5.4 数列的应用（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·四川达州高二期中)剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为4 km的正方形纸，最多对折了13次．记第一次对折后的纸张厚度为a1，第2次对折后的纸张厚度为a2……以此类推，设纸张未折之前的厚度为a毫米，则a13＝(　　) A．212a　　　　　　　 B．412a C．213a D．413a 解析　由题意，纸张厚度构成等比数列{an}，公比是2，且a1＝2a，∴a13＝2a×212＝213a，故选C. 答案　C 2．某钢厂的年产值由2005年的40万吨，增加到2015年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2025年的年产值将接近(　　) A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨 解析　设年增长率为x， 则2015年为：40(1＋x)10＝50， 则(1＋x)10＝. 2025年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40××＝62.5≈63(万吨). 答案　C 3．(2024·河南南阳高二月考)我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织十尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布10尺，请问第二天织布的尺数是(　　) A． B． C． D． 解析　由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为a1，公比为q＝2，由等比数列前n项和公式Sn＝，得到＝10，解得a1＝，所以第二天织布的尺数为a2＝×2＝. 答案　B 4．(2024·甘肃酒泉高二期末)某公司决定花费30万元引入一种新的设备，由于技术、磨损及维修费用等问题，设备预计使用6年，设备投入后预计每年的收益构成等差数列{an}(单位：万元)，且a1＝18，a3＝26，由于设备老化等原因，第n(n∈N＋)年需要支付的设备维修和工人的工资等各项费用之和构成等差数列{bn}(单位：万元)的情况如下表所示： n 1 2 bn 2 4 则引进该设备后公司第________年开始盈利． 解析　设等差数列{an}的公差为d，所以d＝＝＝4，所以an＝4n＋14， 又bn＝2n，令获利为y万元， 则y＝－－30＝n2＋15n－30，且函数y＝x2＋15x－30在[1，6]上单调递增， 当n＝1时，y＝－14，当n＝2时y＝4>0，故引进设备后公司从第2年开始盈利． 答案　2 5．(2024·陕西西安高二月考)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为________． 解析　设第七天走的路程为x，则第六天的行程为2x，第五天的行程为22x，依次计算，那么七天总共走的路程为x＋2x＋…＋26x＝＝700，解得x＝. 答案　 6．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息，每个月的还款额均相同．银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2022年7月7日贷款到账，则2022年8月7日首次还款). 已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004. (1)若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4 900元，最后一个还款月应还2 510元，试计算小张该笔贷款的总利息； (2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)； (3)对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式． 参考数据：1.004240≈2.61. 解析　(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，则a1＝4 900，a240＝2 510， 则S240＝＝120×(4 900＋2 510)＝889 200， 故小张该笔贷款的总利息为889 200－600 000＝289 200元． (2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一个等比数列， 则x＋x(1＋0.004)＋x(1＋0.004)2＋…＋x(1＋0.004)239＝600 000×(1＋0.004)240， 所以x＝600 000×1.004240， 即x＝ ≈≈3 891， 因为3 891＜10 000×＝5 000， 所以小张该笔贷款能够获批． (3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为 3 891×240－600 000＝933 840－600 000＝333 840(元)， 因为333 840＞289 200， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式． [关键能力·综合提升] 7．如图是标准对数视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为.已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为(　　) (参考数据：≈1.58，≈1.26) A．0.57 B．0.59 C．0.61 D．0.63 解析　依题意，以标准对数视力5.0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为－0.1，标准对数视力4.8为该数列第3项， 标准对数视力5.0对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，因此，标准对数视力4.8对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为1×2＝≈0.63. 答案　D 8．(多选)朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升”．则下列结论正确的有(　　) A．将这1 864人派遣完需要16天 B．第十天派往筑堤的人数为134 C．官府前6天共发放1 467升大米 D．官府前6天比后6天少发放1 260升大米 解析　记数列{an}为第n天派遣的人数，数列{bn}为第n天发放的大米升数，则{an}是以64为首项，7为公差的等差数列，{bn}是以64×3＝192为首项，7×3＝21为公差的等差数列．a10＝64＋9×7＝127，故B错误；设第k天派遣完这1 864人，则64k＋×7＝1 864，解得k＝16(负值舍去)，故A正确；官府前6天共发放192×6＋×21＝1 467(升)大米，故C正确； 官府前6天比后6天少发放21×10×6＝1 260(升)大米，故D正确． 答案　ACD 9．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”．已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层(从上往下)球数构成一个数列{an}，则a5＝________，＋＋…＋＝________． 解析　因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…， an－an－1＝n，以上n个式子累加， 得an＝1＋2＋3＋…＋n＝， 则a5＝＝15； 因为＝＝2， 所以＋＋…＋ ＝2 ＝2＝. 答案　15　 10．2023年某市政府投资8千万元启动乡村旅游项目，规划从2024年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2023年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的时间里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2023年为第1年，an为第1年至此后第n(n∈N＋)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当an为正值时，认为该项目赢利． (1)试求an的表达式； (2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 解析　(1)由题意知，第1年至此后第n(n∈N＋)年的累计投入为8＋2(n－1)＝(2n＋6)(千万元). 第1年至此后第n(n∈N＋)年的累计净收入为 ＋×＋×＋…＋×＝＝(千万元)， 则an＝－1－(2n＋6)＝－2n－7. (2)该项目将从2030年开始并持续赢利．理由： an＋1－an＝－＝， 当n≤3时，an＋1－an<0， 故当n≤3时，数列{an}递减； 当n≥4时，an＋1－an>0， 故当n≥4时，数列{an}递增． 又a1＝－<0，a7＝－21≈－3.9<0， a8＝－23≈2.6>0， 所以该项目将从第8年即2030年开始并持续赢利． [核心价值·探索创新] 11．“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧．如此下去……，请回答以下问题： (1)所得螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…的长度是否能够构成等差数列？若能，请求出通项公式an，若不能，请说明理由． (2)设bn＝3an，请证明数列{bn}为等比数列． (3)若bn＝can，则数列{bn}能否为等比数列，若不能，则c满足什么条件时，数列{bn}为等比数列．(直接给出结论，不要求证明) 解析　根据弧长公式知CA1，A1A2，A2A3，…，A3n－2A3n－1，A3n－1A3n的长度分别为，，…，， 化简得，2×，3×，…，3n×，此数列是以为首项，以为公差，项数为3n的等差数列． (1)螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…的长度能够构成等差数列，根据等差数列的通项公式得an＝＋(n－1)×＝. (2)证明　由(1)得bn＝3，而＝＝3(n≥2)，故数列{bn}是以3为首项，以3为公比的等比数列． (3)当c≠0时，数列{bn}为等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $