5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.3.2　等比数列的前n项和 [课时跟踪检测] 1.等比数列{an}中，首项a1=12，公比q=，那么它的前4项和S4的值为 （　　） A. B. C. D. 解析：选A　由等比数列的前n项和公式，得S4===18×=. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=2，S6-S3=4，则S9-S6= （　　） A.8 B.4 C.2 D.1 解析：选A　由题意得，（S6-S3）2=S3（S9-S6），∴S9-S6=8. 3.已知数列{an}的通项公式是an=2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于 （　　） A.10 B.210 C.210-2 D.211-2 解析：选D　∵==2，∴数列{an}是公比为2的等比数列，且a1=2，∴S10==211-2. 4.在等比数列{an}中，a1+an=82，a3an-2=81，且前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于 （　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，依题意，a1+an=82，a3an-2=a1an=81，所以或若则Sn===121，解得q=3，所以an=1×3n-1=81=34，n=5.若则Sn===121，解得q=，所以an=81×=34×31-n=35-n=1，n=5.综上所述，n的值为5. 5.已知等比数列{an}中，an=2×3n-1，则由此数列的奇数项按原来的顺序所组成的新数列的前n项和为 （　　） A.3n-1 B.3（3n-1） C.（9n-1） D.4（9n-1） 解析：选C　由an=2×3n-1，得a2k-1=2×32k-2=2×9k-1，k∈N+，a1=2，则==9，因此由等比数列{an}的奇数项按原来的顺序所组成的新数列是首项为2，公比为9的等比数列，所以新数列的前n项和为=（9n-1）. 6.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12，a6-a4=24，则= （　　） A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 解析：选B　法一　设等比数列{an}的公比为q，则q===2.由a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12得a1=1.所以an=a1qn-1=2n-1，Sn==2n-1，所以==2-21-n. 法二　设等比数列{an}的公比为q，则　得=q=2.将q=2代入①，解得a3=4，所以a1==1，下同法一. 7.（2025·全国Ⅱ卷）[多选]记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3=7，a3=1，则 （　　） A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 解析：选AD　由S3=a1+a2+a3=++a3=++1=7⇒+-6=0⇒=0.又q>0，所以=2⇒q=. 故a1==4，an=4×=，Sn=8-.a5=a3q2=，S5=8-≠8.an+Sn=+8-=8.综上A、D正确. 8.（5分）（2025·全国Ⅰ卷）若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为　　　　.  解析：设等比数列为{an}，公比为q，前n项和为Sn，则S4=a1+a2+a3+a4=4， S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8 =a1+a2+a3+a4+q4（a1+a2+a3+a4） =（1+q4）（a1+a2+a3+a4）=4（1+q4）=68 ⇒1+q4=17⇒q4=16⇒q=±2. 答案：±2 9.（5分）对于数列{an}，若点（n，an）（n∈N+）都在函数f（x）=2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4=　　　　.  解析：由题设可得an=2n，故=2（n≥2），故{an}为等比数列，其首项为2，公比为2，故S4==30. 答案：30 10.（5分）设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，则公比q的值为　　　　.  解析：当q=1时，S3=a1+a2+a3=3a3，成立；当q≠1时，S3=，a3=a1q2，又S3=3a3，所以=3q2，化简得2q2-q-1=0，解得q=-（q=1舍去）.综上可知，公比q的值为1或-. 答案：1或- 11.（5分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·2n-1+1，则实数t的值为　　　　.  解析：Sn=t·2n-1+1=·2n+1，因为等比数列{an}的前n项和Sn=-A·qn+A，其中q为公比，所以+1=0，所以t=-2. 答案：-2 12.（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，则数列的公比q=　　　　.  解析：当q=1时，Sn=na1，S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9，∴不成立；当q≠1时，+=2×，得2-q3-q6=2-2q9，∴2q9-q6-q3=0，解得q3=-或q3=1（舍去）或q3=0（舍去），∴q=-. 答案：- 13.（10分）已知等比数列{an}的公比为q，且有1-q=3a1，试用q表示{an}的前n项和. 解：当q=1时，∵3a1=1-q=0，∴a1=0与{an}是等比数列矛盾，∴q≠1，即=. 又∵等比数列的前n项和公式为Sn==-·qn+，∴Sn=-qn+. 14.（10分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+a. （1）求实数a的值；（6分） （2）若Sm=127，求m.（4分） 解：（1）由Sn=2n+a，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+a-（2n-1+a）=2n-1， 又a1=S1=2+a，因为数列{an}是等比数列， 所以a1满足an=2n-1，∴2+a=1，即a=-1. （2）由（1），Sn=2n-1，∴Sm=2m-1， ∴127=2m-1，解得m=7. 15.（10分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N+），b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1（n∈N+）. （1）求an与bn；（5分） （2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.（5分） 解：（1）由a1=2，an+1=2an， 得an=2n（n∈N+）. 由题意知当n=1时，b1=b2-1，故b2=2. 当n≥2时，bn=bn+1-bn，整理得=， 所以bn=n（n∈N+）. （2）由（1）知anbn=n·2n， 因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n， 2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1， 所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1. 故Tn=（n-1）2n+1+2（n∈N+）. 学科网（北京）股份有限公司 $