5.3.1 第2课时 等比数列的性质 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．设m＝－8，n＝－2，则m与n的等比中项为(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．－5 解析：选C.由题意可知，m与n的等比中项为±＝±4.故选C. 2．已知是等比数列，若an>0，且a3a5＋2a4a6＋a5a7＝49，则a4＋a6＝(　　) A．7 B．14 C．21 D．49 解析：选A.因为数列是等比数列，a3a5＋2a4a6＋a5a7＝49，所以a＋2a4a6＋a＝49， 即2＝49，又an>0，所以a4＋a6＝7. 故选A. 3．已知－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则＝(　　) A．－ B． C． D．－或 解析：选C.因为－1，a1，a2，－4成等差数列， 所以公差d＝＝－1， 所以a2－a1＝－1， 因为－1，b1，b2，b3，－4成等比数列， 所以b＝×＝4， 设该等比数列的公比为q，可得b2＝q2<0， 所以b2＝－2， 所以＝＝.故选C. 4．已知正项等比数列中，a3a2 022＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 024＝(　　) A．1 012 B．2 024 C．21 012 D．22 024 解析：选B.由题意知正项等比数列中，a3a2 022＝4， 则a1a2 024＝a2a2 023＝…＝a1 012a1 013＝4， 故log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 024＝log2 ＝log21 012＝log241 012＝log222 024＝2 024.故选B. 5．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比为(　　) A． B． C．2 D．2 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，因为奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64， 则＝q5＝32，则q＝2. 6．(多选)(2025·丹东月考)已知数列{an}是公比为q且q≠1的正项等比数列，M是a3与a11的等比中项，N是a5与a9的等差中项，则下列说法正确的是(　　) A．2a7＝N B．a＝M2 C．M<N D．M>N 解析：选BC.由等比中项的定义可知，M2＝a3·a11＝a，由等差中项的定义可知，2N＝a5＋a9，N＝，故A错误，B正确；若M是负数，则M<N，若M是正数，则M＝＝，N＝，因为数列{an}是公比为q且q≠1的正项等比数列，所以a5≠a9，根据基本不等式可知M<N，故C正确，D错误． 7．已知数列{an}满足a＝anan＋2，若a1＝，a4＝9，则a6＝________． 解析：因为a＝anan＋2，所以{an}为等比数列，设公比为q，又a1＝，a4＝9，所以a4＝a1q3，解得q＝3，所以a6＝a1q5＝81. 答案：81 8．在等比数列{an}中，a1与a9是方程x2－7x＋4＝0的两根，则＝________． 解析：因为a1与a9是方程x2－7x＋4＝0的两根， 所以a1a9＝4，a1＋a9＝7， 所以a3a7＝a1a9＝4，且a1，a9均为正数，所以a5＝a1q4＞0，故a5＝＝2，则＝＝2. 答案：2 9．已知数列{an}为等比数列，若数列{an＋λ}(λ≠0)仍为等比数列，且a3＝3，则a2 025的值为________． 解析：因为{an}为等比数列，设公比为q，所以a＝an·an＋2，又因为数列{an＋λ}(λ≠0)为等比数列，所以(an＋1＋λ)2＝(an＋λ)·(an＋2＋λ)，即an＋an＋2＝2an＋1，即an＋anq2＝2anq，即q2－2q＋1＝0，解得q＝1，所以可得数列{an}的公比q＝1，又a3＝3，所以a2 025＝3. 答案：3 10．(13分)已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列．求数列{an}的公比． 解：因为等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512， 所以a3a5a7＝512，所以a＝512，所以a5＝8， 且数列{an}为递增等比数列，设公比为q，则q>1. 又数列{an}的第三项、第五项、第七项分别减去1，3，9后成等差数列，则a3－1＋a7－9＝2(a5－3)，所以a3＋a7＝20， 即＋a5q2＝20，即＋8q2＝20，解得q2＝2或q2＝， 因为q>1，所以q2＝2，故数列{an}的公比q＝. 11．(多选)(2025·日照月考)设数列{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，前n项的积为Tn，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，则下列结论正确的是(　　) A．q＞1 B．a8＝1 C．T10＞T6 D．T7与T8均为Tn的最大值 解析：选BD.对于A，B，由T6＜T7得＝a7＞1， 由T7＝T8得a8＝＝1，所以＝q＜1， 又q＞0，所以0＜q＜1，故A错误，B正确； 对于C，因为数列{an}是各项为正数的等比数列，q∈(0，1)， 有a1＞a2＞…＞a7＞a8＝1＞a9＞a10＞…， 所以＝a7a8a9a10＝(a8a9)2＝a＜1， 所以T10＜T6，故C错误； 对于D，T1＜T2＜…＜T7＝T8＞T9＞T10＞…，则T7与T8均为Tn的最大值，故D正确． 12．已知数列是公差不为0的等差数列，数列为等比数列，数列的前三项分别为1，2，6，则数列的公比是________． 解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由k1＝1，k2＝2，k3＝6， 可得2＝ak1ak3， 即为a＝a1a6， 即2＝a1， 解得d＝3a1， 则q＝＝＝＝＝4. 答案：4 13．(15分)(2025·辽阳期中)已知等比数列{an}的首项a1＝16，公比q＝，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}． (1)求数列{bn}的通项公式；(7分) (2)记数列{bn}的前n项积为Tn，Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由．(8分) 解：(1)由已知b1＝16，b5＝a2＝16×＝1， 设等比数列{bn}的公比为q1(q1>0)， 所以＝＝q＝，所以q1＝， 所以bn＝b1q＝16×()n－1＝25－n. (2)Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝24·23·22·…·25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝24n－＝2－n2＋n＝ 2－(n－)2＋， 即当n＝4或5时，Tn有最大值，最大值为2－×(4－)2＋＝210＝1 024. 14．(15分)设正项数列的前n项和为Sn，已知a1＝a，2Sn＝anan＋1. (1)若是等差数列，求的通项公式；(6分) (2)是否存在实数a，使得是等比数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．(9分) 解：(1)当n＝1时，2S1＝2a1＝a1a2， 又a1>0， 则a2＝2. 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝anan＋1－an－1an， 即an＋1－an－1＝2. 因为是等差数列，设的公差为d， 所以an＋1－an－1＝2d＝2， 解得d＝1， 则a1＝a＝2－1＝1， 故的通项公式为an＝n. (2)假设存在实数a，使得是等比数列． 由(1)可知，a3＝a1＋2＝2＋a，a4＝a2＋2＝4. 因为是等比数列， 所以a2a3＝a1a4， 即2(2＋a)＝4a，解得a＝2， 此时＝＝1，＝＝2，不符合题意，则假设错误． 故不存在实数a，使得是等比数列． 15．如图，将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若a3＝5，a29＝41，则d＝(　　) a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 … A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.因为第2行是公差为d的等差数列， 所以a2＝a3－d＝5－d， 由题意可知第n行有2n－1个数，前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2个数， 因为29＝52＋4，所以a29为第6行的第4个数， 所以a29＝a26＋3d＝a2·24＋3d＝16(5－d)＋3d＝80－13d＝41，所以d＝3.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $