5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝(　　) A．9　　　　　 B．8 C．7 D．6 解析：选D.由等比数列的前n项和公式，知Sn＝＝2n＋1－2＝126，解得n＝6. 2．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a3＝4，S3＝7，则{an}的公比q＝(　　) A．3 B．2 C． D． 解析：选B.由题意知正项等比数列{an}的公比q>0， 若q＝1，则S3＝3a1＝3a3＝12≠7，故q≠1， 所以解得(q的负值已舍去).故选B. 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S2 026>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.由于数列{an}是等比数列，当q≠0且q≠1时，S2 026＝， 当a1>0，且公比q＝－2时， 得1－q>0，1－q2 026<0， 则S2 026<0，充分性不成立； 当a1<0，且公比q＝－2时，得1－q>0，1－q2 026<0，满足S2 026>0，但不满足a1>0，必要性不成立．故选D. 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且公比为3，则Sn与an的关系正确的是(　　) A．Sn＝an－1 B．Sn＝an－1 C．Sn＝3an－1 D．Sn＝an－ 解析：选D.因为等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝3，所以an＝a1·qn－1＝3n－1， 所以Sn＝＝＝(3n－1)＝·3n－1－＝an－.故选D. 5．(多选)(2025·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 解析：选AD.S3＝＋＋a3＝＋＋1＝7，化简得6q2－q－1＝0，又因为q>0，所以q＝，故A正确；a5＝a3q2＝，故B错误；S5＝4＋2＋1＋＋≠8，故C错误；an＝a3qn－3＝23－n，a1＝4，Sn＝＝8－23－n，所以an＋Sn＝8，故D正确． 6．(多选)(2025·济南月考)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　) A．a＋c＝0 B．b是数列{an}的公比 C．ac＜0 D．{an}可能为常数列 解析：选ABC.设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，显然不满足Sn＝a·bn＋c，所以D错误； 当q≠1时，Sn＝＝－·qn， 所以c＝，a＝－，b＝q，即a＋c＝0，ac＝－＜0，所以A，B，C正确． 7．对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N＋)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝________． 解析：由题设可得an＝2n，故＝2(n≥2)，故数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S4＝＝30. 答案：30 8．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S3＝3，S6＝27，则a3＝________． 解析：由题知a1≠0，公比q≠1，S3＝＝3， S6＝＝27，两式相除，得＝1＋q3＝9，解得q＝2， 所以＝3，解得a1＝，所以a3＝×23－1＝. 答案： 9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝an＋1＋t，则实数t＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q. 若q＝1，则an＝a1＝1，Sn＝n＝an＋1＋t＝1＋t，不符合题意； 若q≠0且q≠1，则Sn＝＝qn－，又因为Sn＝an＋1＋t＝a1qn＋t＝qn＋t，故解得t＝－1. 答案：－1 10．(13分)已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为Sn. (1)如果S6＝，q＝，求a1；(4分) (2)如果a2＝2，a6＝8a3，Sn＝127，求n；(4分) (3)如果S5＝15，S10＝60，求S15.(5分) 解：(1)因为等比数列中，S6＝，q＝， 所以S6＝＝，解得a1＝24. (2)依题意a3q3＝8a3，解得q＝2，由a2＝a1q＝2，解得a1＝1， 所以Sn＝＝2n－1＝127， 解得n＝7. (3)因为S5＝15，S10＝60，所以公比q≠1， 所以S5＝＝15，S10＝＝60， 所以＝＝4， 即1＋q5＝4，所以q5＝3， 所以＝－， 则S15＝＝＝－×＝195. 11．设Sn是数列{an}的前n项和，an>0，a1＝8，log2an＋1－log2an＝－1，Sk＝，则k＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选A.因为Sn是数列{an}的前n项和， an>0，log2an＋1－log2an＝log2＝－1， 所以＝，所以数列{an}为等比数列，且首项为8，公比为，则Sk＝＝16(1－)＝，解得k＝5.故选A. 12．(多选)已知等比数列{an}的公比为整数，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝9，a2＋a3＝6，则(　　) A．a1＝2 B．Sn＝2n－1 C．数列{ean}是公比为e2的等比数列 D．数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列 解析：选BD.依题意，设公比为q，又a1≠0， 由a1＋a4＝9，a2＋a3＝6， 可得显然q≠－1， 进而可得＝＝， 则2q2－5q＋2＝0，即(q－2)(2q－1)＝0， 由于公比为整数，所以q＝2，则a1＝1，故A错误； Sn＝＝2n－1，故B正确； 因为a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1，而ean＝e2n－1，ean＋1＝e2n，则＝＝e2n－2n－1＝e2n－1不为常数，故C错误；lg an＝lg 2n－1＝(n－1)lg 2，lg an＋1＝n lg 2，故lg an＋1－lg an＝n lg 2－(n－1)lg 2＝lg 2为常数，所以{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D正确．故选BD. 13．已知正项等比数列的前n项和为Sn，16S6＝21S2＝504，a1a2·…·an的最大值为________． 解析：由题意得＝ ＝＝1＋q2＋q4＝， 则q4＋q2－＝＝0， 得q2＝，因为an>0，所以q＝. 易得S2＝a1＝a1＝24， 则a1＝16，所以an＝16×n－1＝n－5. 当n≤5时，an≥1，当n≥6时，an<1， 所以＝a1a2·…·a5＝210＝1 024. 答案：1 024 14.(15分)已知Sn是等比数列的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.求： (1)数列的通项公式；(7分) (2)数列的前n项和Sn.(8分) 解：(1)设数列的首项为a1，公比为q， 由条件可知，2S2＝S3＋S4，即2＝a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a3＋a4， 所以2a3＋a4＝0，得＝q＝－2， 又因为a2＋a3＋a4＝a1＝－18， 得a1＝3，所以an＝a1qn－1＝3·n－1. (2)由(1)可知，a1＝3，q＝－2， 所以Sn＝＝＝1－n. 15．(15分)已知正项等比数列满足a1＋a2＝6，a1a3＝a4. (1)求的通项公式；(6分) (2)记的前n项中最大值为Mn，最小值为mn(规定：M1＝m1＝a1)，令bn＝，求数列的前n项和Sn.(9分) 解：(1)依题意，设的公比为q， 则 解得或(舍去)， 所以的通项公式为an＝2n. (2)因为是递增数列， 所以Mn＝2n，mn＝2， 则bn＝＝＝2n－1＋1. 所以Sn＝＋n＝2n＋n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $