5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用 [课时跟踪检测] 1.等差数列{an}中，d=2，S3=-24，其前n项和Sn取最小值时n的值为 （　　） A.5 B.6 C.7 D.5或6 解析：选D　由d=2，S3=3a1+3d=-24，得a1=-10.令an=-10+（n-1）×2=0，解得n=6，所以a6=0.从而S5=S6均为最小值. 2.已知等差数列{an}是无穷数列，若a1<a2<0，则数列{an}的前n项和Sn （　　） A.无最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值 C.有最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值 解析：选A　由数列{an}为等差数列，且a1<a2<0，得公差d=a2-a1>0，故数列{an}为递增数列，且a1<0，所以Sn有最小值，无最大值. 3.（2025·全国Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6，S5=-5，则S6= （　　） A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 解析：选B　法一　由S3=3a2=6⇒a2=2， S5=5a3=-5⇒a3=-1， ∴等差数列{an}的公差d=a3-a2=-3，a1=5， ∴S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 法二　Sn为等差数列{an}的前n项和， 故为等差数列，设该等差数列的公差为d1， 由-=2d1，解得d1=-， ∴=+d1=-1-，解得S6=-15. 4.《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个?若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为 （　　） A.189 B.190 C.191 D.192 解析：选B　根据题意，除以3余2，除以5余3的数，构成首项为8，公差为15的等差数列，则an=8+（n-1）×15=15n-7，所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为=190.故选B. 5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=11，a5=3，则 （　　） A.S5=35 B.an=13-2n C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36 解析：选ABD　设等差数列{an}的公差为d，则a5=a1+4d=11+4d=3，解得d=-2.S5=5a1+d=5×11+10×（-2）=35，A正确；an=a1+（n-1）d=11-2（n-1）=13-2n，B正确；|an|=|13-2n|=故当n=6或7时，|an|取最小值1，C错误；Sn=na1+=11n-n（n-1）=-n2+12n=-（n-6）2+36，故当n=6时，Sn取得最大值36，D正确.故选ABD. 6.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，n>（n+1）Sn（n∈N+），且<-1，则在Sn中 （　　） A.最小值是S7 B.最小值是S8 C.最大值是S8 D.最大值是S7 解析：选A　由n>（n+1）Sn，得>，即->0.而-=，所以d>0.因为<-1，所以<0，即a7（a7+a8）<0.由于d>0，因此数列{an}是递增数列，所以a7<0，a7+a8>0，所以a7<0，a8>0，所以在Sn中最小值是S7. 7.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S8=-556，an+2-an=6，则 （　　） A.an=3n-83 B.{Sn}中的最小值为S28 C.使Sn<0的n的最大值为52 D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37 解析：选AD　依题意，等差数列{an}的公差d==3，由S8=-556，得8a1+28×3=-556，解得a1=-80，数列{an}的通项公式an=a1+（n-1）d=3n-83，A正确；显然等差数列{an}是递增数列，且a27<0，a28>0，则{Sn}中的最小值为S27，B错误；又Sn==，由Sn<0，得0<n<，又n∈N+，故n的最大值为54，C错误；|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=S54-2S27=-2×=81×27=37，D正确.故选AD. 8.（5分）等差数列{an}中，已知a5>0，a4+a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为　　　　.  解析：∵∴∴Sn的最大值为S5. 答案：S5 9.（5分）某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为　　　　万元.  解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费构成以12为首项，4为公差的等差数列，则S10=10×12+×10×9×4=300（万元）. 答案：300 10.（5分）在等差数列{an}中，已知公差d>0，a3+a5=-4，a2a6=-12，则数列{|an|}的前4项和S4=　　　.  解析：由解得 或（舍去）.故an=2n-10，当n≤4时，an<0，∴S4=-=20. 答案：20 11.（10分）等差数列{an}满足a4=11，a7=2，前n项和为Sn. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） （2）求Sn的最大值.（5分） 解：（1）设首项为a1，公差为d， 因为等差数列{an}满足a4=11，a7=2， 所以解得 所以an=20-3（n-1）=23-3n. （2）因为当n≤7时，an=23-3n>0， 当n≥8时，an=23-3n<0， 所以Sn的最大值为S7.因为a7=23-3×7=2，所以S7=×7=77. 12.（15分）（2023·全国乙卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S10=40. （1）求{an}的通项公式；（7分） （2）求数列{|an|}的前n项和Tn.（8分） 解：（1）设{an}的公差为d，则 解得a1=13，d=-2.所以{an}的通项公式为an=13+（n-1）·（-2）=15-2n. （2）由（1）得|an|= 当n≤7时，Tn=13n+×（-2）=14n-n2， 当n≥8时，Tn=T7+1+3+5+…+（2n-15）=T7+1+3+5+…+[2（n-7）-1]=14×7-72+=98-14n+n2. 综上，Tn= 13.（15分）某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如下表所示： 2022年 2023年 2024年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完，则不会被沙化. （1）每年沙化的土地公顷数为多少?（7分） （2）到哪一年可绿化完全部荒沙地?（8分） 解：（1）依题意，每年比上一年多造林400公顷，其中2023年新植1 400公顷， 故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷，而实际沙地面积为24 000公顷，所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷， 同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷. 所以每年沙化的土地面积为200公顷. （2）设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an，则an=1 800+（n-1）×400=400n+1 400，所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+×400， 由（1）知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷，依题意可得Sn-200n≥24 000， 化简得n2+7n-120≥0，解得n≥8. 故8年，即到2031年可绿化完全部荒沙地. 14.（15分）（2023·新课标Ⅱ卷）已知{an}为等差数列，bn=记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4=32，T3=16. （1）求{an}的通项公式；（6分） （2）证明：当n>5时，Tn>Sn.（9分） 解：（1）设等差数列{an}的公差为d. 因为bn=所以b1=a1-6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3-6=a1+2d-6. 因为S4=32，T3=16， 所以 整理得解得 所以{an}的通项公式为an=2n+3. （2）证明：由（1）知an=2n+3， 所以Sn==n2+4n. 当n为奇数时，Tn=（-1+14）+（3+22）+（7+30）+…+[（2n-7）+（4n+2）]+2n-3=[-1+3+7+…+（2n-7）+（2n-3）]+[14+22+30+…+（4n+2）]=+=. 当n>5时，Tn-Sn=-（n2+4n）==>0，所以Tn>Sn. 当n为偶数时，Tn=（-1+14）+（3+22）+（7+30）+…+[（2n-5）+（4n+6）]=[-1+3+7+…+（2n-5）]+[14+22+30+…+（4n+6）]=+=. 当n>5时，Tn-Sn=-（n2+4n）==>0，所以Tn>Sn. 综上可知，当n>5时，Tn>Sn. 学科网（北京）股份有限公司 $