5.5 数学归纳法 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：选C.由题意知，当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．故选C. 2．用数学归纳法证明“2n≥n2(n∈N＋，n≥4)”时，第二步应假设(　　) A．当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，2k≥k2成立 B．当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，2k≥k2成立 C．当n＝k(k∈N＋，k≥4)时，2k≥k2成立 D．当n＝k(k∈N＋，k≥5)时，2k≥k2成立 解析：选C.根据题意，证明的结论为“2n≥n2(n∈N＋，n≥4)”，所以第二步的假设应为，假设当n＝k(k∈N＋，k≥4)时命题成立，即2k≥k2成立．故选C. 3．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　) A．f＋1 B．f＋k C．f＋k＋1 D．k·f 解析：选B.若要使交点最多，则增加的一条直线和原来的k条直线都相交于不同于原交点的点，则有k个交点，故交点个数最多为f＋k.故选B. 4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除时，从k到k＋1添加的项数共有(　　) A．2项 B．3项 C．4项 D．5项 解析：选D.当n＝k时，则1＋2＋22＋…＋25k－1，当n＝k＋1时，则(1＋2＋22＋…＋25k－1)＋(25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4)，所以从k到k＋1添加的项数共有5项．故选D. 5．某个与自然数有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立，那么，若已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　) A．当n＝4时，该命题不成立 B．当n＝4时，该命题成立 C．当n＝6时，该命题不成立 D．当n＝6时，该命题成立 解析：选A.由题可得当n＝k＋1(k∈N＋)时该命题不成立，则可推得当n＝k时该命题也不成立．所以若当n＝5时该命题不成立，则当n＝4时，该命题也不成立．故选A. 6．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>(n∈N＋)的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个正整数n0＝1 B．使不等式成立的第一个正整数n0＝2 C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 解析：选BC.当n＝1时，可得<；当n＝2时，可得＋＝>；即使不等式成立的第一个正整数n0＝2，故A错误，B正确； 当n＝k(k∈N＋)时，可得＋＋＋…＋； 当n＝k＋1时，可得＋＋…＋＋＋； 两式相减得＋－＝， 所以由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误．故选BC. 7．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)(n∈N＋)”时，第一步验证需证明的命题为____________________________. 解析：根据数学归纳法的证明步骤可知，第一步验证需证明的命题为： 当n＝1时，等式1＋2＋3＝(1＋1)×(2×1＋1)成立． 答案：当n＝1时，等式1＋2＋3＝(1＋1)×(2×1＋1)成立 8．已知存在常数λ，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)(n＋2)(3n＋λ)对n∈N＋都成立，则λ＝________． 解析：由题意当n＝1时，等式成立，即4＝×1×2×3×(3＋λ)，解得λ＝5. 答案：5 9．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________________________________. 解析：当n＝k＋1时，表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2，则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2. 答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)·(k＋2)2 10．(13分)用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2， 则当n＝k＋1时， 右边＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2＝(1＋2＋…＋k)2＋2(1＋2＋…＋k)(k＋1)＋(k＋1)2 ＝13＋23＋…＋k3＋k(k＋1)2＋(k＋1)2 ＝13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝左边，等式成立． 综上，对一切正整数n，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2. 11．已知f(n)是关于正整数n的命题，现在小杰为了证明该命题，已经证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的k∈N＋，在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切n∈N＋均成立，则m的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.由题意可知，f(n)对n＝1，2，3都成立，假设f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，所以m的最大值为3.故选C. 12．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列说法错误的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 解析：选ABC.对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误；对于B，若f(5)≥25成立，由题意只可得出当k≥5时，均有f(k)≥k2成立，故B错误；对于C，因为f(7)<49不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；对于D，若f(4)＝25>16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，故D正确．故选ABC. 13．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋___________________________________. 解析：由f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)， 可得f(k)＝＋＋…＋(k∈N＋)，则 f(k＋1)＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋(＋＋－)，即f(k＋1)＝f(k)＋(＋＋－). 答案：＋＋－ 14．(15分)设n∈N＋，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1. (1)当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值；(7分) (2)你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．(8分) 解：(1)由n∈N＋，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1， 得f(1)＝51＋2×31－1＋1＝8＝8×1； f(2)＝52＋2×32－1＋1＝32＝8×4； f(3)＝53＋2×33－1＋1＝144＝8×18； f(4)＝54＋2×34－1＋1＝680＝8×85. (2)由(1)猜想：当n∈N＋时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除． ①当n＝1时，有f(1)＝51＋2×31－1＋1＝8，能被8整除，命题成立； ②假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，即f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除， 则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝5×5k＋6×3k－1＋1＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)＝f(k)＋4(5k＋3k－1)， 显然5k和3k－1均为奇数，它们的和(5k＋3k－1)必为偶数，从而4(5k＋3k－1)能被8整除，又依归纳假设，f(k)能被8整除，所以f(k＋1)能被8整除，因此当n＝k＋1时命题也成立． 由①②知，当n∈N＋时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除． 15．(15分)是否存在常数a，b，使等式12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝an3＋bn对任意正整数n都成立？证明你的结论． 解：假设存在常数a，b，使得12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝an3＋bn， 所以 解得 即12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n3－n. 证明如下： (1)当n＝1时，12＝×13－×1＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时， 12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k3－k成立， 那么当n＝k＋1(k∈N＋)时， 12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2 ＝k3－k＋(2k＋1)2＝k3＋4k2＋k＋1， 又(k＋1)3－(k＋1)＝(k3＋3k2＋3k＋1)－(k＋1) ＝k3＋4k2＋k＋1， 所以12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2 ＝(k＋1)3－(k＋1)成立． 综上所述，存在常数a＝，b＝－，使等式12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝an3＋bn对任意正整数n都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $