5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知等比数列的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．72 B．81 C．90 D．99 解析：选B.由等比数列的性质， 可得S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)， 即2＝9×， 解得S9－S6＝81，即a7＋a8＋a9＝81. 故选B. 2．设某厂去年的产值为1，从今年起，若该厂计划每年的产值比上年增长8%，则该厂从今年起到第十年的总产值为(　　) A．1.089 B．1.0810 C． D． 解析：选C.因为去年的产值为1，该厂计划每年的产值比上年增长8%，所以从今年起到第十年，该厂这十年的产值构成一个首项为1.08，公比为1.08的等比数列，所以该厂这十年的总产值为.故选C. 3．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝qk(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C. 4．已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 解析：选D.设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＝3S1，又S1＋60＝S2＝3S1，解得S1＝30，S2＝90，故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120. 5．记Sn为数列{an}的前n项和，则“{an}为等比数列”是“(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若{an}是等比数列， 则a2＋a3＋…＋an＋1＝q(a1＋a2＋a3＋…＋an)， a3＋a4＋…＋an＋2＝q(a2＋a3＋…＋an＋1)， 所以(a2＋a3＋…＋an＋1)2＝(a3＋a4＋…＋an＋2)·(a1＋a2＋…＋an)，即(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)，充分性成立． 若(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)，令an＝0，即可满足条件，但{an}不是等比数列，必要性不成立． 所以“{an}为等比数列”是“(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)”的充分不必要条件．故选A. 6．(多选)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，∀m，n∈N＋，Sm＋n＝SmSn，则(　　) A．{an}是等比数列 B．a4＝54 C．a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝38 D．Sn＝3n 解析：选BD.因为a1＝3，∀m，n∈N＋，Sm＋n＝SmSn， 所以Sn＋1＝SnS1＝Sna1＝3Sn，又S1＝3， 所以{Sn}是首项为3，公比为3的等比数列， 所以Sn＝3n，故D正确； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 当n＝1时，a1＝3，不满足上式， 所以an＝故A错误； 因为a4＝2×33＝54，故B正确； 因为a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S4＝39－34>38，故C错误．故选BD. 7．在各项均为正数的等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝________． 解析：设等比数列的公比为q，由题可知q≠±1， 方法一：由已知条件可列出方程组 两式作商得1＋q10＝3，所以q10＝2， 所以S30＝＝(1＋q10＋q20)＝10×＝70. 方法二：由性质Sm＋n＝Sn＋qnSm得S20＝S10＋q10S10， 即30＝10＋10q10，所以q10＝2， 所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70. 方法三：运用性质Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列解答． 因为S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 而S10＝10，S20＝30， 所以2＝S10·， 即2＝10×， 所以S30＝70. 方法四：运用结论＝. 由已知条件S10＝10，S20＝30，易得q≠±1， 所以＝， 即＝， 所以q10＝2. 由＝，解得S30＝70. 答案：70 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋1，则数列{an}的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比值为________． 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2，又a1＝S1＝2，不满足上式，即数列{an}的前10项分别为2，1，2，4，8，16，32，64，128，256，所以数列{an}的前10项中S偶＝＝＝341， S奇＝2＋＝2＋＝172， 所以＝. 答案： 9．“一尺之捶，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识，已知长度为4的线段AB，取AB的中点C，以AC为直径作圆(如图1)，该圆的面积为S1，在图1中取CB的中点D，以CD为直径作圆(如图2)，图2中所有圆的面积之和为S2，以此类推，则Sn＝____________． 解析：由题意可知，S1＝π，后一个圆的半径为前一个圆半径的一半， 故各圆的面积是以π为首项，为公比的等比数列， 故Sn＝＝. 答案： 10．(13分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＝2an－a1. (1)求{an}通项公式；(6分) (2)记bn＝(－1)n－1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.(7分) 解：(1)因为Sn＝2an－a1， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1， 则Sn－Sn－1＝an＝2an－2an－1， 即an＝2an－1，因为a1＝1≠0， 故an≠0，故＝2， 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， 故an＝a1qn－1＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·2n＝， 则＝＝－4，且b1＝2， 所以{bn}是首项为2，公比为－4的等比数列， 故Tn＝＝(或Tn＝[1－(－4)n] ). 11．已知正项等比数列的前n项和为Sn，若S4＝4，则S2＋S6的最小值为(　　) A．8 B．8－4 C．8 D．10 解析：选B.由正项等比数列可知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则2＝S2，又S4＝4，所以S6＝＋S2－4，所以S2＋S6＝＋2S2－4≥8－4，当且仅当＝2S2，即S2＝2时取等号，故S2＋S6的最小值为8－4.故选B. 12．(多选)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋m(m∈R)，则(　　) A．m＝－1 B．等比数列{an}的公比为2 C．an＝2n D．a＋a＋…＋a＝ 解析：选BC.因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1＋m，当n≥2时，Sn－1＝2n＋m，则an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，因此，等比数列{an}的公比为2，当n＝1时，a1＝S1＝4＋m，显然4＋m＝2，则m＝－2，an＝2n，故A错误，B，C正确；而＝＝4，于是得数列{a}是首项为4，公比为4的等比数列，则有a＋a＋…＋a＝，故D错误．故选BC. 13．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________． 解析：设等比数列{an}的公比为q，等比数列{an}的前10项中，所有奇数项的和为S奇，所有偶数项的和为S偶，则S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝q(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝qS奇， 所以q＝＝＝2，又S奇＝＝＝341a1＝，则a1＝，因此，S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2·＝585. 答案：585 14．(15分)在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元；公司B：第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作n年，则第n年的月工资分别为多少？(7分) (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？(1.0510≈1.6)(8分) 解：(1)选择在公司A连续工作n年，第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元，则他第n年的月工资是3 000＋(n－1)×300＝300n＋2 700(元)； 选择在公司B连续工作n年，第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%.则他第n年的月工资是3 720×(1＋0.05)n－1元. (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司A、公司B得到的报酬分别为： 公司A：12×[3 000＋＋…＋] ＝12×3 000×10＋12×300× ＝522 000(元). 公司B：12×3 720×(1＋1.051＋1.052＋…＋1.059)＝12×3 720×≈535 680(元)， 因为535 680>522 000，故从公司B得到的报酬较多. 15．(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且6，2Sn，an成等差数列． (1)求an；(6分) (2)是否存在m∈N＋，使得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1>6am对任意n∈N＋恒成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由．(9分) 解：(1)因为6，2Sn，an成等差数列， 所以4Sn＝an＋6， 因此有4Sn－1＝an－1＋6(n≥2)， 两式相减，得4an＝an－an－1， 即an＝－an－1(n≥2)， 当n＝1时，4S1＝a1＋6，所以a1＝2， 故{an}是以2为首项，－为公比的等比数列， 所以an＝2×(－)n－1. (2)存在．anan＋1＝4×(－)2n－1， 所以题中不等式等价于4[(－)1＋(－)3＋…＋(－)2n－1]>12×(－)m－1， 即>3·(－)m－1， 即(1－)<(－)m－2对∀n∈N＋恒成立， 因为1－<1，且当n→＋∞时1－→1，所以(－)m－2≥，显然m为偶数，当m＝2时不等式成立； 当m≥4时，(－)m－2≤，此时≥无解． 综上，存在m∈N＋，满足题意，m＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $