5.3.1 第2课时 等比数列的性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.3.1 第2课时 等比数列的性质 [课时跟踪检测] 1.等比数列{an}中，若a2a6+=π，则a3a5等于 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　∵a2a6==a3a5，∴a3a5=. 2.在等比数列a，2a+2，3a+3中，a等于 （　　） A.4 B.-4 C.-1 D.2 解析：选B　由题意可得（2a+2）2=a（3a+3），解得a=-4或a=-1.当a=-1时，2a+2=0，3a+3=0，不满足条件；当a=-4时，等比数列为-4，-6，-9，满足条件，故选B. 3.已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a7=3，a2a8=27，则a4a5= （　　） A.7 B.8 C.9 D.10 解析：选C　由等比数列{an}，得a1a7=，a2a8=，有=a1a7a2a8=3×27=81，又因为各项均为正数，所以a4a5=9.故选C. 4.等比数列{an}中，若a12=4，a18=8，则a36为 （　　） A.32 B.64 C.128 D.256 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且=2=q6，故a36=a18q18=8×23=64. 5.[多选]设公比为q的等比数列{an}，若a1a5a9=64，则 （　　） A.a5=4 B.当a1=1时，q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 解析：选ABD　由题意，a1a5a9==64，即a5=4，故A正确；当a1=1时，a5=a1q4=4，所以q=±，故B正确；因为a1a9==16，所以a1和a9的等比中项为4或-4，故C错误；由+≥2a1a9=32，当且仅当a1=a9=4时，等号成立，故D正确.故选ABD. 6.若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列{log2an}是 （　　） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列 解析：选A　因为数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=2，所以an=2×4n-1=22n-1，log2an=log222n-1=2n-1，所以数列{log2an}是公差为2的等差数列. 7.[多选]已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则下列结论正确的是 （　　） A.S11=11π B.sin= C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 解析：选ACD　因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2.对于A，S11==11a6=11π，故A正确；对于B，a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin=sin=1，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π，故C正确；对于D，由b5=2，得b3>0，b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确. 8.（5分）在等比数列{an}中，存在正整数m，若am=3，=24，则=　　　　.  解析：由题意知q5==8，am+15=amq15=3×83=1 536. 答案：1 536 9.（5分）在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10=32，则的值为　　　　.  解析：因为==a6，又a2a3a6a9a10=（a2a10）a6（a3a9）==32，所以a6=2，故=a6=2. 答案：2 10.（5分）在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　.  解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴+28+28q=98，解得q=2或q=.又0<q<1，∴q=. 答案： 11.（5分）若数列{an}满足-=0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8=　　　　.  解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则-=0，可得=，所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则=，所以=2，即正项数列{bn}是公比为2的等比数列，因为b1+b2+b3=1，因此，b6+b7+b8=25（b1+b2+b3）=32. 答案：32 12.（5分）已知在等差数列{an}中，a2+a4=16，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为　　　.   a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16 a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25 解析：设数列{an}的公差为d， 由a2+a4=16，得a1+2d=8，① 由a1+1，a2+1，a4+1成等比数列， 得（a2+1）2=（a1+1）（a4+1）， 整理得d2-a1d-d=0，② 由①②解得d=3或d=0. 当d=3时，a1=2，an=3n-1.由图可知每行之间个数成等差数列，设为bn，且bn=2n-1，则前9行共有S9=9×1+×2=81，则第10行第11个数为81+11=92，即a92=3×92-1=275. 当d=0时，an=8，a92=8. 答案：275或8 13.（10分）在正项等比数列{an}中，a1a5-2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列{an}的通项公式. 解：∵a1a5=，a3a7=， ∴由题意，得-2a3a5+=36， 同理得+2a3a5+=100，∴ ∵an>0，∴ 解得或 分别解得或 ∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n. 14.（10分）在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 解：法一　依题意，a1=4，a5=，由等比数列的通项公式，得=4q4，解得q=±. 当q=时，插入的3个数分别为4×=2，2×=1，1×=； 当q=-时，插入的3个数分别为4×=-2，（-2）×=1，1×=-. 因此，插入的3个数分别为2，1，或-2，1，-. 法二　因为等比数列共有5项，即a1，a2，a3，a4，a5. 又因为2×3=1+5，所以=a1a5=4×=1，即a3=±1. 又因为a3要与a1同号，因此a3=1. 类似地，有=a1a3，=a3a5，而且a2与a4同号. 因此，当a2===2时，a4===； 当a2=-=-=-2时，a4=-=-=-. 因此，插入的3个数分别为2，1，或-2，1，-. 15.（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=λ，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ为实数，n为正整数. （1）求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；（6分） （2）试判断{bn}是否为等比数列.（9分） 解：（1）证明：∵an+1=an+n-4且a1=λ， ∴a2=λ-3，a3=λ-4. 假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列， 则=a1a3，即=λ， 即λ2-4λ+9=λ2-4λ，该方程无解， ∴对任意实数λ，数列{an}不是等比数列. （2）∵bn=（-1）n（an-3n+21）， ∴bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1=-（-1）n（an-3n+21）=-bn. ∵b1=-（λ+18）， ∴当λ=-18时，b1=0，此时数列{bn}不是等比数列； 当λ≠-18时，b1≠0，此时=-（n∈N+），数列{bn}是等比数列. 综上，当λ=-18时，{bn}不是等比数列；当λ≠-18时，{bn}是等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $