5.1.2 数列中的递推 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．数列1，，，，，…的递推关系可以是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＋1＝an D．an＋1＝2an 解析：选C.数列第一项是1，A，B是通项公式的形式，故A，B错误；观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，所以递推关系为an＋1＝an，故C正确，D错误．故选C. 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n，则a4＝(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 解析：选C.由an＋1＝2an＋n，a1＝1，得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋2＝8，a4＝2a3＋3＝19. 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a5＝(　　) A．－11 B．9 C．11 D．25 解析：选B.因为Sn＝n2，所以a5＝S5－S4＝25－16＝9.故选B. 4．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝，则a10＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为an＋1＝，则＝＝＋n，所以－＝1，－＝2，…，－＝9，以上各式相加可得，－＝1＋2＋3＋…＋9＝45，所以a10＝.故选B. 5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋1＝an＋an＋2，则a985＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选A.由题知an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an，所以数列{an}具有周期性，且周期T＝6，因为985＝6×164＋1，则a985＝a1＝1.故选A. 6．(多选)已知Sn为数列的前n项和，且对任意的n∈N＋，an＋an＋1＝2n＋1，下列说法正确的是(　　) A．S2＝3 B．a1＝1 C．S8＝36 D．an＝n 解析：选AC.数列中，对任意的n∈N＋，an＋an＋1＝2n＋1，S2＝a1＋a2＝2×1＋1＝3，S8＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＝3＋7＋11＋15＝36，A，C正确；由a1＋a2＝3，知a1的值无法确定，则{an}的通项公式也无法确定，B，D错误．故选AC. 7．已知数列{an}满足an＋2＝，且a1＝，则a9＝________． 解析：由an＋2＝，得an＋4＝＝＝＝an，则a9＝a5＝a1＝. 答案： 8．已知在数列{an}中，n(an＋1－an)＝an(n∈N＋)，且a3＝π，则an＝________． 解析：由题意可知，＝，得＝， 即得＝(n≥2)， 显然有＝2，＝，得a2＝，a1＝， 由累乘法可得××××…×＝××××…×， 所以＝n， 可得an＝(n≥2)， 而a1＝符合上式，所以an＝(n∈N＋). 答案：(n∈N＋) 9．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，…这些数量的石子，排成一个个如图所示的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是__________． 解析：依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列{an}，则a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a11－a10＝11，上式相加得a11－a1＝2＋3＋…＋11，则第11个三角形数是a11＝66. 答案：66 10．(13分)已知在数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an＋ln ，求数列{an}的通项公式． 解：由题设an＋1－an＝ln ， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋2＝2＋ln n且n≥2，显然a1＝2满足上式， 所以an＝2＋ln n． 11．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N＋)个圆环所需的最少移动次数，{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个圆环所需的最少移动次数为(　　) A．7 B．10 C．12 D．22 解析：选A.由已知可得a2＝2a1－1＝1， a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7. 所以解下4个圆环最少需要移动7次．故选A. 12．(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝－1，则下列说法正确的是(　　) A．{Sn}是递减数列 B．{an}是递增数列 C．an＜0 D．Sn＋an＝1 解析：选ABC.数列{an}的前n项和Sn＝－1， 因为随着n的增大而不断减小， 所以{Sn}是递减数列，故A正确； 数列{an}的前n项和Sn＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－， 当n＝1时，a1＝S1＝－1＝－，上式也成立， 所以an＝－， 因为－随着n的增大而不断增大， 所以{an}是递增数列，且an＜0，故B，C正确； 所以Sn＋an＝－1－＝－1，故D错误．故选ABC. 13．(13分)已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nSn＋1，求数列的通项公式． 解：因为Sn＝nSn＋1，显然Sn>0，所以＝， 当n≥2时，由累乘法得···…·＝××××…×， 则＝， 又S1＝a1＝1， 所以Sn＝， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝， 当n＝1时，a1＝1也符合， 所以an＝. 14．(13分)在数列{an}中，已知an＝－(n≥2，n∈N＋). (1)求证an＋2＝an；(6分) (2)若a4＝4，求a20的值．(7分) 解：(1)证明：当n≥1时，因为an＋2＝－＝－＝an，所以an＋2＝an成立． (2)由(1)知数列{an}是以2为最小正周期的周期数列，所以a20＝a4＝4. 15．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将最中间的一个小正方形挖掉，得到图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个小正方形挖掉，得到图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了____________个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式：____________． 解析：题图③中共挖掉了8×9＋1＝73个正方形．设每次挖掉的正方形个数为an，根据题图得a1＝1＝80，a2＝81，a3＝82，则an＝8n－1，故递推公式为an＝8an－1(n≥2). 答案：73　an＝8an－1(n≥2) 学科网（北京）股份有限公司 $