5.2.1 第3课时 等差数列的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.2.1 第3课时 等差数列的综合问题 [课时跟踪检测] 1.已知等差数列{an}递增且满足a1+ a8=6，则a6的取值范围是 （　　） A.（-∞，3） B.（3，6） C.（3，+∞） D.（6，+∞） 解析：选C　因为{an}为等差数列，设公差为d，因为数列{an}递增，所以d>0，所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6，则2a6-6=3d>0，解得a6>3，故选C. 2.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b2 025= （　　） A.4 044 B.4 046 C.4 048 D.4 050 解析：选D　设数列{bn}的公差为d1，由题意可知，b1=a1，b5=a2，b5-b1=a2-a1=8=4d1，故d1=2，故bn=2n，则b2 025=2 025×2=4 050. 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1=Sn+2n+1，a1=2，则Sn= （　　） A.（n+1）·2n B.（n+1）·2n-1 C.n·2n-1 D.n·2n 解析：选D　因为an+1=Sn+2n+1，则Sn+1-Sn=Sn+2n+1，整理得-=1.又a1=2，则=1，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，则=1+（n-1）×1=n，所以Sn=n·2n.故选D. 4.已知{an}为等差数列，数列{bn}满足：a1+b1=2，anbn=2n2-n（n∈N+），且5a4=7a3，则bn= （　　） A. B.n C.n2 D. 解析：选B　令n=1，anbn=2n2-n⇒a1b1=1，又a1+b1=2，则a1（2-a1）=1⇒（a1-1）2=0⇒a1=b1=1. 设{an}公差为d，5a4=7a3⇒5a1+15d=7a1+14d⇒d=2a1=2，则an=a1+（n-1）d=2n-1. 故anbn=2n2-n⇒bn==n. 5.在1和19之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当+取最小值时，n的值是 （　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：选B　设等差数列的公差为d，则a=1+d，b=19-d，从而a+b=20. 由题意知，d>0，故a>0，b>0， 所以（a+b）=1+16++≥17+2=25， 即+≥=，当且仅当=， 即b=4a时取“=”.又a=1+d，b=19-d，解得d=3，所以19=1+（n+1）×3，所以n=5. 6.已知数列{an}的首项a1=3，且满足an+1=an+2n-1（n∈N+），则{an}中最小的一项是 （　　） A.a2 B.a3 C.a4 D.a5 解析：选B　由an+1=an+2n-1⇒-=1，所以数列是以=-3为首项，1为公差的等差数列，即=-3+（n-1）×1⇒an=（2n-3）（n-4），所以有a2=-2，a3=-3，显然当n≥4，n∈N+时，an≥0.因此{an}中最小的一项是a3.故选B. 7.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n-2，bn=4n-3，n∈N+，将{an}，{bn}各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列{cn}，则c2 023= （　　） A.14 155 B.6 073 C.4 047 D.4 045 解析：选D　根据题意，得{an}：1，4，7，10，13，…；{bn}：1，5，9，13，17，….故{cn}：1，4，5，7，9，10，13，…，把{cn}中的项按6个一组划分，则第k组可表示为12（k-1）+1，12（k-1）+4，12（k-1）+5，12（k-1）+7，12（k-1）+9，12（k-1）+10（k∈N+），又2 023=337×6+1，故c2 023是第338组的第一个数，则c2 023=12×337+1=4 045. 8.（5分）已知等差数列{an}满足am-1+am+1--1=0，且m>1，则a1+a2m-1=　　　　.  解析：因为数列{an}为等差数列，则am-1+am+1=2am，则am-1+am+1--1=0可化为2am--1=0，解得am=1，所以a1+a2m-1=2am=2. 答案：2 9.（5分）若三个数成等差数列，且它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为　　　　.  解析：设这三个数为a-d，a，a+d，则 解得或∴这三个数为-1，3，7或7，3，-1，∴这三个数的积为-21. 答案：-21 10.（5分）若a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为　　　　.  解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c， ∴Δ=4b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0. ∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2. 答案：1或2 11.（5分）已知函数f（x）在（-1，+∞）上具有单调性，且函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则a1+a100等于　　　　.  解析：由题意函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称，则函数f（x）的图象关于x=-1对称，且在（-1，+∞）上具有单调性，因为f（a50）=f（a51），所以a50+a51=-2.因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1+a100=a50+a51=-2. 答案：-2 12.（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，也成等差数列，则△ABC的形状为　　　　.  解析：由a，b，c成等差数列得a+c=2b，① 由成等差数列得+=2， ② 由②2-①得2=2b，即b2=ac. 由①平方得a2+2ac+c2=4b2， 将b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac， 即（a-c）2=0，得a=c. 又a+c=2b，∴2a=2b，∴a=b，∴a=b=c. ∴△ABC 是等边三角形. 答案：等边三角形 13.（10分）（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；（4分） （2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.（6分） 解：（1）设这三个数依次为a-d，a，a+d， 则解得 所以这三个数为4，3，2. （2）设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d（公差为2d），依题意得2a=2且（a-3d）（a+3d）=-8，即a=1，a2-9d2=-8，所以d2=1，所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4. 14.（10分）已知无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2；（4分） （2）求{bn}的通项公式；（4分） （3）{bn}中的第506项是{an}中的第几项?（2分） 解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列. （1）因为a1=3，d=-5， 所以an=3+（n-1）×（-5）=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， 所以b1=a3=-7，b2=a7=-27. （2）设{an}中的第m项是{bn}中的第n项， 即bn=am，则m=3+4（n-1）=4n-1， 所以bn=am=a4n-1=8-5（4n-1）=13-20n， 即{bn}的通项公式为bn=13-20n（n∈N+）. （3）由（2）得m=4n-1=4×506-1=2 023， 即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项. 15.（10分）已知正项数列{an}满足a1=1，+=2，且a4-a2=. （1）求数列{}的通项公式；（4分） （2）求满足不等式an+5+1<2an的正整数n的最小值.（6分） 解：（1）由已知得-=-，所以数列{}是等差数列，设其公差为d. 由a4-a2=，得-=2. 所以2d=2，即d=1，所以=+（n-1）d=n. （2）由an>0，得an=，所以原不等式可化为+1<2， 两边平方可得n+6+2<4n， 即2<3n-6，所以4（n+5）<（3n-6）2， 整理得（n-4）（9n-4）>0，解得n>4或n<. 所以正整数n的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $