5.4 数列的应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

5.4　数列的应用 基础过关练 题组一　等差数列的实际应用 1.(2025广东江门礼乐中学月考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如下图第一行的1,3,6,10称为三角形数,第二行的1,4,9,16称为正方形数,则下列各数既是三角形数又是正方形数的是(　　) A.55　　　B.49　　　C.36　　　D.28 2.风雨桥是侗族最具特色的民间建筑之一,由桥、塔、亭组成,其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.下图是某风雨桥亭的大致俯视图,其中正六边形的边长的计算方法如下:A1B1=A0B0-B0B1,A2B2=A1B1-B1B2,……,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn,其中B3B4=B2B3=B1B2=B0B1,n∈N+.已知该风雨桥的亭共5层,若A0B0=8 m,B0B1=0.5 m,则图中的五个正六边形的周长总和为(　　) A.120 m　　　B.210 m　　　 C.130 m　　　D.310 m 3.(多选题)(2024湖南衡阳第二中学期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?”已知问题中五个爵位是由高到低排列的,古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配.若上造得三分鹿之二,即上造分得头鹿,则下列说法正确的有(　　) A.大夫分得二鹿 B.不更分得一鹿加三分鹿之一 C.不更、上造分得的鹿之和是簪袅的两倍 D.不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等 4.某大楼共有12层,有11人在第1层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停的层数为(　　) A.7　　　B.8　　　C.9　　　D.10 题组二　等比数列的实际应用 5.(2025山西太原调研)古代“微尘数”的计法:“凡七微尘,成一窗尘;合七窗尘,成一兔尘;合七兔尘,成一羊尘;合七羊尘,成一牛尘;合七牛尘,成于一虮;合于七虮,成于一虱;合于七虱,成一芥子;合七芥子,成一大麦;合七大麦,成一指节;累七指节,成于半尺……”这里,微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列,那么1指节是(　　) A.77兔尘　　　B.77羊尘 C.兔尘　　　D.羊尘 6.(2025福建福州质量检测)金箔是黄金锻制而成的薄片,其规格指金箔制成后的尺寸.南京金箔锻制技艺被收录进第一批国家级非物质文化遗产名录.K系列的矩形金箔K0,K1,K2,…,K13共14种规格,其规格具有下列特点:①较长边的长与较短边的长的比值都相同;②每一规格的金箔(K13除外)沿较长边对裁后,可以得到两张后一规格的金箔.比如一张K1金箔沿较长边对裁后可以得到两张K2金箔.若K4金箔的较短边的长为210 mm,则K11金箔的较长边的长约为(　　) A.9 mm　　　B.13 mm　　　C.18 mm　　　D.26 mm 7.(2025河南部分学校质量检测)某公司拟引进先进技术提升某农产品的深加工水平,计划10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.4倍再减去4万元.已知引进先进技术后,第一年(2024年)该公司该农产品的销售额为100万元,则按照计划该公司从2024年到2033年该农产品的销售总额约为(参考数据:1.410≈28.93)(　　) A.6 384万元　　　 B.6 374万元 C.6 284万元　　　 D.6 274万元 题组三　数列的综合应用 8.(2024山东泰安新泰第一中学月考)某城镇为改善当地生态环境,2016年投入资金120万元,以后每年投入的资金比上一年增加10万元,从2020年开始每年投入的资金比上一年增加10%,到2025年该城镇生态环境建设的投资总额大约为(参考数据:1.16≈1.77,1.17≈1.95)(　　) A.1 600万元　　　B.1 660万元 C.1 700万元　　　D.1 811万元 9.(2024黑龙江大庆实验中学开学考试)谢尔宾斯基三角形是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的一种分形,它是按照如下规则得到的:在等边三角形中,连接三边的中点,得到四个小三角形,然后去掉中间的那个小三角形,最后对余下的三个小三角形重复上述操作,便可得到谢尔宾斯基三角形.记操作n次后,该大三角形中白色小三角形的个数为an,则a4=　　　,若灰色小三角形的个数为bn,则bn=　　　.  10.(2025黑龙江龙东十校联盟月考)生态采摘园商业模式是生态农业发展中创新与盈利的完美结合.2024年某生态采摘园的苹果产量为8 500千克,计划不超过30天完成销售,销售渠道主要有批发销售和游客采摘零售两种.根据往年统计数据,游客从开园第一天到闭园,采摘量an(单位:千克)和开园第n(n∈N+)天满足an=批发销售每天的销售量为200千克,售价为每千克4元,游客采摘零售的价格是批发销售价格的2.5倍. (1)n取何值时,游客采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入? (2)游客采摘零售的总采摘量为多少?该生态采摘园能否完成销售计划? 能力提升练 题组一　等差数列的实际应用 1.(2025河南H20联盟联考)某公司购置了一台价值220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d>0)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备报废,则d的取值范围为(　　) A.(0,20.9]　　　B.(19,20.9] C.(19,+∞)　　　D.(20.9,+∞) 2.(2025黑龙江哈三中期中)专家表示如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮,水位就会异常地高,甚至会发生海水倒灌.某地发生海水倒灌,需要在24 h内排水减少损失,因此需要紧急抽调抽水机.经测算,在某型号抽水机平均工作24 h的情况下,需要调用20台抽水机,而目前只有一台抽水机可立即投入施工,其余抽水机需要从其他施工现场抽调,且每隔20 min才有一台抽水机到达施工现场投入工作,若要在24 h内完成排水任务,则至少需要这种型号的抽水机(　　) A.25台　　　B.24台　　　C.23台　　　D.22台 3.(2025贵州铜仁期末)鬼工球,又称同心球,要求制作者使用一块完整的材料,将其雕成每层均同球心的数层空心球,若最内层的空心球上有2个雕孔,由内向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3,6,m的鬼工球,其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔,3个鬼工球之间的雕孔数的差的最大值为36,则m=　　　　.  题组二　等比数列的实际应用 4.(2024四川成都树德中学月考)有一个国王奖励国际象棋发明者的故事,故事里国际象棋发明者要求这样的奖励:在棋盘上的64个方格中,第1个方格放1粒小麦,第2个方格放2粒小麦,……,第k个方格放2k-1粒小麦,……,结果国王拿出全国的小麦也不够.假设能有这么多的小麦,则这个故事继续如下,将这些小麦用1,2,3,…编号,并按照一定规律逐个抽取幸运小麦,设第n次随机抽取的幸运小麦的编号为an,若a1=7,接下来按照规律:an+1=+2an(n∈N+)逐个抽取幸运小麦,则共能抽取的幸运小麦的粒数为(　　) A.4　　　B.5　　　C.15　　　D.63 5.(2025陕西宝鸡期末)《九章算术》中有问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.”意思是说今有蒲和莞,蒲第一天长高三尺,莞第一天长高一尺,以后每天蒲长高的尺寸为前一天的一半,莞长高的尺寸为前一天的两倍,要使莞的高度大于蒲的高度(蒲与莞原先的高度忽略不计),则至少需要经过(　　) A.3天　　　B.4天　　　C.5天　　　D.6天 6. (2025海南文昌中学月考)如图所示,作Rt△AOB,OA=1,∠AOB= 30°,再依次作Rt△BOC,Rt△COD,Rt△DOE,……,直至最后一个直角三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止.则所作的所有直角三角形的面积和为(　　) A.　　　B. C.　　　D. 题组三　数列的综合应用 7.(2025广东东莞期末)“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一,元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”,其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥形状的堆垛(俯视图如图所示,第一层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,……),现有1 600个相同的小球,则可摆“落一形”堆垛的层数最多为(　　) A.21　　　B.20　　　C.19　　　D.18 8.(多选题)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了40%,预计以后每年的资金增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始,每年年底上缴资金t万元(t<800),并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为an万元,则(　　) A.a2=2 800-t　　　 B.an+1=an-t C.an+1>an　　　 D.当t=400时,a3>3 800 9.(2024辽宁省实验中学月考)市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金,即在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,因此,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息,即银行从每月月供款中,先收剩余本金利息,后收本金,利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低,本金在月供款中的比例因增加而升高,但月供总额保持不变.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2021年7月8日贷款到账,则2021年8月8日首次还款).已知该笔贷款年限为25年,月利率为0.4%. (1)若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还5 500元,最后一个还款月应还2 510元,试计算该笔贷款的总利息; (2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素); (3)对比两种还款方式,你会建议小张选择哪种还款方式?并说明你的理由. 参考数据:1.004300≈3.31. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　由题意知,三角形数满足1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,……, 则第n个三角形数为1+2+3+…+n=; 正方形数满足1=12,4=22,9=32,16=42,……, 则第n个正方形数为n2. 对于A,令n2=55,其解不是正整数,所以55不是正方形数,故A错误; 对于B,令n2=49,解得n=7(负值舍去),令=49,其解不是正整数,所以49不是三角形数,故B错误; 对于C,令n2=36,解得n=6(负值舍去),令=36,解得n=8(负值舍去),故C正确; 对于D,令n2=28,其解不是正整数,所以28不是正方形数,故D错误. 2.B　易知题图中五个正六边形的边长(单位:m)构成等差数列,设为{ak},k∈N+,1≤k≤5,且a1=8,公差d=-0.5,则数列{ak}(k∈N+,1≤k≤5)的前5项和S5=5a1+×5×4×d=5×8-×5×4×0.5=35, 所以题图中的五个正六边形的周长总和为6S5=6×35=210(m). 3.BCD　由题意得大夫、不更、簪袅、上造、公士五人分得鹿的数量构成递减的等差数列,设为{an},其前n项和为Sn,公差为d, 由题意得S5=5,a4=,所以 解得所以an=-(n-1)=-n+2, 所以大夫、不更、簪袅、上造、公士各分得鹿头,头,1头,头,头,所以A错误,B正确; 不更、上造分得的鹿之和为+=2(头),所以C正确; 不更、上造分得的鹿之和为2头,大夫、公士分得的鹿之和为+=2(头),所以D正确. 4.C　设电梯应该停的层数是n(2≤n≤12,n∈N+),“不满意度”之和为S,则S=1+2+…+(n-2)+2×[1+2+…+(12-n)]=+2×=+157=-+157, 又∵n∈N+,∴S在n=9时取最小值,即电梯应该停的层数为9. 5.A　设1微尘的长度为a, 因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列,所以1窗尘的长度为7a,1兔尘的长度为72a,1羊尘的长度为73a,1牛尘的长度为74a,1虮的长度为75a,1虱的长度为76a,1芥子的长度为77a,1大麦的长度为78a,1指节的长度为79a,因为=77,所以1指节是77兔尘,A正确,C不正确;因为=76,所以1指节是76羊尘,B,D不正确. 6.D　设矩形金箔K0,K1,K2,…,K13的较长边的长分别为b0 mm,b1 mm,b2 mm,…,b13 mm,较短边的长分别为a0 mm,a1 mm,a2 mm,…,a13 mm. 