5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．(2025·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 解析：选B.由S3＝3a2＝6，S5＝5a3＝－5，得a2＝2，a3＝－1，所以公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，故S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15. 2．设Sn为等差数列的前n项和，若a8＝6，S21＝0，则a1的值为(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 解析：选B.由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则Sn＝na1＋d， ⇒解得故选B. 3．已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a3＝3，a7＝15，则S9的值为(　　) A．48 B．56 C．81 D．100 解析：选C.方法一：设数列{an}的首项和公差分别为a1和d， 因为所以 所以S9＝－3×9＋×3＝81. 方法二： S9＝＝＝81.故选C. 4．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＜0”是“S8＋S10＜2S9”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.方法一：当S8＋S10<2S9时，得S10－S9＜S9－S8，即a10＜a9，所以d＜0； 当d＜0时，有a10＜a9， 所以S10－S9＜S9－S8， 即有S8＋S10＜2S9， 综上所述，“d＜0”是“S8＋S10＜2S9”的充要条件． 方法二：由S8＋S10＜2S9， 得8a1＋＋10a1＋＜2，整理得d＜0，则“d＜0”是“S8＋S10＜2S9”的充要条件．故选B. 5．设Sn为各项均不为零的等差数列{an}的前n项和，若(a3＋a5)a2＝a，则＝(　　) A． B．2 C． D．3 解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，由(a3＋a5)×a2＝a得2a4a2＝a，又a4≠0，所以2a2＝a4，则2(a1＋d)＝a1＋3d，所以a1＝d， 则an＝a1＋(n－1)d＝nd， 所以a6＝6d，S5＝＝＝15d， 故＝＝.故选C. 6．(多选)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝9，S3＝21，则(　　) A．数列的公差为－2 B．a2＝3 C．an＝11－2n D．数列{an}为递减数列 解析：选ACD.a1＝9，S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝21， 故a2＝7，d＝－2，an＝11－2n，故A，C正确，B错误； 因为d＝－2＜0，则数列{an}为递减数列，故D正确．故选ACD. 7．已知数列{an}是等差数列，Sn表示数列{an}的前n项和，若a7＝4，则S13＝________． 解析：S13＝＝＝13×4＝52. 答案：52 8．在等差数列中，首项a1＝2，公差d＝1，Sn为{an}的前n项和，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝__________． 解析：因为an＝a1＋d＝2＋n－1＝n＋1，由题知S7＝7a1＋21d＝14＋21＝35＝ak，即k＋1＝35，所以k＝34. 答案：34 9．已知数列{an}是首项为25，公差为－2的等差数列，则数列{|an|}的前30项的和为________． 解析：由数列{an}是首项为25，公差为－2的等差数列， 则有an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27，数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋26n，若an＝－2n＋27＞0，且n∈N＋， 则n≤13， 数列{|an|}的前30项的和为|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝a1＋a2＋…＋a13－a14－a15－…－a30 ＝(a1＋a2＋…＋a13)－(a14＋a15＋…＋a30) ＝－S30＋2S13＝120＋2×169＝458. 答案：458 10．(13分)已知数列{an}的前n项的和为Sn，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列{an}是等差数列；(6分) (2)若S3＝9，求数列{an}的通项公式．(7分) 解：(1)证明：因为数列是公差为1的等差数列， 所以＝＋n－1＝n－1＋a1. 从而可得Sn＝n2＋(a1－1)n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1). 当n≥3时，an－1＝a1＋2(n－2)， 即可得an－an－1＝2. 因为a2＝a1＋2，即a2－a1＝2. 所以an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，故数列{an}是等差数列． (2)由(1)可知，数列{an}是公差为2的等差数列， 由S3＝3a1＋3×2＝3a1＋6＝9， 从而可得a1＝1. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝67，则a3·a12是{an}中的(　　) A．第30项 B．第36项 C．第48项 D．第60项 解析：选B.设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝n， 则a3·a12＝3×12＝36，令an＝36，则n＝36， 所以a3·a12是{an}中的第36项．故选B. 12．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＋an＝2n－1，下列说法正确的是(　　) A．若{an}为等差数列，则{an}的公差为1 B．若{an}为等差数列，则{an}的首项为1 C．S30＝435 D．S2n≥4n－3 解析：选ACD.若{an}为等差数列， 则可设an＝An＋B， 所以an＋1＋an＝A(n＋1)＋B＋An＋B＝2An＋A＋2B＝2n－1， 所以解得 所以an＝n－1， 所以{an}的首项为0，公差为1，A正确，B错误； S30＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a29＋a30)＝1＋5＋9＋…＋57＝＝435，C正确； S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n， 因为2n2－n－(4n－3)＝2n2－5n＋3＝2－≥2－＝0， 即S2n≥4n－3，D正确．故选ACD. 13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S2＝7，am＋an＝－5，则＋的最小值为__________． 解析：等差数列{an}中，a2＝3，S2＝a1＋a2＝7，得a1＝4，公差d＝a2－a1＝－1， 则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝10－(m＋n)＝－5，得m＋n＝15，且m，n∈N＋， ＋＝(m＋n)＝(1＋16＋＋)≥(1＋16＋2)＝＝， 当且仅当＝，即m＝3，n＝12时等号成立， 所以＋的最小值为. 答案： 14．(15分)记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝11，S3＝S9. (1)求{an}的通项公式；(7分) (2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，求T100 .(8分)　 解：(1)由S3＝S9，得a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0， 即a6＋a7＝0，则a12＝－a1＝－11， 设{an}的公差为d，则a1＋11d＝11＋11d＝－11， 解得d＝－2， 则an＝a1＋(n－1)d＝11－2(n－1)＝－2n＋13，所以数列{an}的通项公式为an＝－2n＋13. (2)由题可知T100＝|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＋|a7|＋…＋|a100|，由(1)知an＝－2n＋13， 令an<0，得n≥7， 所以T100＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋…＋a100) ＝S6－(S100－S6)＝2S6－S100 ＝－＝8 872，所以T100＝8 872. 15．(15分)已知数列满足a1＝1，an＋1－an≥2，且Sn为的前n项和． (1)若a3＝5，求a2，并写出一个符合上述条件的数列的通项公式；(7分) (2)求证：Sn≥n2.(8分) 解：(1)由题意a1＝1，a2－a1≥2， 所以a2≥3， 而a3＝5，a3－a2≥2， 所以a2≤3，所以a2＝3. 所以符合上述条件的数列的一个通项公式为an＝2n－1. (2)证明：由题意得a2－a1≥2，a3－a2≥2，a4－a3≥2，…，an－an－1≥2(n≥2)， 所以a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1≥2， 所以an－a1≥2(n－1)， 所以an≥2n－1(n≥2)， 所以a1≥1，a2≥3，a3≥5，…，an≥2n－1， 所以a1＋a2＋a3＋…＋an≥1＋3＋5＋…＋2n－1， 所以Sn≥＝n2. 学科网（北京）股份有限公司 $