5.5 数学归纳法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

世数学B版 选择性必修第三册 空 数 课时 间 5.5数学归纳法 学 纠错空间 作业 [基础达标练] A.f(n+1)=f(n)+n 1.用数学归纳法证明等式，1+2十3十…+2n=n· B.f(n+1)=f(n)+2m (2n十1)时，由n=k到n=+1时，等式左边 C.f(n+1)=f(n)+n+1 应添加的项是 ( D.f(n+1)=f(n)+n-1 A.2k+1 5.对于不等式n+n<n十1(n∈N),某学生利 B.2k+2 用数学归纳法证明过程如下： C.(2k+1)+(2k+2) (1)当n=1时√/1+1<1+1，不等式成立. D.(k+1)+(k+2)+…+2k (2)假设n=k(k∈N)时，不等式成立，即 2.用数学归纳法证明3"≥n3(n≥3，n∈N*),第 √2+<k+1,则n=k+1时， 一步验证 ( 方法总结 √(k+1)2+(k+1) √R2+3k十2 < A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 √(k2+3k+2)+(k+2)=√(k+2)7=(k+1) 3设S6十中十3十…+云则S1 1 1 十1，∴.当n=+1时，不等式成立，上述证法 () 为 A.过程全都正确 A.S+2k+2 1 B.n=1验证不正确 1 C.归纳假设不正确 1 B.S+2k+1+2k+2 D.从n=k到n=k十1的推理不正确 1 C.S.+2k+12k+2 6.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n 1 1 十n)=2-1·(n2+n)时，从n=k到n=k十1 D.S+2k+2-2k+1 左边需要添加的因式是 4.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两 点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n 7数列a,)中，已知a,=2,a1=27a∈ 个圆把平面分割的区域数，那么f(n十1)与f N),依次计算出a2,a3,a4后，归纳、猜测得出 (n)之间的关系为 an的表达式为 ·20· 第五章数列 课时作业乡 8.用数学归纳法证明： 12.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正 12-22+32-42+…+(-1)-1n2=(-1)”-1 整数n都满足(Sn-1)2=anSn .m+1(n∈N). (1)求S1,S2,S3的值，猜想Sn的表达式； 2 (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的S,的表纠错空间 达式的正确性. [能力提升练] 9.用数学归纳法证明：fm)=1十号十号十…十 n∈N的过程中，从n=到n=+1时 方法总结 f(k+1)比f(k)共增加了 () A.1项 B.2-1项 C.2+1项 D.2项 1.利用数学归第法证明十十1十十2十… [素养培优练] n 13.(多选)数列{an}满足am+1=-一a员十an(n∈ 十<1a∈N,且≥2)时，第二步由k到 N),a∈(0，号)，则以下说法正确的为 k十1时不等式左端的变化是 ( A,增加了十这一项 A.0<a+1<am; B增加了2k十中和2k十2两项 1 B.a十a十a+…十a<a1; 1 C增加了中和十2两项，同时减少了去 1 C,对任意正数b,都存在正整数m使得1-a 这一项 ,1>b成立； D.以上都不对 D.a<1 1Ⅱ.已知n为正侧数，用数学归纳法证明1一十号 n+1 14.用数学归纳法证明“当n∈N时，求证：1十2 4++=气2e+4+2 十22十23十…十2m-1是31的倍数”时，当n= 1时，原式为 ,从n=k到n 时，若已假设n=k(k..2,k偶数)时命题为 =十1时需增添的项是 真，则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立 ·21·巴数学B版 第m年收入为400×(1+)万元， 所以n年内总收入为 6.=400+400×号+…+400×(2)月 4 =400× [-(】-1o0 1 [()- 4 13.解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128， 公比为1十50%=号的等比数到，混合动力型公交车的 数量组成首项为300，公差为a的等差数列，则5年后 的数量和为 8X（1+30X5+,所 1一2 128×[L-(径]+300X5+4.≥5o0,910a 12 3 2 ≥1812，解得a≥181.2，因为5年内更换公交车的总和 不小于5000，所以a的最小值为182. 答案：182 14.（1)解：当n≤6时，数列{a。}是首项为120，公差为一10 的等差数列，a.