由题意得bn=an-1,an=,n≥1,所以bn=an-1=,n≥2,易知bn≠0,所以=,n≥2, 由题意得b5=a4=210,所以b11=b5×=210×=≈26,故K11金箔的较长边的长约为26 mm. 7.A　设该公司2024年,2025年,…,2033年该农产品的销售额分别为a1万元,a2万元,…,a10 万元. 由题意得an+1=1.4an-4(n=1,2,…,9),则an+1-10=1.4(an-10)(n=1,2,…,9),又a1-10=90,所以数列{an-10}是首项为90,公比为1.4的等比数列, 所以an-10=90×1.4n-1,所以an=90×1.4n-1+10, 所以a1+a2+…+a10=10×10+≈100+225×(28.93-1)≈ 6 384,故按照计划该公司从2024年到2033年该农产品的销售总额约为6 384万元. 8.D　设2016年到2025年每年投入的资金(单位:万元)分别为a1,a2,a3,a4,b1,b2,…,b6. 易知a1,a2,a3,a4为等差数列,且a1=120,公差d=10,其和为4×120+×10=540. 易知b1,b2,…,b6为等比数列,且b1=(120+3×10)×1.1=165,公比q=1.1,其和为=1 650×(1.16-1)≈1 650×(1.77-1)≈ 1 271,所以到2025年该城镇生态环境建设的投资总额大约为540+1 271=1 811(万元). 9.答案　81; 解析　由题可知,前一个图形中的每个白色三角形均可以得到下一个图形中的3个白色小三角形,故an=3an-1(n≥2,n∈N+),又a1=3≠0,故{an}是首项为3,公比为3的等比数列,故an=3n,则a4=81. 易知b1=1,且从第2个图形起,每个图形中的灰色三角形包含前一个图形中的灰色三角形和由白色三角形截得的灰色小三角形,故n≥2,且n∈N+时,bn=bn-1+an-1=bn-1+3n-1,则b2=b1+31,b3=b2+32,……,bn=bn-1+3n-1,由累加法可得bn=1+31+32+…+3n-1==(n≥2,n∈N+),因为b1=1也符合该式,所以bn=(n∈N+). 10.解析　(1)当1≤n≤22,n∈N+时,令(5n+20)×4×2.5≥200×4,得n≥12,所以12≤n≤22. 当23≤n≤30,n∈N+时,令(230-n-2n+80)×4×2.5≥200×4,得230-n≥2n,所以23≤n≤24. 综上,当12≤n≤24,n∈N+时,游客采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入. (2)设游客采摘零售的总采摘量为Sn千克. 易知S22=25+30+35+…+130==1 705, S30-S22=a23+a24+…+a30=(27-2×23+80)+(26-2×24+80)+…+(20-2×30+80)=(27+26+…+20)-2×(23+24+…+30)+8×80=-2×+640=255-424+640=471, 故S30=1 705+471=2 176, 所以游客采摘零售的总采摘量为2 176千克. 易知该生态采摘园30天批发销售和游客采摘零售的总量为200×30+2 176=8 176(千克). 因为8 176<8 500,所以该生态采摘园不能完成销售计划. 能力提升练 1.B　设使用n(1≤n≤10,n∈N+)年后,这台设备的价值为an万元,则an=an-1-d(n≥2),∴数列{an}是公差为-d的等差数列. 易知a1=220-d,∴an=a1+(n-1)(-d)=220-nd. 由题意得 解得19<d≤20.9,∴d的取值范围为(19,20.9]. 2.B　记一台抽水机20 min完成的任务量为1,设需要n台抽水机,这n台抽水机完成的任务量依次为a1,a2,…,an(1≤n≤72,n∈N+), 依题意,a1=24×=72,an+1-an=-1, 因此{an}是首项为72,公差为-1的等差数列, 设{an}的前n项和为Sn,则Sn=72n-, 由题意得Sn=72n-≥20×3×24,即n2-145n+2 880≤0, 记f(n)=n2-145n+2 880, 易得f(n)在[1,72]上单调递减, 又f(23)=74>0, f(24)=-24<0, 所以当24≤n≤72时, f(n)<0, 所以至少需要24台这种型号的抽水机. 3.答案　2 解析　设从最内层向外,每层的雕孔数依次为a1,a2,…,由内向外每层雕孔依次增加的固定的数量为d,层数为n的鬼工球的雕孔数为Sn,易知a1=2. 因为6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔,所以a4+a5+a6=3a5=30,所以a5=10=a1+4d=2+4d,所以d=2,所以an=2+(n-1)×2=2n. 因为3个鬼工球之间的雕孔数的差的最大值为36, 且36>30,所以m≥7或m≤2. 当m≥7时,Sm-S3≥S7-S3=a7+S6-S3=14+30=44>36,不合题意; 当m=2时,S6-S2=a3+S6-S3=6+30=36,符合题意; 当m=1时,S6-S1>S6-S2=36,不合题意. 综上,m=2. 4.B　由an+1=+2an得an+1+1=+2an+1=(an+1)2, 两边取对数得log2(an+1+1)=2log2(an+1), 设cn=log2(an+1),则cn+1=2cn,故{cn}是公比为2的等比数列.又c1=log2(7+1)=3,所以cn=3·2n-1,即log2(an+1)=3·2n-1,所以an+1=,所以an=-1. 由放小麦的规则可得小麦的总粒数为1+2+…+263==264-1,所以-1≤264-1,即3·2n-1≤64,得n≤5,故共能抽取的幸运小麦的粒数为5. 5.A　蒲第一天长高三尺,以后每天长高的尺寸为前一天的一半,所以蒲每天生长的高度(单位:尺)构成首项为3,公比为的等比数列,其前n项和Sn==6-6×, 莞第一天长高一尺,以后每天长高的尺寸为前一天的两倍,则莞每天生长的高度(单位:尺)构成首项为1,公比为2的等比数列,其前n项和Tn==2n-1, 由题意得Tn>Sn,即2n-1>6-6×,则2n+>7, 令t=2n,n∈N+,则t≥2,由t+>7,解得t>6或0<t<1(舍去),即2n>6,又22=4<6,23=8>6,所以至少需要经过3天. 6.D　因为=12,所以共有12个直角三角形. 设第n(n∈N+,1≤n≤12)个直角三角形的斜边的长为an,面积为bn,由题意可知a1==,an+1==an,bn=×an×an=, 则b1=≠0,===, 所以数列{bn}是首项为,公比为的等比数列, 所以所作的所有直角三角形的面积和为=. 7.B　设“落一形”堆垛的第n层有an个小球,则a1=1,an+1-an=n+1,因此an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1==, 设{an}的前n项和为Sn,则Sn=a1+a2+a3+…+an=+++…+=[(1+2+3+…+n)+(12+22+32+…+n2)]=+=, 则S20==1 540,S21==1 771, 所以1 600个相同的小球可摆“落一形”堆垛的层数最多为20. 8.BC　第一年年底剩余资金a1=2 000×(1+40%)-t=(2 800-t)万元,第二年年底剩余资金a2=a1×(1+40%)-t=a1-t=万元,第三年年底剩余资金a3=a2×(1+40%)-t=a2-t=万元,……,所以第(n+1)年年底剩余资金an+1=an×(1+40%)-t=万元,故A错误,B正确. 因为an=an-1-t=-t =an-2-t-t =a1-t =(2 800-t)- =(2 800-t)- =+, 所以an+1-an=an-t-an=an-t =-t =, 因为t<800,所以2 800->0, 所以an+1-an>0,即an+1>an,故C正确. 当t=400时,a3=5 488-=5 488-=3 744<3 800,故D错误. 9.解析　(1)若采取等额本金的还款方式,则每月的还款额(单位:元)构成等差数列,记为{an},则a1=5 500,a300=2 510, 设{an}的前n项和为Sn, 则S300==1 201 500, 故小张的该笔贷款的总利息为1 201 500-750 000=451 500(元). (2)若采取等额本息的还款方式,则每月所还钱的现值(单位:元)构成等比数列,设小张每月还钱x元,则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)299=750 000×(1+0.004)300, 所以x·=750 000×1.004300, 即x=≈4 299, 因为4 299<10 000×=5 000, 所以小张申请该笔贷款能够获批. (3)示例一:小张采取等额本息还款方式的总利息为4 299×300-750 000=539 700(元), 因为539 700>451 500,所以从节省利息的角度来考虑,建议小张选择等额本金的还款方式. 示例二:等额本金还款方式中,{an}的公差d==10,=120, 以等额本息的还款方式,每月均需还款4 299元,而等额本金的还款方式在前面的10年内还款金额都比这个金额高,对于小张可能会造成更大的还款压力,因此从前几年还款压力大小的角度来考虑,建议小张选择等额本息的还款方式. 21 学科网（北京）股份有限公司 $