第5章 专题课 求数列的通项公式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝5an＋12，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A．2n－1 B．5n－2 C．n2－3 D．5n－3 解析：选D.由an＋1＝5an＋12， 得an＋1＋3＝5(an＋3)， 又a1＋3＝5≠0， 则＝5，所以{an＋3}是以5为首项，5为公比的等比数列，所以an＋3＝5·5n－1＝5n，所以an＝5n－3. 2．已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＝Sn＋，则S6＝(　　) A．36 B．45 C．157 D．189 解析：选D.由an＝Sn＋得Sn－Sn－1＝Sn＋(n≥2)，整理得Sn＋3＝2， 由a1＝S1＋得S1＝a1＝3，S1＋3＝6≠0， 故数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以Sn＋3＝6×2n－1，即Sn＝3×2n－3， 所以S6＝3×26－3＝189. 3．已知在数列{an}中，a1＝1且an＋1＝(n∈N＋)，则a10＝(　　) A． B． C．－ D． 解析：选D.由an＋1＝(n∈N＋) 可得＝＋， 即－＝， 所以是以＝1为首项，为公差的等差数列， 所以＝1＋×9＝， 所以a10＝. 4．设数列{an}满足a1＝4，an＋1＝an＋2，则a100＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.在数列{an}中，由an＋1＝an＋2， 得an＋1－3＝(an－3)，而a1－3＝1， 因此数列{an－3}是首项为1，公比为的等比数列，an－3＝1×，即an＝3＋， 所以a100＝. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝Sn＋2n＋1，a1＝2，则Sn＝(　　) A．(n＋1)·2n B．(n＋1)·2n－1 C．n·2n－1 D．n·2n 解析：选D.因为an＋1＝Sn＋2n＋1，则Sn＋1－Sn＝Sn＋2n＋1，整理得－＝1， 又a1＝S1＝2，则＝1，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝n·2n. 6．已知数列{an}满足a1＝8，an＋1＝(n∈N＋)，bn＝，若数列{bn}是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题意，an＋1＝，两边取倒数可化为＝＝＋n，即－＝n，所以－＝1，－＝2，…，－＝n－1，由累加法可得，－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，因为a1＝8，所以＝＋＝，所以bn＝＝，因为数列{bn}是递减数列，故bn<bn－1(n≥2，n∈N＋)，即<，整理可得，λ>＝，因为n≥2，n∈N＋，所以[]max＝＝，故λ∈.故选D. 7．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则下列说法正确的有(　　) A．{Sn}为等比数列 B．{an}为等比数列 C．Sn＝4n－1 D．an＝ 解析：选ACD.由an＋1＝3Sn(n∈N＋)得，当n≥2时，an＝3Sn－1， 两式相减得an＋1－an＝3an， 即an＋1＝4an， 又当n＝1时，a2＝3S1＝3a1＝3， 所以an＝ 所以B错误，D正确； 当n≥2时，Sn＝1＋＝4n－1， 当n＝1时，S1＝1，符合Sn＝4n－1， 所以Sn＝4n－1， 又n≥2时，＝4，所以{Sn}为等比数列，A，C正确． 8．(多选)已知无穷数列{an}的前3项分别为2，4，8，则下列结论正确的是(　　) A．若{an}是等比数列，则an＝2n B．若{an}满足an＋3＝an，则a2 027＝4 C．若{an}满足an＋3＝an，则a2 027＝8 D．若{an}满足an＋1＝2n＋an，则an＝n2－n＋2 解析：选ABD.无穷数列{an}的前3项分别为2，4，8，若{an}是等比数列，则首项为2，公比为2，所以an＝2n，故A正确；若{an}满足an＋3＝an，则该数列是最小正周期为3的周期数列，a2 027＝a3×675＋2＝a2＝4，故B正确，C错误；若{an}满足an＋1＝2n＋an，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，得an＝(2n－2)＋(2n－4)＋(2n－6)＋…＋4＋2＋2＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋2＝2×＋2＝n2－n＋2，故D正确． 9．在数列{an}中，a1＝2，且an＝(n≥2)，则an＝________． 解析：将an＝平方可得a－a＝3，所以{a}是首项为a＝4，公差为3的等差数列， 故a＝4＋3(n－1)＝3n＋1. 因为an＞0，所以an＝. 答案： 10．设数列{an}的前n项和为Sn，若其满足Sn－Sn＋1＝SnSn＋1，且a1＝1，则an＝___________________________. 解析：由Sn－Sn＋1＝SnSn＋1，得－＝1， 所以是以＝＝1为首项，1为公差的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－， 所以an＝ 答案： 11．设数列{an}满足an＋1＝2an＋n－1，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析：已知an＋1＝2an＋n－1， 设an＋1＋An＋B＝2[an＋A(n－1)＋B]， 整理得an＋1＝2an＋An－2A＋B. 与an＋1＝2an＋n－1比较， 得 解得 将其代入所设等式， 得an＋1＋n＋1＝2[an＋(n－1)＋1]， 所以数列{an＋n}为等比数列，公比为q＝2，首项为a1＋1＝2， 所以an＋n＝2·2n－1， 整理得an＝2n－n. 答案：2n－n 12．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上． (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)设点(an，bn)在函数g(x)＝log4x＋1的图象上，求bn.(7分) 解：(1)因为点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，所以Sn＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又a1＝1满足上式， 所以an＝2n－1. (2)由于点(an，bn)在函数g(x)＝log4x＋1的图象上， 所以bn＝log4an＋1， 故bn＝log42n－1＋1＝. 13．(13分)已知正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a4＝64，且anan＋2＝ka(n∈N＋). (1)求k的值；(5分) (2)求数列{an}的通项公式．(8分) 解：(1)当n＝1时，a1a3＝ka，得a3＝4k， 当n＝2时，a2a4＝ka， 即128＝k·(4k)2， 解得k＝2. (2)因为k＝2，所以anan＋2＝2a，又an>0， 则＝2·， 令bn＝，则bn>0， 所以bn＋1＝2bn，则{bn}是等比数列， 因为b1＝＝2，q＝2， 所以bn＝b1qn－1＝2n， 所以＝2n， 则an＝××…××a1＝2n－1×2n－2×…×21×1＝2(n≥2)，当n＝1时，a1＝1满足上式，故an＝2. 14．(15分)已知公比大于1的等比数列{an}满足：a1＋a4＝18，a2a3＝32. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝2bn－an，n∈N＋，证明：是等差数列．(9分) 解：(1)方法一：设公比为q， 因为{an}是等比数列， 所以a2a3＝a1a4＝32， 又a1＋a4＝18，解得或 又q＞1，所以 所以q3＝8，q＝2. 因此an＝a1qn－1＝2n. 方法二：设公比为q， 由等比数列性质得出 解得或 又q＞1，所以 因此an＝a1qn－1＝2n. (2)证明：由(1)得Sn＝2bn－2n， 所以Sn＋1＝2bn＋1－2n＋1， 两式作差可得 Sn＋1－Sn＝2bn＋1－2n＋1－(2bn－2n)， 即bn＋1＝2bn＋1－2n－2bn， 整理得bn＋1－2bn＝2n，n∈N＋. 等式两边同除以2n＋1得，－＝， 即－＝(n∈N＋). 所以数列是公差为的等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $