5.2.1 第1课时 等差数列的定义 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则(　　) A．a1＝3 B．a1＝1 C．d＝4 D．d＝－4 解析：选D.由an＝3－4n，得a1＝3－4×1＝－1，公差d＝－4.故选D. 2．已知等差数列－5，－9，－13，…，则下列属于该数列的项的是(　　) A．－23 B．－31 C．－33 D．－43 解析：选C.由等差数列－5，－9，－13，…知数列首项为－5，公差为d＝－9－(－5)＝－4，故数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1，分别使an取选项中的值，发现仅当an＝－33＝－4n－1时，n＝8∈N＋，其他选项没有对应的n.故选C. 3．已知在等差数列中，a2＝1，a4＝5，则a8＝　(　　) A．9 B．11 C．13 D．15 解析：选C.由题意知解得 所以an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，所以a8＝16－3＝13.故选C. 4．设等差数列的公差为d，若bn＝2an，则“d<0”是“bn＋1<bn(n∈N＋)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.充分性：若d<0，则an＋1－an＝d<0，即an＋1<an，所以2 an＋1<2an，即bn＋1<bn，所以充分性成立；必要性：若bn＋1<bn，即2an＋1<2an，所以an＋1<an，则an＋1－an＝d<0，必要性成立．因此，“d<0”是“bn＋1<bn”的充要条件．故选C. 5．已知首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，) C．[3，) D．(3，] 解析：选D.an＝－21＋(n－1)d. 因为从第8项起为正数， 所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0， 解得3＜d≤.故选D. 6．(多选)(2025·北京月考)已知数列{an}满足an＋1＝an－3，n∈N＋，a1＝27，则下列说法正确的是(　　) A．该数列为等差数列 B．公差为3 C．a5＝15 D．－3是该数列的第11项 解析：选ACD.由题意可知an＋1－an＝－3.所以该数列为等差数列，公差为－3，则an＝27－3(n－1)＝－3n＋30.所以a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11.故选ACD. 7．在等差数列{an}中，若a1＝1，公差d＝3，an＝2 005，则n＝____________． 解析：an＝1＋(n－1)×3＝2 005，解得n＝669. 答案：669 8．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝3，a5＝5，则an＝____________． 解析：设公差为d，由a2＋a4＝3，a5＝5， 得解得 所以an＝－2＋(n－1)＝n－. 答案：n－ 9．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1.记bm为{an}在区间[m，2m)(m∈N＋)内项的个数，则b6＝____________． 解析：由题意b6即为{an}在区间[6，26)内项的个数， {an}在区间[6，26)内的第一项是7，最后一项是63，个数为＋1＝29. 答案：29 10．(13分)在等差数列{an}中． (1)若a2＝11，a8＝5，求a10；(6分) (2)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项．(7分) 解：(1)设{an}的公差为d， 则解得 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n， 所以a10＝13－10＝3. (2)设{an}的公差为d， 因为解得 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项． 11．已知数列{an}的首项为8，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 解析：选C.设等差数列{bn}的公差为d，因为b3＝－2，b10＝12，可得可得 可得bn＝2n－8， 又因为bn＝an＋1－an， 即an＋1－an＝2n－8， 所以a8＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝8－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝8.故选C. 12．(多选)若a，b，c(a，b，c均不为0)是等差数列，则下列说法正确的是(　　) A．a2，b2，c2一定成等差数列 B．2a，2b，2c可能成等差数列 C．ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列 D．，，可能成等差数列 解析：选BCD.对于A，令a＝1，b＝2，c＝3， 则a2＝1，b2＝4，c2＝9， 不满足b2－a2＝c2－b2， 所以a2，b2，c2不成等差数列，故A错误； 对于B，令a＝b＝c，则2a＝2b＝2c，所以2a，2b，2c成等差数列，故B正确； 对于C，因为a，b，c成等差数列， 所以b－a＝c－b， 所以(kb＋2)－(ka＋2)＝k(b－a)，(kc＋2)－(kb＋2)＝k(c－b)，所以(kb＋2)－(ka＋2)＝(kc＋2)－(kb＋2)， 即ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列，故C正确； 对于D，令a＝b＝c，则＝＝，所以，，成等差数列，故D正确．故选BCD. 13．已知等差数列{an}中，a1＝－9，a3＝－3.记Tn＝a1a2·…·an(n＝1，2，3，…)，则数列{Tn}中的最小项为________． 解析：因为{an}是等差数列，所以a3＝a1＋2d，即－3＝－9＋2d，解得d＝3，即an＝－9＋(n－1)×3＝3n－12. 由于a1＝－9，a2＝－6，a3＝－3，a4＝0， 所以T1＝－9，T2＝54，T3＝－162，T4＝T5＝…＝Tn＝0， 所以(Tn)min＝T3＝－162. 答案：－162 14．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)求证：数列{an}是等差数列．(7分) 解：(1)由n∈N＋，Sn＝n2＋2n，得当n≥2时， Sn－1＝(n－1)2＋2(n－1)， 于是an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1， 而当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. (2)证明：由(1)知，an＝2n＋1， 当n≥2时，an－1＝2(n－1)＋1＝2n－1， 因此an－an－1＝2n＋1－(2n－1)＝2. 所以数列{an}是一个以2为公差的等差数列． 15．(15分)(2025·济南月考)已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋). (1)求证：数列{bn}是等差数列；(7分) (2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．(8分) 解：(1)证明：因为an＝2－(n≥2且n∈N＋)，bn＝，所以当n≥2时， bn－bn－1＝－＝－＝－＝1， 又b1＝＝－. 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知，bn＝n－，且bn＝，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和上单调递减．又因为n∈N＋， 所以当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3. 学科网（北京）股份有限公司 $