5.4 数列的应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温为26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是(　　) A．1 500 m B．1 600 m C．1 700 m D．1 800 m 解析：选C.由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，－0.7 ℃ 为公差的等差数列，记此数列为{an}，a1＝26，d＝－0.7，所以14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m). 2．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后．蜂巢中蜜蜂的数量为(　　) A．55 986 B．46 656 C．216 D．36 解析：选B.设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}为等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的数量为a6＝66＝46 656，故选B. 3．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还(　　) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 解析：选B.设每年应还x万元， 则有x＋x＋x2＋…＋x9＝M10，得 ＝M10，解得x＝.故选B. 4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100块面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　) A．块 B．块 C．块 D．块 解析：选A.将100块面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包．设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d.由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，所以最小的一份为20－2d＝20－2×＝(块). 5．已知某公司今年获利5 000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10%，那么总利润达3亿元大约还需要(　　) (参考数据：lg 1.01≈0.004，lg 1.06≈0.025，lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204) A．4年 B．7年 C．12年 D．50年 解析：选A.根据题意知每年的利润(单位：万元)构成一个等比数列{an}，其中首项a1＝5 000，公比q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000.于是得到＝30 000，整理得1.1n＝1.6，两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6，解得n＝≈5，故大约还需要4年． 6．(多选)计算机病毒危害很大，当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染的文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数．某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，若该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，若未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(　　) A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为2的等比数列 解析：选ABC.设第(n＋1)分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn， 则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2， 由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)， 两式相减，得an＋1－an＝2an， 所以an＋1＝3an， 所以每分钟内新感染的病毒文件数构成以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，所以在第3分钟内，该计算机病毒新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确； 经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确； 10分钟后，该计算机感染病毒文件的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310＞×105， 所以该计算机处于瘫痪状态，故选项C正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为3的等比数列，故选项D不正确． 7．某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多两个座位，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位________个． 解析：从第1排开始每排座位数构成等差数列{an}，其中a1＝18，an＝36.公差为d＝2， 则36＝18＋2(n－1)，解得n＝10. 所以该电影院共有座位＝270(个). 答案：270 8．假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗________次才能使存留的污垢不超过1%. 解析：设一件衣服有a单位的污垢， 洗涤次数为n，由题意可知，存留的污垢y是以a为首项，为公比的等比数列，所以有y＝()n·a，则()n·a≤1%·a，即n≥log4100＝log210，故n≥4，所以至少要清洗4次才能使存留的污垢不超过1%. 答案：4 9．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款________元．(参考数据：1.00811≈1.092，1.00812≈1.100，1.0811≈2.332，1.0812≈2.518)　 解析：设每期应付款x元，第n期付款后欠款An元， 则A1＝2 000(1＋0.008)－x＝2000×1.008－x， A2＝(2 000×1.008－x)×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x－x，…， A12＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x. 因为A12＝0，所以2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0， 解得x＝＝≈176，即每期应付款176元． 答案：176 10．(13分)某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时不会产生副作用． (1)若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是多少毫克？(6分) (2)若该患者坚持长期服用此药是否会产生副作用．(7分) 解：(1)设该患者第n(n∈N＋)次服药后，药在他体内的残留量为an毫克，由题意可得，a1＝200，a2＝200＋a1×(1－50%)＝200＋200×0.5＝300，a3＝200＋a2×＝200＋300×0.5＝350， 故第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量为350毫克． (2)由(1)得，a1＝200，an＝200＋an－1×(1－50%)＝200＋0.5an－1(n≥2)，所以an－400＝0.5(an－1－400)(n≥2)，所以{an－400}是首项为a1－400＝－200，公比为0.5的等比数列，所以an－400＝－200×0.5n－1＜0，所以an＜400，所以若该患者长期服用此药，不会产生副作用． 11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1，2，…，12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　) A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月 解析：选C.根据题意可知，第n月的家用商品需求量为Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＝，令>1.5，即n2－15n＋54<0，解得6<n<9，即需求量超过1.5万件的月份是7月、8月． 12．(多选)如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是(　　) A．矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列 B．前9个矩形块中所填写的数字之和为 C．面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为 D．记bn为除了前n块之外的矩形块面积之和，则bn＝ 解析：选ABD.对于A，由矩形块中所填数字可知，所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故正确；对于B，前9个矩形块中所填写的数字之和为S9＝＝，故正确；对于C，面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为a9＝×＝，故错误；对于D，前n块的矩形块面积之和为Sn＝＝1－，故bn＝1－＝，故正确．故选ABD. 13．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”中有如下叙述：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁…….某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一“遂”．其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为__________岁． 解析：根据题意可知，这20个老人年龄之和为1 520.设年纪最小者年龄为n岁，年纪最大者年龄为m岁，m∈[90，100].则有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋18)＋m＝19n＋171＋m＝ 1 520. 则有19n＋m＝1 349，则m＝1 349－19n. 所以90≤1 349－19n≤100. 解得65≤n≤66. 因为年龄为整数，所以n＝66. 则m＝1 349－19×66＝95. 答案：95 14．(13分)某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比上一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种使该企业获利更多？用数据说明理由．(结果均保留两位小数，参考数据：1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665) 解：由题意，甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， 甲方案获利为1＋＋2＋…＋9＝≈42.62(万元)， 银行贷款本息和为10×(1＋5%)10≈16.29(万元)， 所以甲方案的纯利润约为 42．62－16.29＝26.33(万元)， 乙方案获利为1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10×1＋×0.5＝32.50(万元)， 银行贷款本息和为1.05×[1＋＋2＋…＋9]＝1.05×≈13.21(万元)，所以乙方案的纯利润约为32.50－13.21＝19.29(万元). 综上可得，甲方案能使该企业获利更多． 15．(15分)目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比a0＝55%及b0＝45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为an及bn，不考虑其它因素的影响． (1)用bn表示bn＋1，并求实数λ，使是等比数列；(6分) (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(9分) 解：(1)由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为a0＝55%＝，b0＝45%＝.易知经过n次技术更新后an＋bn＝1， 则bn＋1＝(1－20%)bn＋5%·an＝bn＋＝bn＋，即bn＋1＝bn＋， 由题意，可设bn＋1－λ＝， 则bn＋1＝bn＋， 所以＝，解得λ＝， 又b1＝b0＋＝×＋＝， b1－＝－＝， 从而当λ＝时，是以为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)可知 bn－＝·n－1＝·n， bn＝＋·n， 又an＋bn＝1， 则an＝－·n， 所以经过n次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比an＝－·n. 由题意，令an>75%，得－·n>⇔n<⇔n lg <lg ， 则n>＝＝ ≈＝＝5.592， 故n≥6，即至少需要经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上． 学科网（北京）股份有限公司 $