=120-10(n-1)=130-10n; 当m≥6时，最到(0，是以@为首项，公比为子的等比 数列， 又a,=70,所以a,=70X(3)- 4 因此，第n年年初M的价值am的表达式为 130-10m,n≤6，n∈N*, an= 170X13) 一6 4 ,n≥7，n∈N" (2)证明设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等 比数列的求和公式，得 当1≤n≤6时，Sn=120n-5n(n-1), A.=120-5(n-1)=125-5n; 当n≥7时，由于S6=570, 故Sn=S6十(a,十ag十…十am) -5+0xx4x-(）】 -70-210×(）, A 70-210×(2) 因为{an}是递减数列，所以{An}也是递减数列. 780-210× 又A8= =82 8 7>80, 31 780-210×(4) =76 79 A= <80.所以必须在第9 96 年年初对M更新 5.5 数学归纳法 1.C[因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n =k到n=k十1时，等式左边增加了[1十2十3十…十2k +(2k+1)+2(k+1)]一(1十2+3·+2k)=(2k+1)+ (2k+2).] 2.C[由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n=3是 否成立.] 3.C[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S。= 十十2十…+站0 得S1=62+中*…+品+0中2中D@ 1 1 1 由②-①，得S+1-S,=2k+1+2(k+1D一千1 23+120k+D,故S+1=S十2+72k+D] ·5 选择性必修第三册 4.B[依题意得，由n个圆增加到n十1个圆，增加了2n个 交，点，这2n个交，点将新增的圆分成2n段孤，而每一段孤 都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域， 因此f(n十1)=f(n)十2n.] 5.D[n=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k 十1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩 法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.] 6.解析：当n=k时，左端为：(1+1)(2十2)…(k十k),当n =k十1时，左端为：(1+1)(2+2)(k+k)(k十1+k+ 1),由k到k+1需添加的因式为：(2k十2). 答案：2k+2 2 2 2 7.解析：a=2,a2=7,a,=13a=19,猜测a.=6m-5: 2 答案：am一6n-5 8.证明：(1)①当n=1时，左边=12=1， 右边=(-1)°×1X)+1)=1,左边=右边，等式成立. 2 ②假设n=k(k∈N')时，等式成立，即 12-22+32-42+…+(-1)-1k2=(-1)-1 .(k+1) 2 则当n=k十1时， 12-22+32-42+.+(-1)-1k2+(-1)(k+1)2= (-1)-1.6k+1D+(-1)*6+1) 2 =(-1+D:[+)-合] (-1).k+1)[(+1)+1] 2 .当n=十1时，等式也成立， 根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立】 9.D[由题意，n=时，最后一项为头，n=十1时，最后 1 1 1 一项为2市=2*×22十2 所以由刀=为变到n=十1时，左边增加的项为十十 1 2处+2十士2十2增加了2项门 10.C[不等式左端共有n十1项，且分母是首项为n,公差 为1，木项为2m的等差数列，当贝=k时，左格为启十 中十中2十…十0：当=十1时，左滴为6中十 1 1 1 中2十十3…十品十2中十十2对比两式，可得 1 1 1 结论.门 11.解析：假设当=k(k≥2且k为偶数)时，命题成立，即 1合+号-+…+- 1 22+中4十叶)底立，向于是对所有正仍数 1 命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数 时，命题也成立，所以应证明当n=k十2时，等式也成 立，故答案为k十2. 答案：k十2 12.解析：1当n=1时，(S,-1D2=,S,=合，当n≥2 时，(5，-1)2=(S。-S-1)S…S=2-S s=号s= 4 猜想Sn= n十1n∈N'; (2)下面用数学归纳法证明： ①当a=1时5=合币合精起正确： ②假设n=k时，猜想正确，即S:=十1' 那么当n=k十1时， 参考答案 可得S+1一2一5：2-k十7 1 1 k+1 k (k十1)+1' 即n=k十1时，猜想也成立. 综上可知，对任意的正娄数n,S一开率成主. 13.解折：ABCD[a1=-d+a,=-a.-宁)P+子，若 a.∈(0，专）则a∈(0，)a1-a.=-a< 1 0,0<a+1<a,A正确，由已知a2=a。-a+1, ∴.a+a2+…+a=(a1-a2)+(a2-ag)+…+(an a1)=a-a1<a,B正确：由a∈(0，号）及①得 1-a<1<a 1十…十1-a >,显然对任意的正数6 存在正签数m,使得m>6,此时己a十己a,十己a 十…十1一am ，1>b成立，C正确； (0已知a,<号成立，(i)假设a,<n,则a1- +a-(-)广+<-()+又- 1 1 m++n市n+2=(m+2a+D<0,即 1 1 十7)2十n十二n十2'aatn士2由数平的法 思想得D正确.门 14.解析：当n=1时，原式应加到2×1-1=2，所以原式为 1+2+22+23+2,从n=到n=k十1时需添2十 256+1十…十25+1)-1 答案：1十2十22+23+22t+2k+1+2+2+2k+9 十25+4 第六章导数及其应用 6.1导数 6.1.1函数的平均变化率 1.C[因平均变化率为，故△x≠0.] A 2.D [0=5-3(1+4)2]-(5-3×13) △t =-6-3△t.] 3.B[由图象知乙的斜率比甲的斜率小，但乙的斜率绝对 值大，即变化快.] 4.C[由题意得，01=kaA,2=kAB,,=k,由题图易知 ka<kA想<k,≤<：] 5.BD[设产量与时间的关系为y=f(x),由题图可知f (4)一f(3)<f(3)一f(2)<f(2)一f(1)<f(1),则前四 年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确，由 题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠ 0,故C错误，D正确，故说法正确的有BD.门 6.解析：△y=f(a)-f(2)=a2-2a+3-(4-4+3)=a2 -2a, 又△x=a-2, 牛均变化率-受-a=是 △xa-2 答案：4 9 m-sin03 7.解析：k1= -0 T m受-sim吾_6-3g k2= ππ 2-3 .k1>k2, 答案：k1>k2 ·5 课时作业马 8.解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率 为是=2)二f西二 2-1 2 自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为 =f5)-f(3)_14 △ 5-3 15 由子< 所以函数f(r)=x+1在[1,2]上的平均变化比在[3， 5]上的平均变化慢. 9.A[由图象可知，对任意的t1∈(0，t),曲线W=W1(t) 在t=t处的切线比曲线W=W2(t)在t=t1处的切线要 “陡”，所以，W1比W2节能效果好，A正确，C错误； 由图象可知， w1o)-w10w,)-w,(0),则w 的用电量在[0，t。]上的平均变化率比W2的用电量在 [0,t]上的平均变化率要小，B选项错误；由于曲线W= W,(t)和曲线W=W,(t)不重合，D选项错误.] 10.ACD[A,t1时刻为两图象的交点，即此时甲、乙两人 血管中的药物浓度相同，故A正确；B,甲、乙两人在t2 时刻的切线的斜率不相等，即两人血管中药物浓度的 瞬时变化率不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的 瞬时变化率不相同，故B不正确；C,根据平均变换率公 式可知，甲、乙两人的平均变化率都是)-)，故C tg一t2 正确；D,在[，t2]时间段，甲的平均变化率是 f(t)-f() 在[2,6]时间段，甲的平均变化率是 f)一f2,显然不相等，故D正确.] ta-tz 11.解析：因为函数f(x)=x2一x在区间[一2，t]上的平均 变化率是2， 所以f0=f2》-4=0-[-2》2-（-2)]=2, t-(-2) t+2 即t-t-6=2t十4，从而t2-3t-10=0,解得t=5或t =-2(舍去). 答案：5 12.解：(1)当3≤≤3.1时，△t=0.1, △s=s(3.1)-s(3) =5×(3.1)2-5×32 =5×(3.1-3)×(3.1+3), .A:=5x0.1x6.1=30.5m/s. △t 0.1 (2)当3t3.01时，△t=0.01, △s=s(3.01)一s(3), =5×(3.01)2-5×33 =5×(3.01-3)×(3.01+3), .A=5x0.01X6.01=30.05(m/s). △t 0.01 13.解析：如图，设S为路灯，人 的高度AB,则AB=1.6m, 7 84m/min=5m/s,ts时人 8 、B 的影子长AC=h,由直角三 1.6 角形相似得：-2h 8 084A h+5t —0m则人影长度的变化速来为“204 7 7 At =△t=201 7 答案：20 14.解：(1)在t=0和t=10时，蜥蜴的体温分别为T(0)= 120 06+15=39,T10)05+15=23 故从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了16℃ (2)平均变化率为T10)T(0)=-16=-1.6. 10 10 它表示从t=0到t=10,蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6℃.