又b3＝，b4＝， 所以数列{bn}的最大项的值为b4＝. 19．(本小题满分17分)已知一个n行n列的数阵，它的每一行都是等差数列，且第一行的首项和公差均为1，每一列都是公比为2的等比数列．记bn＝ann，n∈N＋. (1)求数列{bn}的通项公式；(7分) (2)求数列{bn}的前n项和Sn.(10分) 解：(1)由题意，得b1＝a11＝1，该数阵第n行的公差为2n－1， 所以bn＋1＝a(n＋1)(n＋1)＝2an(n＋1)＝2(ann＋2n－1)＝2(bn＋2n－1). 两边同除以2n＋1，得＝＋， 即－＝. 又＝，所以数列是首项和公差均为的等差数列． 所以＝＋(n－1)＝， 即bn＝n·2n－1. (2)由(1)可得Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1， 所以2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n. 两式相减， 得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n， 即－Sn＝－n·2n， 所以Sn＝(n－1)2n＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $